14: Las ecuaciones gobernantes

Aquí se derivan las ecuaciones gobernantes para la velocidad\(\mathbf{u}=\mathbf{u}(\mathbf{x}, t)\) de un fluido que fluye.

Cálculo multivariable

Los flujos de fluidos suelen tener lugar en el espacio tridimensional, y las ecuaciones gobernantes contendrán derivadas en las tres direcciones. Por lo tanto, serán útiles las matemáticas aprendidas en un curso de cálculo multivariable. Aquí, resumo algunas de estas matemáticas.

Álgebra vectorial

Ejemplos de vectores serán el vector de posición\(\mathbf{x}\) y el vector de velocidad\(\mathbf{u}\). Utilizaremos el sistema de coordenadas cartesianas para escribir vectores en términos de sus componentes como

\[\mathbf{x}=(x, y, z), \quad \mathbf{u}=(u, v, w) \nonumber \]

o a veces como

\[\mathbf{x}=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right), \quad \mathbf{u}=\left(u_{1}, u_{2}, u_{3}\right) \nonumber \]

Otra notación hace uso de los vectores de unidad cartesiana\(\hat{\mathbf{x}}, \hat{\mathbf{y}}\), y\(\hat{\mathbf{z}}\):

\[\mathbf{x}=x \hat{\mathbf{x}}+y \hat{\mathbf{y}}+z \hat{\mathbf{z}}, \quad \mathbf{u}=u \hat{\mathbf{x}}+v \hat{\mathbf{y}}+w \hat{\mathbf{z}} . \nonumber \]

La velocidad\(\mathbf{u}\) se llama campo vectorial porque es un vector que es una función del vector de posición\(x\).

El producto punto entre dos vectores\(\mathbf{u}\) y\(\mathbf{v}\) viene dado por

\[\begin{aligned} \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} &=u_{1} v_{1}+u_{2} v_{2}+u_{3} v_{3} \\ &=u_{i} v_{i} \end{aligned} \nonumber \]

donde en la última expresión usamos la convención de suma de Einstein: cuando un índice ocurre dos veces en un solo término, se suma sobre. A partir de aquí, se asumirá la convención de suma de Einstein a menos que se indique explícitamente lo contrario.

El producto cruzado entre dos vectores viene dado por un determinante:

\[\begin{aligned} \mathbf{u} \times \mathbf{v} &=\left|\begin{array}{ccc} \hat{\mathbf{x}} & \hat{\mathbf{y}} & \hat{\mathbf{z}} \\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \\ v_{1} & v_{2} & v_{3} \end{array}\right| \\ &=\left(u_{2} v_{3}-u_{3} v_{2}, u_{3} v_{1}-u_{1} v_{3}, u_{1} v_{2}-u_{2} v_{1}\right) \end{aligned} \nonumber \]

El producto cruzado de dos vectores es un vector, y los componentes del producto cruzado pueden escribirse de manera más sucinta usando el tensor Levi-Civita, definido como

\[\epsilon_{i j k}=\left\{\begin{aligned} 1 & \text { if }(i, j, k) \text { is an even permutation of }(1,2,3), \\ -1 & \text { if }(i, j, k) \text { is an odd permutation of }(1,2,3), \\ 0 & \text { if any index is repeated. } \end{aligned}\right. \nonumber \]

Usando el tensor Levi-Civita, el componente\(i\) -ésimo del producto cruzado se puede escribir como

\[(\mathbf{u} \times \mathbf{v})_{i}=\epsilon_{i j k} u_{j} v_{k} \nonumber \]

Otro tensor útil es el delta de Kronecker, definido como

\[\delta_{i j}= \begin{cases}0 & \text { if } i \neq j \\ 1 & \text { if } i=j\end{cases} \nonumber \]

Tenga en cuenta eso\(v_{i} \delta_{i j}=v_{j}\) y eso\(\delta_{i i}=3\). Una identidad útil entre el tensor Levi-Civita y el delta de Kronecker viene dada por

\[\epsilon_{i j k} \epsilon_{i m n}=\delta_{j m} \delta_{k n}-\delta_{j n} \delta_{k m} . \nonumber \]

El teorema de Gauss (o el teorema de divergencia) y el teorema de Stokes generalmente se introducen en un curso sobre cálculo multivariable. Aquí vamos a exponer estos teoremas.

Primero, el teorema de Gauss. Dejar\(V\) ser un volumen tridimensional delimitado por una superficie lisa\(S\), y dejar\(\mathbf{F}\) ser un campo vectorial en\(V\). Entonces el teorema de Gauss afirma que

\[\int_{S} \mathbf{F} \cdot \hat{\mathbf{n}} d S=\int_{V} \nabla \cdot \mathbf{F} d V \nonumber \]

donde\(\hat{\mathbf{n}}\) es el vector normal de unidad orientado hacia afuera a la superficie delimitadora\(S\).

Segundo, el teorema de Stokes. Dejar\(S\) ser una superficie lisa delimitada por una simple curva cerrada\(C\) con orientación positiva. Entonces el teorema de Stokes afirma que

\[\oint_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}=\int_{S}(\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{F}) \cdot \hat{\mathbf{n}} d S \nonumber \]

Ecuación de continuidad

Consideramos un volumen\(V\) de control de fluido limitado por una superficie lisa\(S\). La ecuación de continuidad expresa la conservación de la masa. La derivada en el tiempo de la masa total del fluido contenido en el volumen\(V\) es igual a la (negativa) de la masa total de fluido que fluye fuera del límite de\(V\); es decir;

\[\frac{d}{d t} \int_{V} \rho(\mathbf{x}, t) d V=-\int_{S} \rho(\mathbf{x}, t) \mathbf{u}(\mathbf{x}, t) \cdot \hat{\mathbf{n}} d S \nonumber \]

La integral en el lado derecho representa el flujo de masa a través del límite\(S\) y tiene unidades de masa por unidad de tiempo. Ahora aplicamos el teorema de la divergencia a la integral en el lado derecho:

\[\int_{S} \rho(\mathbf{x}, t) \mathbf{u}(\mathbf{x}, t) \cdot \hat{\mathbf{n}} d S=\int_{V} \nabla \cdot(\rho \mathbf{u}) d V \nonumber \]

Combinando los lados izquierdo y derecho, tenemos

\[\int_{V}\left(\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla \cdot(\rho \mathbf{u})\right) d V=0 . \nonumber \]

Debido a que el volumen de control es arbitrario, el integrando debe desaparecer de manera idéntica, y así obtenemos la ecuación de continuidad

\[\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla \cdot(\rho \mathbf{u})=0 \nonumber \]

Sólo estaremos considerando aquí fluidos incompresibles, donde podemos suponer que\(\rho(\mathbf{x}, t)\) es una constante, independiente tanto del espacio como del tiempo. La ecuación de continuidad (14.12) se convierte entonces en una ecuación para la conservación del volumen de fluido, y viene dada por

\[\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{u}=0 \nonumber \]

Esta ecuación se llama la condición de incompresibilidad.

Ecuación de impulso

Derivado de material

La ecuación de Navier-Stokes se deriva de aplicar la ley de Newton\(F=m a\) a un flujo de fluido. Primero consideramos la aceleración de un elemento fluido. La velocidad del fluido en una posición\(x\) fija viene dada por\(\mathbf{u}(\mathbf{x}, t)\), pero el elemento fluido no está en una posición fija sino que sigue al fluido en movimiento. Ahora una aplicación general de los rendimientos de la regla de la cadena

\[\frac{d}{d t} \mathbf{u}(\mathbf{x}, t)=\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}+\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial x_{j}} \frac{\partial x_{j}}{\partial t} \nonumber \]

Si la posición\(\mathbf{x}\) es fija, entonces\(\partial x_{j} / \partial t=0\). Pero si\(\mathbf{x}=\mathbf{x}(\mathbf{t})\) representa la posición del elemento fluido, entonces\(\partial x_{j} / \partial t=u_{j} .\) Esta última suposición se llama la derivada material y se escribe como

\[\begin{aligned} \frac{D \mathbf{u}}{D t} &=\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}+u_{j} \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial x_{j}} \\ &=\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}+(\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} \end{aligned} \nonumber \]

y representa la aceleración de un elemento fluido a medida que fluye con el fluido. En lugar de la masa del elemento fluido, consideramos la masa por unidad de volumen, y el lado derecho de\(F=m a\) se convierte

\[\rho\left(\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}+(\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u}\right) \nonumber \]

Ahora necesitamos encontrar las fuerzas por unidad de volumen que actúan sobre el elemento fluido que fluye. Consideramos tanto las fuerzas de presión como las fuerzas viscosas.

Fuerzas de presión

Consideramos las fuerzas de presión normales que actúan sobre dos caras opuestas de un volumen de control de fluido. Con\(A\) el área de la cara rectangular fija\(y\), y\(d y\) la profundidad, el volumen de la caja es\(A d y\), y la fuerza de presión neta por unidad de volumen que actúa sobre el volumen de control en la\(y\) dirección viene dada por

\[\begin{aligned} f_{p} &=\frac{p A-(p+d p) A}{A d y} \\ &=-\frac{d p}{d y} \end{aligned} \nonumber \]

Consideraciones similares para las\(z\) direcciones\(x\) y producen que el vector de fuerza de presión por unidad de volumen sea

\[\begin{aligned} \mathbf{f}_{p} &=-\left(\frac{\partial p}{\partial x}, \frac{\partial p}{\partial y}, \frac{\partial p}{\partial z}\right) \\ &=-\nabla p \end{aligned} \nonumber \]

Fuerzas viscosas

La viscosidad de un fluido mide su resistencia interna al flujo. Considera un fluido confinado entre dos placas muy grandes de superficie\(A\), separadas por una pequeña distancia\(d y\). Supongamos que la placa inferior es estacionaria y la placa superior se mueve con velocidad\(d u\) en la dirección\(x\) -. La fuerza aplicada por unidad de área requerida para mantener la superficie superior en movimiento viene dada empíricamente por

\[\frac{F}{A}=\mu \frac{d u}{d y}, \nonumber \]

donde\(\mu\) se llama la viscosidad dinámica. Por supuesto, también se requiere una fuerza opuesta para mantener la superficie inferior estacionaria. La diferencia entre estas dos fuerzas es la fuerza niscosa sobre el elemento fluido. Tomando la diferencia, la fuerza neta resultante por unidad de área será proporcional a la segunda derivada de la velocidad. Ahora las fuerzas viscosas actúan en todas las direcciones y en todas las caras del volumen de control. Sin entrar en más detalles técnicos, presentamos la forma general (para un llamado fluido newtoniano) del vector de fuerza viscosa por unidad de volumen:

\[\begin{aligned} \mathbf{f}_{v} &=\mu\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}, \frac{\partial^{2} v}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} v}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} v}{\partial z^{2}}, \frac{\partial^{2} w}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} w}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} w}{\partial z^{2}}\right) \\ &=\mu \nabla^{2} \mathbf{u} . \end{aligned} \nonumber \]

Ecuación de Navier-Stokes

Armando todos los términos, la ecuación de Navier-Stokes se escribe como

\[\rho\left(\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}+(\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u}\right)=-\nabla p+\mu \nabla^{2} \mathbf{u} \nonumber \]

Ahora, en lugar de la viscosidad dinámica\(\mu\), se suele definir la viscosidad cinemática\(v=\mu / \rho\). Las ecuaciones gobernantes de la mecánica de fluidos para un llamado fluido newtoniano incompresible, entonces, están dadas tanto por la ecuación de continuidad como por la ecuación de Navier-Stokes; es decir,

\[\begin{align} \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{u} &=0 \\ \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}+(\mathbf{u} \cdot \boldsymbol{\nabla}) \mathbf{u} &=-\frac{1}{\rho} \nabla p+v \nabla^{2} \mathbf{u} \end{align} \nonumber \]

Condiciones de contorno

Las condiciones de contorno deben prescribirse cuando los flujos entran en contacto con superficies sólidas. Asumiremos superficies rígidas e impermeables. Si\(\hat{\mathbf{n}}\) es el vector de unidad normal a la superficie, y si no hay movimiento de la superficie en la dirección de su vector normal, entonces la condición de impermeabilidad rinde

\[\mathbf{u} \cdot \hat{\mathbf{n}}=0 \nonumber \]

También asumiremos la condición de antideslizante: un fluido viscoso debe tener velocidad cero en relación con una superficie sólida. En otras palabras, una superficie sólida estacionaria o móvil arrastra a lo largo del fluido tocándolo con la misma velocidad. La condición antideslizante se puede expresar matemáticamente como

\[\mathbf{u} \times \hat{\mathbf{n}}=\mathbf{V} \times \hat{\mathbf{n}} \nonumber \]

donde\(\mathbf{u}\) es la velocidad del fluido,\(\mathbf{V}\) es la velocidad de la superficie, y\(\hat{\mathbf{n}}\) es el vector normal a la superficie.

Las condiciones de contorno también pueden prescribirse lejos de cualquier muro u obstáculo. La condición de límite de flujo libre establece que\(\mathbf{u}=\mathbf{U}\) en el infinito, donde\(\mathbf{U}\) se llama la velocidad de flujo libre.