15: Flujo Laminar

Los fluidos que fluyen suavemente, con el fluido fluyendo en capas no interrumpidas, se denominan flujos laminares. Existen varios flujos laminares icónicos, cuyos campos de velocidad se encuentran fácilmente resolviendo la continuidad y las ecuaciones de Navier-Stokes.

Flujo plano Couette

El flujo de Couette plano consiste en un fluido que fluye entre dos placas infinitas separadas por una distancia\(d\). La placa inferior es estacionaria, y la placa superior se mueve hacia la derecha con velocidad\(U\). La presión\(p\) es constante y el fluido es incompresible.

Buscamos una solución estable para el campo de velocidad de la forma

\[\nonumber \mathbf{u}(x, y, z)=(u(y), 0,0) . \nonumber \]

La condición de incompresibilidad se satisface automáticamente y el primer componente de la ecuación de Navier-Stokes se reduce a

\[\nonumber v \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0 \nonumber \]

Aplicando las condiciones límite\(u(0)=0\) y\(u(d)=U\) en las placas inferior y superior, la solución de flujo laminar viene dada por

\[\nonumber u(y)=\frac{U y}{d} \nonumber \]

Flujo de canal

El flujo de canal, o flujo de Poiseuille, también consiste en un fluido que fluye entre dos placas infinitas separadas por una distancia\(d\), pero con ambas placas estacionarias. Aquí, hay un gradiente de presión constante a lo largo de la\(x\) dirección -en la que fluye el fluido. Nuevamente, buscamos una solución estable para el campo de velocidad de la forma

\[\nonumber \mathbf{u}(x, y, z)=(u(y), 0,0) \nonumber \]

y con

\[\nonumber p=p(x) \nonumber \]

y

\[\frac{d p}{d x}=-G \nonumber \]

con\(G\) una constante positiva. El primer componente de la ecuación de Navier-Stokes se convierte en

\[-\frac{1}{\rho} \frac{d p}{d x}+v \frac{d^{2} u}{d y^{2}}=0 . \nonumber \]

El uso de (15.1) en (15.2) conduce a

\[\frac{d^{2} u}{d y^{2}}=-\frac{G}{v \rho} \nonumber \]

que se puede resolver usando las condiciones de límite antideslizante\(u(0)=u(d)=0\). Encontramos

\[u(y)=\frac{G d^{2}}{2 v \rho}\left(\frac{y}{d}\right)\left(1-\frac{y}{d}\right) . \nonumber \]

La velocidad máxima del fluido ocurre en la línea media,\(y=d / 2\), y viene dada por

\[u_{\max }=\frac{G d^{2}}{8 v \rho} \nonumber \]

Flujo de tubería

El flujo de tubería consiste en el flujo a través de una tubería de radio de sección transversal circular\(R\), con un gradiente de presión constante a lo largo de la longitud Con el gradiente de presión a lo largo de la\(x\) dirección, buscamos una solución constante del campo de velocidad de la forma

\[\mathbf{u}=(u(y, z), 0,0) . \nonumber \]

Con el gradiente de presión constante definido como en\((15.1)\), la ecuación de Navier-Stokes se reduce a

\[\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}=-\frac{G}{v \rho} . \nonumber \]

El uso de coordenadas polares en el\(y-z\) plano puede ayudar a resolver (15.7). Con

\[u=u(r) \nonumber \]

tenemos

\[\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}=\frac{1}{r} \frac{d}{d r}\left(r \frac{d}{d r}\right), \nonumber \]

para que (15.7) se convierta en la ecuación diferencial

\[\frac{d}{d r}\left(r \frac{d u}{d r}\right)=-\frac{G r}{v \rho} \nonumber \]

con condición de límite antideslizante\(u(R)=0 .\) La primera integración de 0 a\(r\) rendimientos

\[r \frac{d u}{d r}=-\frac{G r^{2}}{2 v \rho} \nonumber \]

y después de la división por\(r\), la segunda integración de\(r\) a\(R\) rendimientos

\[u(r)=\frac{G R^{2}}{4 v \rho}\left(1-\left(\frac{r}{R}\right)^{2}\right) \nonumber \]

La velocidad máxima ocurre en la línea media de la tubería\(r=0\),, y viene dada por

\[u_{\max }=\frac{G R^{2}}{4 v \rho} \nonumber \]