9.2: Conjunto de problemas

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Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Considere el siguiente campo vectorial autónomo en el plano:

\(\dot{x} = \mu x-3y-x(x^2+y^2)^3\),

\(\dot{y} = 3x+\mu y-y(x^2+y^2)^3\),

donde\(\mu\) es un parámetro. Analizar posibles bifurcaciones en (x, y) = (0, 0) para\(\mu\) en una vecindad de cero. (Pista: usa coordenadas polares.)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Estos ejercicios son del libro de Marsden y McCracken8. Considere los siguientes campos vectoriales expresados en coordenadas polares, es decir\((r, \theta) \in \mathbb{R}^{+} \times \mathcal{S}^1\), dependiendo de un parámetro\(\mu\). Analizar la estabilidad del origen y la estabilidad de todas las órbitas periódicas bifurcadas en función de\(\mu\).

(a)

\(\dot{r} = -r(r-\mu)^2\),

\(\dot{\theta} = 1\).

\(\dot{r} = r(\mu-r^2)(2\mu-r^2)^2\),

\(\theta{\theta} = 1\).

\(\dot{r} = r(r+\mu)(r-\mu)\),

\(\dot{\theta} = 1\).

\(\dot{r} = \mu r(r^2-μ)\),

\(\dot{\theta} = 1\).

(e)

\(\dot{r} = -\mu^{2}r(r+\mu)^2(r-\mu)^2\),

\(\dot{\theta} = 1\).

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Considere el siguiente campo vectorial:

\(\dot{x} = \mu x-\frac{x^3}{2}+\frac{x^5}{4}, x \in \mathbb{R}\)

donde\(\mu\) es un parámetro. Clasificar todas las bifurcaciones de equilibrios y, en el proceso de hacerlo, determinar todos los equilibrios y su tipo de estabilidad.