10.E: Teoría del Manifold Central (Exericses)

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Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Considere el siguiente campo vectorial autónomo en el plano:

\(\dot{x} = x^{2}y-x^3\),

\(\dot{y} = y+x^3, (x, y) \in \mathbb{R}^2\).

Determinar la estabilidad de (x, y) = (0, 0) usando la teoría del colector central.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Considere el siguiente campo vectorial autónomo en el plano:

\(\dot{x} = x^2\),

\(\dot{y} = y+x^2, (x, y) \in \mathbb{R}^2\).

Determinar la estabilidad de (x, y) = (0, 0) usando la teoría del colector central. ¿El hecho de que las soluciones de\(\dot{x} = x^2\) “estallar en tiempo finito” influye en tu respuesta (por qué o por qué no)?

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Considere el siguiente campo vectorial autónomo en el plano:

\(\dot{x} = x+y^2\),

\(\dot{y} = -2x^2+2xy^2, (x, y) \in \mathbb{R}^2\).

Demostrar que\(y = x^2\) es un colector invariante. Demostrar que existe una trayectoria que conecta (0, 0) a (1, 1), es decir, una trayectoria heteroclínica.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Considere el siguiente campo vectorial autónomo en\(\mathbb{R}^3\):

\(\dot{x} = y\),

\(\dot{y} = -x-x^{2}y\),

\(\dot{z} = -z+xz^2, (x, y, z) \in \mathbb{R}^3\)

Determinar la estabilidad de (x, y, z) = (0, 0, 0) usando la teoría del colector central.

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Considere el siguiente campo vectorial autónomo en\(\mathbb{R}^3\):

\(\dot{x} = y\),

\(\dot{y} = -x-x^{2}y+zxy\),

\(\dot{z} = -z+xz^2, (x, y, z) \in \mathbb{R}^3\).

Determinar la estabilidad de (x, y, z) = (0, 0, 0) usando la teoría del colector central.

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Considere el siguiente campo vectorial autónomo en\(\mathbb{R}^3\):

\(\dot{x} = y\),

\(\dot{y} = -x+zy^2\),

\(\dot{z} = -z+xz^2, (x, y, z) \in \mathbb{R}^3\).

Determinar la estabilidad de (x, y, z) = (0, 0, 0) usando la teoría del colector central.