0.7: El teorema fundamental del cálculo
- Page ID
- 119251
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
Utilizando la definición de la derivada, diferenciamos la siguiente integral:
\[\begin{aligned}\frac{d}{dx}\int_a^x f(s)ds&=\lim_{h\to 0}\frac{\int_a^{x+h}f(s)ds-\int_a^xf(s)ds}{h} \\ &=\lim_{h\to 0}\frac{\int_x^{x+h}f(s)ds}{h} \\ &=\lim_{h\to 0}\frac{hf(x)}{h} \\ &=f(x).\end{aligned} \nonumber \]
Este resultado se denomina teorema fundamental del cálculo, y proporciona una conexión entre diferenciación e integración.
El teorema fundamental nos enseña a integrar funciones. Que\(F(x)\) sea una función tal que\(F'(x) = f(x)\). Decimos que\(F(x)\) es un antiderivado de\(f(x)\). Luego del teorema fundamental y el hecho de que la derivada de una constante es igual a cero,
\[F(x)=\int_a^x f(s)ds+c.\nonumber \]
Ahora,\(F(a) = c\) y\(F(b) =\int_a^b f(s)ds + F(a)\). Por lo tanto, el teorema fundamental nos muestra cómo integrar una función f (x) siempre que podamos encontrar su antiderivada:
\[\int_a^b f(s)ds=F(b)-F(a).\label{eq:1} \]
Desafortunadamente, encontrar antiderivados es mucho más difícil que encontrar derivados, y de hecho, las funciones más complicadas no se pueden integrar analíticamente.
También podemos derivar el resultado muy importante\(\eqref{eq:1}\) directamente de la definición de la derivada (0.3.1) y la integral definida (0.6.1). Veremos que es conveniente elegir lo mismo\(h\) en ambos límites. Con\(F'(x) = f(x)\), tenemos
\[\begin{aligned}\int_a^bf(s)ds&=\int_a^bF'(s)ds \\ &=\lim_{h\to 0}\sum\limits_{n=1}^NF'(a+(n-1)h)\cdot h \\ &=\lim_{h\to 0}\sum\limits_{n=1}^N\frac{F(a+nh)-F(a+(n-1)h)}{h}\cdot h \\ &=\lim_{h\to 0}\sum\limits_{n=1}^N F(a+nh)-F(a+(n-1)h).\end{aligned} \nonumber \]
La última expresión tiene una estructura interesante. Todos los valores de\(F(x)\) evaluados en los puntos que se encuentran entre los puntos finales\(a\) y se\(b\) cancelan entre sí en términos consecutivos. Sólo el valor\(−F(a)\) sobrevive cuando\(n = 1\), y el valor\(+F(b)\) cuando\(n = N\), cediendo de nuevo\(\eqref{eq:1}\).