2.6: Juegos de juegos

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Los conjuntos son heterogéneos —un solo conjunto puede contener cuatro universidades, siete enteros y un atún ahi— y así se te podría ocurrir que también pueden contener otros conjuntos. Esto es cierto, pero déjame emitir una severa advertencia: puedes meterte en aguas profundas muy rápidamente cuando empieces a pensar en “juegos de conjuntos”. En 1901, de hecho, el filósofo Bertrand Russell señaló que esta idea puede llevar a contradicciones irresolubles a menos que le pongas algunas restricciones. Lo que se conoció como “La paradoja de Russell” es famoso por lo siguiente: considerar el conjunto\(R\) de todos los conjuntos que no se tienen a sí mismos como miembros ¹. Ahora es\(R\) miembro de sí mismo, ¿o no es así? De cualquier manera tu respuesta resulta ser incorrecta (¡pruébalo!) lo que significa que toda esta configuración debe ser defectuosa en algún nivel.

La buena noticia es que mientras no trates con este tipo de bucle autorreferencial (“contenerte como miembro”) entonces es bastante seguro probarlo en casa. Considera este conjunto:\[V = \{~3, 5, \{~5, 4~\}, 2~\}.\] Este conjunto tiene cuatro (no cinco) miembros. Tres\(V\) de los miembros son enteros: 2, 3 y 5. El otro es un conjunto (sin nombre dado). Ese otro conjunto, por cierto, tiene dos miembros propios: 4 y 5. Si te preguntaron, ¿“es\(4 \in V\) “? la respuesta sería no.

Como corolario de esto, hay una diferencia entre\[\varnothing\] y\[\{~\varnothing~\}.\]

El primero es un conjunto sin elementos. Este último es un conjunto con un elemento: y ese elemento simplemente pasa a ser un conjunto sin nada en él.

Por ejemplo, el conjunto Z de todas las cebras es miembro de R, ya que Z en sí es un conjunto (no una cebra) y así Z /∈ Z. El conjunto S, por otro lado, se define como “el conjunto de todos los conjuntos mencionados en este libro”, no es miembro de R, ya que S se contiene como miembro.