10.1: Teoría del colector central

Este capítulo trata sobre colectores centrales, reducción dimensional y estabilidad de puntos fijos de campos vectoriales autónomos. Comenzamos con un ejemplo motivacional.

Ejemplo\(\PageIndex{29}\)

Considere el siguiente campo vectorial lineal y autónomo en\(\mathbb{R}^{c} \times \mathbb{R}^s\):

\(\dot{x} = Ax\),

\[\dot{y} = By, (x, y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}, \label{10.1}\]

donde A es una\(c \times c\) matriz de números reales que tienen valores propios con parte real cero y\(B\) es una\(s \times s\) matriz de números reales que tienen valores propios con parte real negativa. Supongamos que estamos interesados en la estabilidad del punto fijo no hiperbólico\((x, y) = (0, 0)\). Entonces esa pregunta está determinada por la naturaleza de la estabilidad de\(x = 0\) en el campo vectorial de menor dimensión:

\[\dot{x} = Ax, x \in \mathbb{R}^c. \label{10.2}\]

Esto se desprende de la naturaleza de los valores propios de\(B\), y las propiedades que\(x\) y\(y\) se desacoplan en (10) y que es lineal. Más precisamente, la solución de (10) viene dada por:

\[\begin{pmatrix} {x(t, x_{0})}&{y(t, y_{0}) } \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {e^{At}x_{0}}&{e^{Bt}y_{0}} \end{pmatrix}. \label{10.3}\]

Del supuesto de que las partes reales de los valores propios de B tienen partes reales negativas, se deduce que:

\[\lim_{t \rightarrow \infty} e^{Bt}y_{0} = 0.\]

De hecho, el 0 es abordado a un ritmo exponencial en el tiempo. Por lo tanto, se deduce que la estabilidad, o estabilidad asintótica, o inestabilidad de x = 0 para (10.2) implica estabilidad, o estabilidad asintótica, o inestabilidad de (x, y) = (0, 0) para (10).

Es natural preguntar si tal procedimiento de reducción dimensional se mantiene para sistemas no lineales. Esto puede parecer poco probable ya que, en general, los sistemas no lineales están acoplados y el principio de superposición de los sistemas lineales no se mantiene. No obstante, veremos que no es así.

Los colectores invariantes conducen a una forma de desacoplamiento que da como resultado un procedimiento de reducción dimensional que da, esencialmente, el mismo resultado que se obtiene para este ejemplo lineal motivacional. Este es el tema de la teoría del colector central que ahora desarrollamos.

Comenzamos describiendo la configuración. Es importante darse cuenta que al aplicar estos resultados a un campo vectorial, debe estar en la siguiente forma.

\(\dot{x} = Ax+f(x, y)\),

\[\dot{y} = By + g(x, y), (x, y) \in \mathbb{R}^c \times \mathbb{R}^s, \label{10.4}\]

donde las matrices A y B tienen las siguientes propiedades:

1. \(c \times c\)matriz de números reales con valores propios con cero partes reales,
2. \(s \times s\)matriz de números reales que tienen valores propios con partes reales negativas,

y\(f\) y\(g\) son funciones no lineales. Es decir, son del orden dos o superior en x e y, lo que se expresa en las siguientes propiedades:

\[f(0, 0) = 0, Df(0, 0) = 0\]

\[g(0, 0) = 0, Dg(0, 0) = 0, \label{10.5}\]

y son\(C^r\),\(r\) tan grandes como se requiera (explicaremos lo que esto significa cuando usemos explícitamente esta propiedad más adelante).

Con esta configuración (x, y) = (0, 0) es un punto fijo para (10.4) y nos interesan sus propiedades de estabilidad.

La linealización de (10.4) sobre el punto fijo viene dada por:

\(\dot{x} = Ax\),

\[\dot{y} = By, (x, y) \in \mathbb{R}^{c} \times \mathbb{R}^{s}, \label{10.6}\]

El punto fijo no es hiperbólico. Tiene un subespacio central invariante dimensional c y un subespacio estable invariante dimensional dado por:

\[E^c = {(x, y) \in R^{c} \times R^{s} | y = 0}, \label{10.7}\]

\[E^s = {(x, y) \in R^{c} \times R^{s} | x = 0}, \label{10.8}\]

respectivamente.

Para el sistema no lineal (Ecuación\ ref {10.4}) hay una s dimensional,\(C^r\) pasando por el origen y tangente a\(E^s\) en el origen. Además, las trayectorias en el colector estable local heredan su comportamiento de las trayectorias\(E^s\) bajo la dinámica linealizada en el sentido de que se acercan al origen a una tasa exponencial en el tiempo.

De igual manera, existe un colector central\(C^r\) local c dimensional que pasa por el origen y es tangente a\(E^c\) son el origen. Por lo tanto, el colector central tiene la forma:

\[W^{c}(0) = {(x, y) \in \mathbb{R}^c \times \mathbb{R}^s | y = h(x), h(0) = 0, Dh(0) = 0}, \label{10.9}\]

que es válido en un barrio del origen, es decir, para |x| suficientemente pequeño.

Ilustramos la geometría en la Fig. 10.1.

La aplicación de la teoría del colector central para analizar el comportamiento de trayectorias cercanas al origen se basa en tres teoremas:

• existencia del colector central y el campo vectorial restringido al colector central,
• estabilidad del origen restringida al colector central y su relación con la estabilidad del origen en el espacio de fase dimensional completo,
• obtener una aproximación al colector central.

Teorema 5: Existencia y Dinámica Restricta

Existe un colector\(C^r\) central de\((x, y) = (0, 0)\) para Ecuación\ ref {10.4}. La dinámica de la Ecuación\ ref {10.4} restringida al colector central viene dada por:

\[\dot{u} = Au+f(u, h(u)), u \in \mathbb{R}^c, \label{10.10}\]

para |u| suficientemente pequeño.

Una pregunta natural que surge de la afirmación de este teorema es “¿por qué usamos la variable ''u' cuando parecería que 'x' sería la variable más natural a utilizar en esta situación”? Comprender la respuesta a esta pregunta proporcionará cierta comprensión de la naturaleza de las soluciones cercanas al origen y la geometría de los colectores invariantes cerca del origen. La respuesta es que “x e y ya se utilizan como variables para describir los ejes de coordenadas en la Ecuación\ ref {10.4}. No queremos confundir un punto en el colector central con un punto en el eje de coordenadas. Un punto en el colector central se denota por (x, h (x)). La coordenada u denota una representación paramétrica de puntos a lo largo del colector central. Además, vamos a querer comparar trayectorias de la Ecuación\ ref {10.10} con trayectorias en la Ecuación\ ref {10.4}. Esto será confuso si x se usa para denotar un punto en el colector central. Sin embargo, al calcular el colector central y al considerar la (es decir, Ecuación\ ref {10.10}) es tradicional usar la coordenada 'x', es decir, la coordenada que describe los puntos en el subespacio central. Esto no causa ambigüedades ya que podemos nombrar a una coordenada lo que queramos. Sin embargo, causaría ambigüedades al comparar trajectores en la Ecuación\ ref {10.4} con trayectorias en la Ecuación\ ref {10.10}, como lo hacemos en el siguiente teorema.

Teorema 6

1. Supongamos que la solución cero de la Ecuación\ ref {10.10} es estable (asintóticamente estable) (inestable), entonces la solución cero de (10.4) también es estable (asintóticamente estable) (inestable).
2. Supongamos que la solución cero de la Ecuación\ ref {10.10} es estable. Entonces si (x (t), y (t)) es una solución de (10.4) con (x (0), y (0)) suficientemente pequeña, entonces hay una solución\(u(t)\) de Ecuación\ ref {10.10} tal que como\(t \rightarrow \infty\)

\(x(t) = u(t) + \mathcal{O}(e^{-\gamma t})\),

\[y(t) = h(u(t)) + \mathcal{O}(e^{-\gamma t}), \label{10.11}\]

donde\(\gamma > 0\) es una constante.

La parte i) de este teorema dice que las propiedades de estabilidad del origen en el colector central implican las mismas propiedades de estabilidad del origen en las ecuaciones dimensionales completas. La parte ii) da resultados mucho más precisos para el caso de que el origen sea estable. Dice que las trayectorias que comienzan en condiciones iniciales suficientemente cercanas al origen se acercan asintóticamente a una trayectoria en el colector central.

Ahora nos gustaría calcular el colector central para que podamos usar estos teoremas en ejemplos específicos. En general, no es posible computar el colector central. Sin embargo, es posible aproximarlo a “una precisión suficientemente alta” para que podamos verificar los resultados de estabilidad del Teorema 6 se pueden confirmar. Mostraremos cómo se puede hacer esto. La idea es derivar una ecuación que el colector central debe satisfacer, para luego desarrollar una solución aproximada a esa ecuación.

Desarrollamos este enfoque paso a paso.

El colector central se realiza como la gráfica de una función,

\[y=h(x), x \in \mathbb{R}^c, y \in \mathbb{R}^s, \label{10.12}\]

es decir\((x_{c}, y_{c})\), cualquier punto, suficientemente cercano al origen, es decir, en el colector central satisface\(y_{c} = h(x-{c})\). Además, el colector central pasa por el origen (h (0) = 0) y es tangente al subespacio central en el origen (\(Dh(0) = 0\)).

La invarianza del colector central implica que la gráfica de la función también\(h(x)\) debe ser invariante con respecto a la dinámica generada por la Ecuación\ ref {10.4}. La ecuación diferenciadora\ ref {10.12} con respecto al tiempo muestra que\((\dot{x}, \dot{y})\) en cualquier punto del colector central satisface

\[\dot{y} = Dh(x)\dot{x}. \label{10.13}\]

Esta es solo la manifestación analítica del hecho de que la invarianza de una superficie con respecto a un campo vectorial implica que el campo vectorial debe ser tangente a la superficie.

Ahora usaremos estas propiedades para derivar una ecuación que debe ser satisfecha por el colector central local.

El punto de partida es recordar que cualquier punto en el colector central local obedece a la dinámica generada por. Sustituyendo y = h (x) en da:

\[\dot{x} = Ax + f (x, h(x)), \label{10.14}\]

\[\dot{y} = Bh(x) + g(x, h(x)), (x, y) \in \mathbb{R}^c \times \mathbb{R}^s. \label{10.15}\]

Sustituyendo y en la condición de invarianza\(\dot{y} = Dh(x)\dot{x}\) da:

\[Bh(x) + g(x, h(x)) = Dh(x) (Ax + f (x, h(x))) , \label{10.16}\]

o

\[Dh(x)(Ax+f(x, h(x)))-Bh(x)-g(x, h(x)) \equiv \mathcal{N}(h(x) = 0. \label{10.17}\]

Esta es una ecuación para\(h(x)\). Por construcción, la solución implica invarianza de la gráfica de\(h(x)\), y buscamos una solución que satisfaga las condiciones adicionales\(h(0) = 0\) y\(Dh(0) = 0\). El resultado básico sobre la aproximación del colector central viene dado por el siguiente teorema.

Teorema 7: Aproximación

Let\(\phi : \mathbb{R}^c \rightarrow \mathbb{R}^s\) Ser un\(C^1\) Mapeo con

\(\phi (0) = 0, D_{\phi}(0) = 0\),

tal que

\(\mathcal{N}(\phi (x)) = \mathcal{O}(|x|^{q})\)como\(x \rightarrow 0\),

para algunos\(q > 1\). Entonces

\(|h(x)-\phi (x)| = \mathcal{O}(|x|^{q})\)como\(x \rightarrow 0\).

El teorema establece que si podemos encontrar una solución aproximada de la Ecuación\ ref {10.17} a un grado de precisión especificado, entonces esa solución aproximada es en realidad una aproximación al colector central local, con el mismo grado de precisión.

Consideramos ahora algunos ejemplos que muestran cómo se aplican estos resultados.

Ejemplo\(\PageIndex{30}\)

Consideramos el siguiente campo vectorial autónomo en el plano:

\(\dot{x} = x^{2}y-x^5\),

\[\dot{y} = -y+x^2, (x, y) \in \mathbb{R}^2, \label{10.18}\].

o, en forma de matriz:

\[\begin{pmatrix} {\dot{x}}\\ {\dot{y}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {0}&{0}\\ {0}&{-1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {x}\\ {y} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} {x^{2}y-x^5}\\ {x^2} \end{pmatrix}, \label{10.19}\]

Nos interesa determinar lo natural de la estabilidad de (x, y) = (0, 0). El jacobiano asociado a la linealización sobre este punto fijo es:

\(\begin{pmatrix} {0}&{0}\\ {0}&{-1} \end{pmatrix}\),

que no es hiperbólico, y por lo tanto la linealización no es suficiente para determinar la estabilidad.

El campo vectorial está en forma de Ecuación\ ref {10.4}

\(\dot{x} = Ax+f(x, y)\),

\[\dot{y} = By+g(x, y), (x, y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}, \label{10.20}\]

donde

\[A = 0, B = 1, f(x, y)=x^{2}y-x^5, g(x, y) = x^2. \label{10.21}\]

Asumimos un colector central de la forma:

\[y = h(x) = ax^2 + bx^3 + \mathcal{O}(x^4), \label{10.22}\]

que satisface h (0) = 0 (“pasa por el origen”) y Dh (0) = 0 (tangente a\(E^{c}\) en el origen). Un colector central de este tipo requerirá que el campo vectorial sea al menos\(C^3\) (de ahí, el significado de la frase\(C^r\), r tan grande como sea necesario).

Sustituir esta expresión en la ecuación para el colector central (10.17) (usando (10.21)) da:

\[(2ax+3b^{2}+\mathcal{O}(x^3))(ax^4+bx^5+\mathcal{O}(x^6)-x^5)+ax^2+bx^3+\mathcal{O}(x^4)-x^2 = 0. \label{10.23}\]

Para que esta ecuación se satisfaga los coeficientes en cada potencia de x deben ser cero. A través de tercer orden esto da:

\(x^2 : a - 1 = 0 \Rightarrow a = 1\),

\[x^3 : b = 0. \label{10.24}\]

Sustituir estos valores en (10.22) da la siguiente expresión para el colector central a través de tercer orden:

\[y = x^2 + \mathcal{O}(x^4). \label{10.25}\]

Por lo tanto, el campo vectorial restringido al colector central viene dado por:

\[\dot{x} = x^4 + \mathcal{O}(x^5). \label{10.26}\]

De ahí que para x suficientemente pequeño,\(\dot{x}\) sea positivo para\(x \ne 0\), y por lo tanto el origen es inestable. Ilustramos el flujo cercano al origen en la Fig. 10.2.

Figura 10.2: El flujo cerca del origen para (10.19).

Ejemplo\(\PageIndex{31}\)

Consideramos el siguiente campo vectorial autónomo en el plano:

\(\dot{x} = xy\),

\[\dot{y} = y+x^3, (x, y) \in \mathbb{R}^2, \label{10.27}\]

Por lo tanto, el campo vectorial restringido al colector central viene dado por:

\[\dot{x} = x^4 + \mathcal{O}(x^5). \label{10.35}\]

Ya que\(\dot{x}\) es positivo para x suficientemente pequeño. el origen es inestable. Ilustramos el flujo cercano al origen en la Fig. 10.3.

Figura 10.3: El flujo cerca del origen para (10.27).