11.2: B- Integración de algunas ODEs lineales básicas

En este apéndice se recogen algunas ideas comunes relacionadas con la resolución, explícitamente, de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas. Nuestra discusión se organiza en torno a una serie de ejemplos.

Ejemplo\(\PageIndex{32}\)

Considere el campo vectorial lineal autónomo unidimensional:

\[\dot{x} = ax, x,a \in \mathbb{R}. \label{B.1}\]

Muchas veces resolvemos problemas en matemáticas transformándolos en problemas más simples que ya sabemos resolver. Para ello, se introduce la siguiente transformación (dependiente del tiempo) de variables:

\[x = ue^{at}. \label{B.2}\]

Diferenciando esta expresión con respecto a t, y usando (B.1), da la siguiente ODE para u:

\[\dot{u} = 0, \label{B.3}\]

que es trivial de integrar, y da:

\[u(t) = u(0), \label{B.4}\]

y es fácil ver desde (36) que:

\[u(0) = x(0). \label{B.5}\]

Utilizando (36), así como (B.4) y (B.5), se deduce que:

\[x(t)e^{at} = u(t) = u(0) = x(0), \label{B.6}\]

o

\[x(t) = x(0)e^{at}. \label{B.7}\]

Ejemplo\(\PageIndex{33}\)

Considere la siguiente ODE lineal no homogénea no autónoma (debido a la presencia del término b (t)):

\[\dot{x} = ax+b(t), a, x \in \mathbb{R}, \label{B.8}\]

donde b (t) es una función valorada escalar de t, cuyas propiedades precisas consideraremos un poco más adelante. Usaremos exactamente la misma estrategia y cambio de coordenadas que en el ejemplo anterior:

\[x = ue^{at}. \label{B.9}\]

Diferenciando esta expresión con respecto a t, y usando (B.8), da:

\[\dot{u} = e^{-at}b(t). \label{B.10}\]

(Comparar con (B.3).) Integrando (B.10) da:

\[u(t) = u(0) + \int_{0}^{t} e^{-at'} b(t')dt'. \label{B.11}\]

Ahora usando (B.9) (con la consecuencia u (0) = x (0)) con (B.11) da:

\[x(t) = x(0)e^{at} + e^{at} \int_{0}^{t} e^{-at'} b(t')dt'. \label{B.12}\]

Finalmente, volvemos a las propiedades necesarias de b (t) para que esta solución única de (B.8) “tenga sentido”. Al inspeccionar (B.12) queda claro que todo lo que se requiere es que las integrales que implican b (t) estén bien definidas. La continuidad es una condición suficiente.

Ejemplo\(\PageIndex{34}\)

Considere el campo vectorial lineal unidimensional y no autónomo:

\[\dot{x} = a(t)x, x \in \mathbb{R}, \label{B.13}\]

donde a (t) es una función valorada escalar de t cuyas propiedades precisas se considerarán posteriormente. La similitud entre (B.1) y (B.13) debe ser evidente. Introducimos la siguiente transformación (dependiente del tiempo) de variables (comparar con (36)):

\[x = ue^{\int_{0}^{t} a(t')dt'}. \label{B.14}\]

Diferenciar esta expresión con respecto a t, y sustituir (B.13) en el resultado da:

\(\dot{x} = \dot{u}e^{\int_{0}^{t} a(t')dt'}+ua(t)e^{\int_{0}^{t} a(t')dt'}\),

\[= \dot{u}e^{\int_{0}^{t} a(t')dt'}+a(t)x, \label{B.15}\]

lo que reduce a:

\[\dot{u} = 0. \label{B.16}\]

Integrando esta expresión, y usando (B.14), da:

\[u(t) = u(0) = x(0) = x(t)e^{-\int_{0}^{t} a(t')dt'}, \label{B.17}\]

o

\[x(t) = x(0)e^{\int_{0}^{t} a(t')dt'}. \label{B.18}\]

Como en el ejemplo anterior, todo lo que se requiere para que la solución esté bien definida es que existan las integrales que involucran a (t). La continuidad es una condición suficiente.

Ejemplo\(\PageIndex{35}\)

Considere el campo vectorial lineal no autónomo unidimensional no homogéneo:

\[\dot{x} = a(t)x + b(t), x \in \mathbb{R}, \label{B.19}\]

donde a (t), b (t) son funciones de valor escalar cuyas propiedades requeridas serán consideradas al final de este ejemplo. Hacemos la misma transformación que (B.14):

\[x = ue^{\int_{0}^{t} a(t')dt'}, \label{B.20}\]

de la que obtenemos:

\[\dot{u} = b(t)e^{-\int_{0}^{t} a(t')dt'}. \label{B.21}\]

Integrar esta expresión da:

\[u(t) = u(0)+ \int_{0}^{t} b(t')e^{-\int_{0}^{t'} a(t'')dt''}dt'. \label{B.22}\]

El uso da:

\[x(t)e^{-\int_{0}^{t} a(t')dt'} = x(0)+ \int_{0}^{t} b(t')e^{-\int_{0}^{t'} a(t'')dt''}dt'. \label{B.23}\]

o

\[x(t) = x(0)e^{\int_{0}^{t} a(t')dt'}+e^{\int_{0}^{t} a(t')dt'} \int_{0}^{t} b(t')e^{-\int_{0}^{t'} a(t'')dt''}dt'. \label{B.24}\]

Al igual que en los ejemplos anteriores, que todo lo que se requiere es que las integrales que involucran a (t) y b (t) estén bien definidas. La continuidad es una condición suficiente.

Los ejemplos anteriores fueron todos unidimensionales. Ahora consideraremos ejemplos bidimensionales n.

Ejemplo\(\PageIndex{36}\)

Considere el campo vectorial lineal autónomo n dimensional:

\[\dot{x} = Ax, x \in \mathbb{R}^n, \label{B.25}\]

donde A es una\(n \times n\) matriz de números reales. Realizamos la siguiente transformación de variables (comparar con):

\[x = e^{At}u. \label{B.26}\]

Diferenciando esta expresión con respecto a t, y usando (B.25), da:

\[\dot{u} = 0. \label{B.27}\]

Integrar esta expresión da:

\[u(t) = u(0). \label{B.28}\]

El uso de (B.26) con (B.28) da:

\[u(t) = e^{-At}x(t) = u(0) = x(0), \label{B.29}\]

de lo que se desprende que:

\[x(t) = e^{At} x(0). \label{b.30}\]

Ejemplo\(\PageIndex{37}\)

Considere el campo vectorial lineal no autónomo no homogéneo n dimensional:

\[\dot{x} = Ax+g(t), x \in \mathbb{R}^n, \label{B.31}\]

donde g (t) es una función de valor vectorial de t cuyas propiedades requeridas se considerarán más adelante. Utilizamos la misma transformación que en el ejemplo anterior:

\[x = e^{At}u. \label{B.32}\]

Diferenciando esta expresión con respecto a t, y usando (B.31), da:

\[\dot{u} = e^{At}g(t), \label{B.33}\]

de lo que se desprende que:

\[u(t) = u(0)+ \int_{0}^{t} e^{-At'}g(t')dt', \label{B.34}\]

o, usando (B.32)

\[x(t) = e^{At}x(0) + e^{At} \int_{0}^{t} e^{-At'}g(t')dt'. \label{B.35}\]