0.3: Clasificación de ecuaciones diferenciales

Existen muchos tipos de ecuaciones diferenciales, y las clasificamos en diferentes categorías en función de sus propiedades. Repasemos rápidamente la clasificación más básica. Ya vimos la distinción entre ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales:

• Las ecuaciones diferenciales ordinarias o (ODE) son ecuaciones donde las derivadas se toman con respecto a una sola variable. Es decir, sólo hay una variable independiente.
• Las ecuaciones diferenciales parciales o (PDE) son ecuaciones que dependen de derivadas parciales de varias variables. Es decir, hay varias variables independientes.

Veamos algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias:\[\begin{align}\begin{aligned} & \frac{d y}{dt} = ky , & & \text{(Exponential growth)} \\ & \frac{d y}{dt} = k(A-y) , & & \text{(Newton's law of cooling)} \\ & m \frac{d^2 x}{dt^2} + c \frac{dx}{dt} + kx = f(t) . & & \text{(Mechanical vibrations)}\end{aligned}\end{align} \nonumber \] Y de ecuaciones diferenciales parciales:\[\begin{align}\begin{aligned} & \frac{\partial y}{\partial t} + c \frac{\partial y}{\partial x} = 0 , & & \text{(Transport equation)} \\ & \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} , & & \text{(Heat equation)} \\ & \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} . & & \text{(Wave equation in 2 dimensions)}\end{aligned}\end{align} \nonumber \]

Si hay varias ecuaciones trabajando juntas, tenemos un llamado sistema de ecuaciones diferenciales. Por ejemplo,\[y' = x , \qquad x' = y \nonumber \] es un sistema sencillo de ecuaciones diferenciales ordinarias. Las ecuaciones de Maxwell para electromagnetica,\[\begin{align}\begin{aligned} & \nabla \cdot \vec{D} = \rho, & & \nabla \cdot \vec{B} = 0 , \\ & \nabla \times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}, & & \nabla \times \vec{H} = \vec{J} + \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} ,\end{aligned}\end{align} \nonumber \] son un sistema de ecuaciones diferenciales parciales. El operador de divergencia\(\nabla \cdot\) y el operador curl\(\nabla \times\) pueden escribirse en derivadas parciales de las funciones involucradas en las\(z\) variables\(x\)\(y\),, y.

El siguiente bit de información es el orden de la ecuación (o sistema). El orden es simplemente el orden del derivado más grande que aparece. Si la derivada más alta que aparece es la primera derivada, la ecuación es de primer orden. Si la derivada más alta que aparece es la segunda derivada, entonces la ecuación es de segundo orden. Por ejemplo, la ley de Newton de enfriamiento anterior es una ecuación de primer orden, mientras que la ecuación de vibraciones mecánicas es una ecuación de segundo orden. La ecuación que rige las vibraciones transversales en una viga,\[a^4 \frac{\partial^4 y}{\partial x^4} + \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = 0, \nonumber \] es una ecuación diferencial parcial de cuarto orden. Es de cuarto orden ya que al menos una derivada es la cuarta derivada. No importa que la derivada en\(t\) sea sólo de segundo orden.

En el primer capítulo, comenzaremos a atacar ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, es decir, ecuaciones de la forma\(\frac{dy}{dx} = f(x,y)\). En general, las ecuaciones de orden inferior son más fáciles de trabajar y tienen un comportamiento más sencillo, por lo que comenzamos con ellas.

También distinguimos cómo aparecen las variables dependientes en la ecuación (o sistema). En particular, decimos que una ecuación es lineal si la variable dependiente (o variables) y sus derivadas aparecen linealmente, es decir sólo como primeras potencias, no se multiplican juntas, y no aparecen otras funciones de las variables dependientes. Es decir, la ecuación es una suma de términos, donde cada término es alguna función de las variables independientes o alguna función de las variables independientes multiplicada por una variable dependiente o su derivada. De lo contrario, la ecuación se llama no lineal. Por ejemplo, una ecuación diferencial ordinaria es lineal si se puede poner en la forma\[\label{eq:2} a_n(x) \frac{d^n y}{dx^n} + a_{n-1}(x) \frac{d^{n-1} y}{dx^{n-1}} + \cdots + a_{1}(x) \frac{dy}{dx} + a_{0}(x) y = b(x) . \] Las funciones\(a_0\),\(a_1\),...,\(a_n\) se llaman los coeficientes. Se permite que la ecuación dependa arbitrariamente de la variable independiente. Así que\[\label{eq:3} e^x \frac{d^2 y}{dx^2} + \sin(x) \frac{d y}{dx} + x^2 y = \frac{1}{x} \] sigue siendo una ecuación lineal como\(y\) y sus derivadas sólo aparecen linealmente.

Todas las ecuaciones y sistemas anteriores como ejemplos son lineales. Puede que no sea inmediatamente obvio para las ecuaciones de Maxwell a menos que escribas la divergencia y el rizo en términos de derivadas parciales. Veamos algunas ecuaciones no lineales. Por ejemplo,\[\frac{\partial y}{\partial t} + y \frac{\partial y}{\partial x} = \nu \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} , \nonumber \] es una ecuación diferencial parcial no lineal de segundo orden. Es no lineal porque\(y\) y\(\frac{\partial y}{\partial x}\) se multiplican entre sí. La ecuación\[\label{eq:4} \frac{dx}{dt} = x^2 \] es una ecuación diferencial de primer orden no lineal ya que hay una segunda potencia de la variable dependiente\(x\).

Una ecuación lineal también puede llamarse homogénea si todos los términos dependen de la variable dependiente. Es decir, si ningún término es una función solo de las variables independientes. De lo contrario, la ecuación se denomina homogénea o no homogénea. Por ejemplo, la ecuación de crecimiento exponencial, la ecuación de onda o la ecuación de transporte anterior son homogéneas. La ecuación de vibraciones mecánicas anterior no es homogénea siempre y cuando no\(f(t)\) sea la función cero. Del mismo modo, si la temperatura ambiente\(A\) es distinta de cero, la ley de enfriamiento de Newton no es homogénea. Una ODE lineal homogénea se puede poner en la forma\[a_n(x) \frac{d^n y}{dx^n} + a_{n-1}(x) \frac{d^{n-1} y}{dx^{n-1}} + \cdots + a_{1}(x) \frac{dy}{dx} + a_{0}(x) y = 0 . \nonumber \] Comparar\(\eqref{eq:2}\) y notar que no hay función\(b(x)\).

Si los coeficientes de una ecuación lineal son realmente funciones constantes, entonces se dice que la ecuación tiene coeficientes constantes. Los coeficientes son las funciones que multiplican la (s) variable (s) dependiente (s) o una de sus derivadas, no la función\(b(x)\) independiente. Un coeficiente constante ODE no homogéneo es una ecuación de la forma\[a_n \frac{d^n y}{dx^n} + a_{n-1} \frac{d^{n-1} y}{dx^{n-1}} + \cdots + a_{1} \frac{dy}{dx} + a_{0} y = b(x) , \nonumber \] donde\(a_0, a_1, \ldots, a_n\) están todas las constantes, pero\(b\) puede depender de la variable independiente\(x\). La ecuación de vibraciones mecánicas anterior es una ODE de segundo orden no homogénea de coeficiente constante. La misma nomenclatura se aplica a las PDEs, por lo que la ecuación de transporte, la ecuación de calor y la ecuación de onda son ejemplos de PDE lineales de coeficiente constante.

Finalmente, una ecuación (o sistema) se denomina autónoma si la ecuación no depende de la variable independiente. Para las ecuaciones diferenciales ordinarias autónomas, la variable independiente se considera entonces como tiempo. Ecuación autónoma significa una ecuación que no cambia con el tiempo. Por ejemplo, la ley del enfriamiento de Newton es autónoma, también lo es la ecuación\(\eqref{eq:4}\). Por otro lado, las vibraciones mecánicas o no\(\eqref{eq:3}\) son autónomas.