11.1: A- Jacobianos, inversos de matrices y valores propios

En este apéndice se recogen algunos resultados sobre jacobianos e inversos y valores propios de\(2 \times 2\) matrices que se utilizan repetidamente en el material.

Primero, consideramos la expansión de Taylor de una función valorada vectorial de dos variables, denotadas de la siguiente manera:

\[H(x,y) = \begin{pmatrix} {f(x, y)}\\ {g(x, y)} \end{pmatrix}, (x, y) \in \mathbb{R}^2 , \label{A.1}\]

Más precisamente, necesitaremos que Taylor amplíe tales funciones a través de segundo orden:

\[H(x_{0} +h, y_{0} +k) = H(x_{0}, y_{0})+DH(x_{0}, y_{0}) \begin{pmatrix} {h}\\ {k} \end{pmatrix}+\mathcal{O}(2). \label{A.2}\]

La expansión Taylor de una función valorada escalar de una variable debería ser familiar para la mayoría de los estudiantes de este nivel. Posiblemente hay menos familiaridad con la expansión de Taylor de una función de valor vectorial de una variable vectorial. Sin embargo, para calcular esto simplemente Taylor expandimos cada componente de la función (que es una función de valor escalar de una variable vectorial) en cada variable, manteniendo fija la otra variable para la expansión en esa variable en particular, y luego recogemos los resultados de cada componente en forma de matriz.

Llevar a cabo este procedimiento para el\(f (x, y)\) componente de la Ecuación\ ref {A.1} da:

\[ \begin{align} f(x_{0}+h, y_{0}+k) &= f(x_{0}, y_{0}+k)+ \frac{\partial f }{\partial x} (x_{0}, y_{0}+k)h+\mathcal{O}(h^2) \\[4pt] &= f(x_{0}, y_{0})+\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0}, y_{0})k+\mathcal{O}(k^2)+\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0}, y_{0})h + \mathcal{O}(hk) + \mathcal{O}(h^2). \label{A.3} \end{align}\]

Se puede aplicar el mismo procedimiento a\(g(x, y)\). La recombinación de los términos de nuevo en la expresión del vector para la ecuación\ ref {A.1} da:

\[H(x_{0}+h, y_{0}+k) = \begin{pmatrix} {f(x_{0}, y_{0})}\\ {g(x_{0}, y_{0})} \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} {\frac{\partial f}{\partial x} (x_{0}, y_{0})}&{\frac{\partial f}{\partial y} (x_{0}, y_{0})}\\ {\frac{\partial g}{\partial x} (x_{0}, y_{0})}&{\frac{\partial g}{\partial y} (x_{0}, y_{0})} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {h}\\ {k} \end{pmatrix} + \mathcal{O}(2), \label{A.4}\]

De ahí que el jacobiano de la ecuación\ ref {A.1} at\((x_{0}, y_{0})\) es:

\[\begin{pmatrix} {\frac{\partial f}{\partial x} (x_{0}, y_{0})}&{\frac{\partial f}{\partial y} (x_{0}, y_{0})}\\ {\frac{\partial g}{\partial x} (x_{0}, y_{0})}&{\frac{\partial g}{\partial y} (x_{0}, y_{0})} \end{pmatrix}, \label{A.5}\]

que es una\(2 \times 2\) matriz de números reales.

Tendremos que calcular la inversa de tales matrices, así como sus valores propios.

Denotamos una\(2 \times 2\) matriz general de números reales:

\[A= \begin{pmatrix} {a}&{b}\\ {c}&{d} \end{pmatrix}, a, b, c, d \in \mathbb{R}. \label{A.6}\]

Es fácil verificar que la inversa de A viene dada por:

\[A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} {d}&{-b}\\ {-c}&{a} \end{pmatrix}. \label{A.7}\]

Dejar\(\mathbb{I}\) denotar la matriz de\(2 \times 2\) identidad. Entonces los valores propios de A son las soluciones de la ecuación característica:

\[det (A - \lambda \mathbb{I}) = 0. \label{A.8}\]

donde “det” es la notación para el determinante de la matriz. Esta es una ecuación cuadrática en la\(\lambda\) que tiene dos soluciones:

\[\lambda_{1,2} = \frac{tr A}{2} \pm \frac{1}{2} \sqrt{(tr A)^2-4det A}, \label{A.9}\]

donde hemos usado la notación:

\(tr A \equiv trace A = a + d\),\(det A \equiv determinant A = ad-bc\).