7.2: Conjunto de problemas

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EJERCIO\(\PageIndex{1}\)

Considere el siguiente campo vectorial autónomo en el plano:

\(\dot{x} = y\),

\(\dot{y} = x-x^3-\delta y, \delta \ge 0, (x,y) \in \mathbb{R}^2\).

Utilice el método de Lyapunov para demostrar que los equilibrios\((x, y) = (\pm 1, 0)\) son estables para Lyapunov\(\delta = 0\) y asintóticamente estables para\(\delta > 0\).

EJERCIO\(\PageIndex{2}\)

Considere el siguiente campo vectorial autónomo en el plano:

\(\dot{x} = y\),

\(\dot{y} = -x-\epsilon x^{2}y, \epsilon > 0, (x, y) \in \mathbb{R}^2\).

Utilice el principio de invarianza LaSalle para demostrar que

(x, y) = (0, 0),

es asintóticamente estable.

EJERCIO\(\PageIndex{3}\)

Considere el siguiente campo vectorial autónomo en el plano:

\(\dot{x} = y\),

\(\dot{y} = x-x^3- \alpha x^{2}y, a > 0, (x, y) \in \mathbb{R}^2\),

utilizar el principio de invarianza LaSalle para describir el destino de todas las trayectorias como\(t \rightarrow \infty\).

EJERCIO\(\PageIndex{4}\)

Considere el siguiente campo vectorial autónomo en el plano:

\(\dot{x} = y\),

\(\dot{y} = x-x^3+\alpha xy, (x, y) \in \mathbb{R}^2\),

donde\(\alpha\) es un parámetro real. Determinar los equilibrios y discutir su estabilidad linealizada en función de\(\alpha\).

EJERCIO\(\PageIndex{5}\)

Considere el siguiente campo vectorial autónomo en el plano:

\(\dot{x} = ax+by\),

\[\dot{y} = cx + dy, (x, y) \in \mathbb{R}^2, \label{7.34}\]

donde\(a, b, c, d \in \mathbb{R}\). En las preguntas siguientes se le pide que dé condiciones sobre las constantes a, b, c y d para que se satisfagan fenómenos dinámicos particulares. No es necesario dar todas las condiciones posibles sobre las constantes para que se cumpla la condición dinámica. Una condición será suficiente, pero debes justificar tu respuesta.

Dar condiciones sobre a, b, c, d para las cuales el campo vectorial no tiene órbitas periódicas.
Dar condiciones sobre a, b, c, d para las cuales todas las órbitas son peri- ódicas.
Usando
\(V(x,y) = \frac{1}{2}(x^2+y^2)\)

como función Lyapunov, dar condiciones en a, b, c, d para las cuales (x, y) = (0, 0) es asintóticamente estable.
Dar condiciones en a, b, c, d para las cuales x = 0 es el man- ifold estable de (x, y) = (0,0) e y = 0 es el colector inestable de (x, y) = (0, 0).

EJERCIO\(\PageIndex{6}\)

Considere el siguiente campo vectorial autónomo en el plano:

\(\dot{x} = y\),

\[\dot{y} = x-x^{2}y, (x,y) \in \mathbb{R}^2. \label{7.35}\]

Determinar la estabilidad linealizada de (x, y) = (0, 0).
Describir la estructura del colector invariante para la linealización de (7.35) aproximadamente (x, y) = (0, 0).
Utilizando\(V(x, y) = \frac{1}{2}(x^2 + y^2)\) como función de Lyapunov, ¿qué se puede concluir sobre la estabilidad del origen? ¿Esto concuerda con el resultado de estabilidad linealizado obtenido anteriormente? ¿Por qué o por qué no?
Utilizando el principio de invarianza LaSalle, determinar el destino de una trayectoria partiendo de una condición inicial arbitraria como\(t \rightarrow \infty\)? ¿Qué le permite concluir este resultado sobre la estabilidad de (x, y) = (0, 0)?