0.E: Introducción (Ejercicios)

title="0.2: Introducción a las Ecuaciones Diferenciales” href=” /Estanterías/ecuaciones_diferenciales/libro:_ecuaciones_diferenciales_for_ingenieros_ (Lebl) /0:_introducción/0.2:_introduction_to_diferencial_ecuations">Introducción a las ecuaciones diferenciales

Ejercicio$\PageIndex{0.2.1}$

Demostrar que$x = e^{4t}$ es una solución para$x'''-12 x'' + 48 x' - 64 x = 0$.

Ejercicio$\PageIndex{0.2.2}$

Demostrar que no$x = e^{t}$ es una solución para$x'''-12 x'' + 48 x' - 64 x = 0$.

Ejercicio$\PageIndex{0.2.3}$

¿Es$y = \sin t$ una solución para${\left( \frac{dy}{dt} \right)}^2 = 1 - y^2$? Justificar.

Ejercicio$\PageIndex{0.2.4}$

Vamos$y'' + 2y' - 8y = 0$. Ahora prueba una solución de la forma$y = e^{rx}$ para alguna constante (desconocida)$r$. ¿Esto es una solución para algunos$r$? Si es así, encuentra todos esos$r$.

Ejercicio$\PageIndex{0.2.5}$

Verificar que$x = C e^{-2t}$ sea una solución para$x' = -2x$. Encontrar$C$ para resolver para la condición inicial$x(0) = 100$.

Ejercicio$\PageIndex{0.2.6}$

Verificar que$x = C_1 e^{-t} + C_2 e^{2t}$ sea una solución para$x'' - x' -2 x = 0$. Encontrar$C_1$ y$C_2$ resolver para las condiciones iniciales$x(0) = 10$ y$x'(0) = 0$.

Ejercicio$\PageIndex{0.2.7}$

Encuentra una solución para${(x')}^2 + x^2 = 4$ usar tus conocimientos de derivados de funciones que conoces a partir del cálculo básico.

Ejercicio$\PageIndex{0.2.8}$

Resolver:

1. $\dfrac{dA}{dt} = -10 A, \quad A(0)=5$
2. $\dfrac{dH}{dx} = 3 H, \quad H(0)=1$
3. $\dfrac{d^2y}{dx^2} = 4 y, \quad y(0)=0, \quad y'(0)=1$
4. $\dfrac{d^2x}{dy^2} = -9 x, \quad x(0)=1, \quad x'(0)=0$

Ejercicio$\PageIndex{0.2.9}$

¿Hay una solución para$y' = y$, tal que$y(0) = y(1)$?

Ejercicio$\PageIndex{0.2.10}$

La población de la ciudad$X$ era hace$100$ mil$20$ años, y la población de la ciudad$X$ fue hace$120$ mil$10$ años. Asumiendo un crecimiento constante, se puede utilizar el modelo poblacional exponencial (como para las bacterias). ¿Cuál estima que es ahora la población?

Ejercicio$\PageIndex{0.2.11}$

Supongamos que un entrenador de futbol recibe ahora un salario de un millón de dólares, y un aumento de$10\%$ cada año (modelo tan exponencial, como población de bacterias). $s$Sea el salario en millones de dólares, y$t$ es tiempo en años.

1. Qué es$s(0)$ y$s(1)$.
2. Aproximadamente cuántos años tomará para que el salario sea de$10$ millones.
3. Aproximadamente cuántos años tomará para que el salario sea de$20$ millones.
4. Aproximadamente cuántos años tomará para que el salario sea de$30$ millones.

Ejercicio$\PageIndex{0.2.12}$

Demostrar que$x = e^{-2t}$ es una solución para$x'' + 4x' + 4x = 0$.

Contestar

Cómputos$x'=-2e^{-2t}$ y$x''=4e^{-2t}$. Entonces$(4e^{-2t})+4(-2e^{-2t})+4(e^{-2t})=0$.

Ejercicio$\PageIndex{0.2.13}$

¿Es$y = x^2$ una solución para$x^2y'' - 2y = 0$? Justificar.

Contestar

Sí.

Ejercicio$\PageIndex{0.2.14}$

Vamos$xy'' - y' = 0$. Prueba una solución del formulario$y = x^r$. ¿Esto es una solución para algunos$r$? Si es así, encuentra todos esos$r$.

Contestar

$y=x^{r}$es una solución para$r=0$ y$r=2$.

Ejercicio$\PageIndex{0.2.15}$

Verificar que$x=C_1e^t+C_2$ sea una solución para$x''-x' = 0$. Encuentra$C_1$ y$C_2$ para que$x$ satisfaga$x(0) = 10$ y$x'(0) = 100$.

Contestar

$C_{1}=100$,$C_{2}=-90$

Ejercicio$\PageIndex{0.2.16}$

Resolver$\frac{d\varphi}{ds} = 8 \varphi$ y$\varphi(0) = -9$.

Contestar

$\varphi =-9e^{8s}$

Ejercicio$\PageIndex{0.2.17}$

Resolver:

1. $\dfrac{dx}{dt} = -4x, \quad x(0)=9$
2. $\dfrac{d^2x}{dt^2} = -4x, \quad x(0)=1, \quad x'(0)=2$
3. $\dfrac{dp}{dq} = 3 p, \quad p(0)=4$
4. $\dfrac{d^2T}{dx^2} = 4 T, \quad T(0)=0, \quad T'(0)=6$

Contestar

1. $x=9e^{-4t}$
2. $x=\cos (2t)+\sin (2t)$
3. $p=4e^{3q}$
4. $T=3\sinh (2x)$

title="0.3: Clasificación de Ecuaciones Diferenciales” href=” /Estanterías/ecuaciones_diferenciales/libro:_ecuaciones_diferenciales_for_ingenieros_ (Lebl) /0:_introducción/0.3:_clasificación_of_diferencial_ecuaciones">clasificación de ecuaciones diferenciales

Ejercicio$\PageIndex{0.3.1}$

Clasificar las siguientes ecuaciones. ¿Son ODE o PDE? ¿Es una ecuación o un sistema? ¿Cuál es el orden? ¿Es lineal o no lineal, y si es lineal, es homogéneo, coeficiente constante? Si es una ODE, ¿es autónoma?

1. $\displaystyle \sin(t) \frac{d^2 x}{dt^2} + \cos(t) x = t^2$
2. $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} + 3 \frac{\partial u}{\partial y} = xy$
3. $\displaystyle y''+3y+5x=0, \quad x''+x-y=0$
4. $\displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} + u\frac{\partial^2 u}{\partial s^2} = 0$
5. $\displaystyle x''+tx^2=t$
6. $\displaystyle \frac{d^4 x}{dt^4} = 0$

Ejercicio$\PageIndex{0.3.2}$

Si$\vec{u} = (u_1,u_2,u_3)$ es un vector, tenemos la divergencia$\nabla \cdot \vec{u} = \frac{\partial u_1}{\partial x} + \frac{\partial u_2}{\partial y} + \frac{\partial u_3}{\partial z}$ y el rizo$\nabla \times \vec{u} = \Bigl( \frac{\partial u_3}{\partial y} - \frac{\partial u_2}{\partial z} , ~ \frac{\partial u_1}{\partial z} - \frac{\partial u_3}{\partial x} , ~ \frac{\partial u_2}{\partial x} - \frac{\partial u_1}{\partial y} \Bigr)$. Observe que el rizo de un vector sigue siendo un vector. Escribe las ecuaciones de Maxwell en términos de derivadas parciales y clasifica el sistema.

Ejercicio$\PageIndex{0.3.3}$

Supongamos que$F$ es una función lineal, es decir,$F(x,y) = ax+by$ para constantes$a$ y$b$. Cuál es la clasificación de ecuaciones de la forma$F(y',y) = 0$.

Ejercicio$\PageIndex{0.3.4}$

Anote un ejemplo explícito de un tercer orden, lineal, coeficiente no constante, no autónomo, sistema no homogéneo de dos ODE tal manera que cada derivada que pudiera aparecer, sí aparezca.

Ejercicio$\PageIndex{0.3.5}$

Clasificar las siguientes ecuaciones. ¿Son ODE o PDE? ¿Es una ecuación o un sistema? ¿Cuál es el orden? ¿Es lineal o no lineal, y si es lineal, es homogéneo, coeficiente constante? Si es una ODE, ¿es autónoma?

1. $\displaystyle \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + 3 \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} = \sin(x)$
2. $\displaystyle \frac{d x}{dt} + \cos(t) x = t^2+t+1$
3. $\displaystyle \frac{d^7 F}{dx^7} = 3F(x)$
4. $\displaystyle y''+8y'=1$
5. $\displaystyle x''+tyx'=0, \quad y''+txy = 0$
6. $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial s^2} + u^2$

Contestar

1. PDE, ecuación, segundo orden, lineal, no homogéneo, coeficiente constante.
2. ODE, ecuación, primer orden, lineal, no homogéneo, coeficiente no constante, no autónomo.
3. ODE, ecuación, séptimo orden, lineal, homogéneo, coeficiente constante, autónomo.
4. ODE, ecuación, segundo orden, lineal, no homogéneo, coeficiente constante, autónomo.
5. ODE, sistema, segundo orden, no lineal.
6. PDE, ecuación, segundo orden, no lineal.

Ejercicio$\PageIndex{0.3.6}$

Anote la ecuación diferencial ordinaria lineal de orden cero general. Anote la solución general.

Contestar

ecuación:$a(x)y=b(x)$, solución:$y=\frac{b(x)}{a(x)}$.

Ejercicio$\PageIndex{0.3.7}$

Para lo cual$k$ es$\frac{dx}{dt}+x^k = t^{k+2}$ lineal. Pista: hay dos respuestas.

Contestar

$k=0$o$k=1$