4.1: Resultados y eventos

Como la vida es incierta, no sabemos con certeza qué va a pasar. Pero comencemos asumiendo que sabemos qué cosas pueden pasar. Algo que podría suceder se llama desenlace. Se puede pensar en esto como el resultado de un experimento si se quiere, aunque normalmente no vamos a estar hablando de resultados que hemos manipulado y medido explícitamente por medios científicos. Es más como si tuviéramos curiosidad por saber cómo va a resultar algún acontecimiento en particular, y hemos identificado las diferentes formas en que puede resultar y las hemos llamado resultados.

Ahora hemos estado usando el símbolo\(\Omega\) para referirnos a “el dominio del discurso” o “el conjunto universal” o “todas las cosas de las que estamos hablando”. Ahora le vamos a dar otro nombre más: el espacio muestral. \(\Omega\), el espacio muestral, es simplemente el conjunto de todos los resultados posibles. Cualquier resultado en particular —llámalo\(O\) — es un elemento de este conjunto, al igual que en el capítulo 1 cada elemento concebible era miembro del dominio del discurso.

Si una mujer está a punto de tener un bebé, podríamos definirnos\(\Omega\) como {niño, niña}. Cualquier resultado en particular\(o\) es niño o niña (no ambos), pero ambos resultados están en el espacio muestral, porque ambos son posibles. Si rodamos un dado, definiríamos\(\Omega\) como {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Si estamos interesados en la seguridad de los vehículos motorizados, podríamos definir\(\Omega\) para un viaje por carretera en particular como {seguro, accidente}. Los resultados no tienen por qué ser igualmente probables, un punto importante al que volveremos pronto.

En probabilidad, definimos un evento como un subconjunto del espacio muestral. En otras palabras, un evento es un grupo de resultados relacionados (aunque un evento puede contener solo un resultado, o incluso cero). Siempre pensé que esta era una definición divertida para la palabra “evento”: no es lo primero que esa palabra me trae a la mente. Pero resulta ser un concepto útil, porque a veces no nos interesa necesariamente ningún resultado en particular, sino más bien en si el resultado —sea lo que sea— tiene cierta propiedad. Por ejemplo, supongamos que al inicio de algún juego, mi oponente y yo tiramos cada uno el dado, coincidiendo en que el rodillo más alto llega a ir primero. Supongamos que rueda un 2. Ahora es mi turno. El\(\Omega\) para mi troquelado es por supuesto {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Pero en este caso, no necesariamente importa cuál sea mi resultado específico; sólo si le gané a un 2. Así podría definir el evento\(M\) (para “yo primero”) para que sea el conjunto {3, 4, 5, 6}. Podría definir el evento\(H\) (“él primero”) para que sea el conjunto {1} (el aviso\(H\) sigue siendo un conjunto, a pesar de que solo tiene un elemento.) Entonces podría definir el evento\(T\) (“empate”) como el conjunto {2}. Ahora efectivamente he colapsado un conjunto más grande de resultados en solo los grupos de resultados que me interesan. Ahora estoy listo para razonar sobre la probabilidad de que cada uno de estos eventos ocurra realmente.

Por cierto, “el conjunto de todos los resultados” es simplemente\(\Omega\), ya que un desenlace es un elemento de\(\Omega\). Pero un evento es un subconjunto de\(\Omega\), no un solo elemento. Entonces, ¿cuál es “el conjunto de todos los eventos?” Si lo piensas bien, te darás cuenta de que es\(\mathbb{P}(\Omega)\) (el conjunto de potencia del espacio de muestra). Dicho de otra manera, al definir un evento, puedo elegir cualquier subconjunto de los posibles resultados, y así puedo elegir cualquier conjunto de\(\mathbb{P}(\Omega)\).