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A.E: Álgebra Lineal (Ejercicios)

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    title="A.1: Vectores, Mapeos y Matrices” href=” /Estanterías/Ecuaciones_Diferenciales/Libro:_DIFERENCIAL_EQUATIONS_FOR_INGENIERS_ (Lebl) /Appendix_A:_LINEAR_ALGEBRA/A.1:_Vectors_Mappings_and_Matrices">Vectores, Mapeo y Matrices

    Ejercicio\(\PageIndex{A.1.1}\)

    En un trozo de papel cuadrillado dibuja los vectores:

    1. \(\begin{bmatrix} 2 \\ 5 \end{bmatrix}\)
    2. \(\begin{bmatrix} -2 \\ -4 \end{bmatrix}\)
    3. \((3,-4)\)
    Ejercicio\(\PageIndex{A.1.2}\)

    En un trozo de papel cuadriculado dibuje el vector\((1,2)\) comenzando en (basado en) el punto dado:

    1. basado en\((0,0)\)
    2. basado en\((1,2)\)
    3. basado en\((0,-1)\)
    Ejercicio\(\PageIndex{A.1.3}\)

    En un trozo de papel cuadrillado dibuje las siguientes operaciones. Dibujar y etiquetar los vectores involucrados en las operaciones así como el resultado:

    1. \(\begin{bmatrix} 1 \\ -4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}\)
    2. \(\begin{bmatrix} -3 \\ 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix}\)
    3. \(3\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}\)
    Ejercicio\(\PageIndex{A.1.4}\)

    Compute la magnitud de

    1. \(\begin{bmatrix} 7 \\ 2 \end{bmatrix}\)
    2. \(\begin{bmatrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}\)
    3. \((1,3,-4)\)
    Ejercicio\(\PageIndex{A.1.5}\)

    Compute

    1. \(\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 7 \\ -8 \end{bmatrix}\)
    2. \(\begin{bmatrix} -2 \\ 3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 6 \\ -4 \end{bmatrix}\)
    3. \(-\begin{bmatrix} -3 \\ 2 \end{bmatrix}\)
    4. \(4\begin{bmatrix} -1 \\ 5 \end{bmatrix}\)
    5. \(5\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} + 9 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\)
    6. \(3\begin{bmatrix} 1 \\ -8 \end{bmatrix} - 2 \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \end{bmatrix}\)
    Ejercicio\(\PageIndex{A.1.6}\)

    Encuentra el vector unitario en la dirección del vector dado

    1. \(\begin{bmatrix} 1 \\ -3 \end{bmatrix}\)
    2. \(\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}\)
    3. \((3,1,-2)\)
    Ejercicio\(\PageIndex{A.1.7}\)

    Si\(\vec{x} = (1,2)\) y\(\vec{y}\) se suman, encontramos\(\vec{x}+\vec{y} = (0,2)\). ¿Qué es\(\vec{y}\)?

    Ejercicio\(\PageIndex{A.1.8}\)

    Escribir\((1,2,3)\) como una combinación lineal de los vectores base estándar\(\vec{e}_1\),\(\vec{e}_2\), y\(\vec{e}_3\).

    Ejercicio\(\PageIndex{A.1.9}\)

    Si la magnitud de\(\vec{x}\) es 4, ¿cuál es la magnitud de

    1. \(0\vec{x}\)
    2. \(3\vec{x}\)
    3. \(-\vec{x}\)
    4. \(-4\vec{x}\)
    5. \(\vec{x}+\vec{x}\)
    6. \(\vec{x}-\vec{x}\)
    Ejercicio\(\PageIndex{A.1.10}\)

    Supongamos que un mapeo lineal\(F \colon {\mathbb R}^2 \to {\mathbb R}^2\) lleva\((1,0)\) a\((2,-1)\) y lleva\((0,1)\) a\((3,3)\). ¿A dónde lleva

    1. \((1,1)\)
    2. \((2,0)\)
    3. \((2,-1)\)
    Ejercicio\(\PageIndex{A.1.11}\)

    Supongamos que un mapeo lineal\(F \colon {\mathbb R}^3 \to {\mathbb R}^2\) lleva\((1,0,0)\) a\((2,1)\), toma\((0,1,0)\) a\((3,4)\), y lleva\((0,0,1)\) a\((5,6)\). Anote la matriz que representa el mapeo\(F\).

    Ejercicio\(\PageIndex{A.1.12}\)

    Supongamos que un mapeo\(F \colon {\mathbb R}^2 \to \mathbb{R}^2\) lleva\((1,0)\) a\((1,2)\),\((0,1)\) a\((3,4)\), y\((1,1)\) a\((0,-1)\). Explique por qué no\(F\) es lineal.

    Ejercicio\(\PageIndex{A.1.13}\): (challenging)

    Let\({\mathbb R}^3\) representar el espacio de polinomios cuadráticos en\(t\): un punto\((a_0,a_1,a_2)\) en\({\mathbb R}^3\) representa el polinomio\(a_0 + a_1 t + a_2 t^2\). Considere la derivada\(\frac{d}{dt}\) como un mapeo de\({\mathbb R}^3\) a\({\mathbb R}^3\), y tenga en cuenta que\(\frac{d}{dt}\) es lineal. Anote\(\frac{d}{dt}\) como\(3 \times 3\) matriz.

    Ejercicio\(\PageIndex{A.1.14}\)

    Compute la magnitud de

    1. \(\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix}\)
    2. \(\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{bmatrix}\)
    3. \((-2,1,-2)\)
    Contestar
    1. \(\sqrt{10}\)
    2. \(\sqrt{14}\)
    3. \(3\)
    Ejercicio\(\PageIndex{A.1.15}\)

    Encuentra el vector unitario en la dirección del vector dado

    1. \(\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}\)
    2. \(\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}\)
    3. \((2,-5,2)\)
    Contestar
    1. \(\left[\begin{array}{c}{\frac{-1}{\sqrt{2}}}\\{\frac{1}{\sqrt{2}}}\end{array}\right]\)
    2. \(\left[\begin{array}{c}{\frac{1}{\sqrt{6}}}\\{\frac{-1}{\sqrt{6}}}\\{\frac{2}{\sqrt{6}}}\end{array}\right]\)
    3. \(\left(\frac{2}{\sqrt{33}},\frac{-5}{\sqrt{33}},\frac{2}{\sqrt{33}}\right)\)
    Ejercicio\(\PageIndex{A.1.16}\)

    Compute

    1. \(\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 6 \\ -3 \end{bmatrix}\)
    2. \(\begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix}\)
    3. \(-\begin{bmatrix} -5 \\ 3 \end{bmatrix}\)
    4. \(2\begin{bmatrix} -2 \\ 4 \end{bmatrix}\)
    5. \(3\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} + 7 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\)
    6. \(2\begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix} - 6 \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix}\)
    Contestar
    1. \(\left[\begin{array}{c}{9}\\{-2}\end{array}\right]\)
    2. \(\left[\begin{array}{c}{-3}\\{3}\end{array}\right]\)
    3. \(\left[\begin{array}{c}{5}\\{-3}\end{array}\right]\)
    4. \(\left[\begin{array}{c}{-4}\\{8}\end{array}\right]\)
    5. \(\left[\begin{array}{c}{3}\\{7}\end{array}\right]\)
    6. \(\left[\begin{array}{c}{-8}\\{3}\end{array}\right]\)
    Ejercicio\(\PageIndex{A.1.17}\)

    Si la magnitud de\(\vec{x}\) es 5, ¿cuál es la magnitud de

    1. \(4\vec{x}\)
    2. \(-2\vec{x}\)
    3. \(-4\vec{x}\)
    Contestar
    1. \(20\)
    2. \(10\)
    3. \(20\)
    Ejercicio\(\PageIndex{A.1.18}\)

    Supongamos que un mapeo lineal\(F \colon {\mathbb R}^2 \to {\mathbb R}^2\) lleva\((1,0)\) a\((1,-1)\) y lleva\((0,1)\) a\((2,0)\). ¿A dónde lleva

    1. \((1,1)\)
    2. \((0,2)\)
    3. \((1,-1)\)
    Contestar
    1. \((3,-1)\)
    2. \((4,0)\)
    3. \((-1,-1)\)

    title="A.2: Álgebra Matriz” href=” /Estanterías/Ecuaciones diferenciales/libro:_diferencial_ecuaciones_for_ingenieros_ (Lebl) /Apéndice_A:_Linear_Algebra/A.2:_Matrix_Álgebra">Álgebra Matriz

    Ejercicio\(\PageIndex{A.2.1}\)

    Agregar las siguientes matrices

    1. \(\begin{bmatrix} -1 & 2 & 2 \\ 5 & 8 & -1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 & 2 & 3 \\ 8 & 3 & 5 \end{bmatrix}\)
    2. \(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 2 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 & -8 & -3 \\ 3 & 1 & 0 \\ 6 & -4 & 1 \end{bmatrix}\)
    Ejercicio\(\PageIndex{A.2.2}\)

    Compute

    1. \(3\begin{bmatrix} 0 & 3 \\ -2 & 2 \end{bmatrix} + 6 \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ -1 & 5 \end{bmatrix}\)
    2. \(2\begin{bmatrix} -3 & 1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} - 3 \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}\)
    Ejercicio\(\PageIndex{A.2.3}\)

    Multiplicar las siguientes matrices

    1. \(\begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 3 & 1 \\ 5 & 8 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -1 & 3 & 1 \\ 8 & 3 & 2 & -3 \end{bmatrix}\)
    2. \(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 & 7 \\ 1 & 2 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 3 & 0 \end{bmatrix}\)
    3. \(\begin{bmatrix} 4 & 1 & 6 & 3 \\ 5 & 6 & 5 & 0 \\ 4 & 6 & 6 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 2 \\ 3 & 5 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}\)
    4. \(\begin{bmatrix} 1 & 1 & 4 \\ 0 & 5 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 0 \\ 6 & 4 \end{bmatrix}\)
    Ejercicio\(\PageIndex{A.2.4}\)

    Computar la inversa de las matrices dadas

    1. \(\begin{bmatrix} -3 \end{bmatrix}\)
    2. \(\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\)
    3. \(\begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}\)
    4. \(\begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}\)
    Ejercicio\(\PageIndex{A.2.5}\)

    Computar la inversa de las matrices dadas

    1. \(\begin{bmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)
    2. \(\begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)
    3. \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0.01 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -5 \end{bmatrix}\)
    Ejercicio\(\PageIndex{A.2.6}\)

    Agregar las siguientes matrices

    1. \(\begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 5 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 5 \end{bmatrix}\)
    2. \(\begin{bmatrix} 6 & -2 & 3 \\ 7 & 3 & 3 \\ 8 & -1 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -1 & -1 & -3 \\ 6 & 7 & 3 \\ -9 & 4 & -1 \end{bmatrix}\)
    Contestar

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    Ejercicio\(\PageIndex{A.2.7}\)

    Compute

    1. \(2\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} + 3 \begin{bmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\)
    2. \(3\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} - 2 \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}\)
    Contestar

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    Ejercicio\(\PageIndex{A.2.8}\)

    Multiplicar las siguientes matrices

    1. \(\begin{bmatrix} 2 & 1 & 4 \\ 3 & 4 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 3 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}\)
    2. \(\begin{bmatrix} 0 & 3 & 3 \\ 2 & -2 & 1 \\ 3 & 5 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 6 & 6 & 2 \\ 4 & 6 & 0 \\ 2 & 0 & 4 \end{bmatrix}\)
    3. \(\begin{bmatrix} 3 & 4 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \\ 4 & -1 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 2 & 5 & 0 \\ 2 & 0 & 5 & 2 \\ 3 & 6 & 1 & 6 \end{bmatrix}\)
    4. \(\begin{bmatrix} -2 & -2 \\ 5 & 3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}\)
    Contestar

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    Ejercicio\(\PageIndex{A.2.9}\)

    Computar la inversa de las matrices dadas

    1. \(\begin{bmatrix} 2 \end{bmatrix}\)
    2. \(\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\)
    3. \(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}\)
    4. \(\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 4 & 4 \end{bmatrix}\)
    Contestar

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    Ejercicio\(\PageIndex{A.2.10}\)

    Computar la inversa de las matrices dadas

    1. \(\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}\)
    2. \(\begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}\)
    3. \(\begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0.1 \end{bmatrix}\)
    Contestar

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    title="a.3: Eliminación” href=” /Estanterías/ecuaciones_diferenciales/libro:_diferencial_ecuaciones_for_ingenieros_ (Lebl) /Apéndice_A:_Linear_Algebra/A.3:_Eliminación">Eliminación

    Ejercicio\(\PageIndex{A.3.1}\)

    Calcular la forma de escalón de fila reducida para las siguientes matrices:

    1. \(\begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}\)
    2. \(\begin{bmatrix} 3 & 3 \\ 6 & -3 \end{bmatrix}\)
    3. \(\begin{bmatrix} 3 & 6 \\ -2 & -3 \end{bmatrix}\)
    4. \(\begin{bmatrix} 6 & 6 & 7 & 7 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)
    5. \(\begin{bmatrix} 9 & 3 & 0 & 2 \\ 8 & 6 & 3 & 6 \\ 7 & 9 & 7 & 9 \end{bmatrix}\)
    6. \(\begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 & -3 \\ 6 & 0 & 0 & -1 \\ -2 & 4 & 4 & 3 \end{bmatrix}\)
    7. \(\begin{bmatrix} 6 & 6 & 5 \\ 0 & -2 & 2 \\ 6 & 5 & 6 \end{bmatrix}\)
    8. \(\begin{bmatrix} 0 & 2 & 0 & -1 \\ 6 & 6 & -3 & 3 \\ 6 & 2 & -3 & 5 \end{bmatrix}\)
    Ejercicio\(\PageIndex{A.3.2}\)

    Computar la inversa de las matrices dadas

    1. \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}\)
    2. \(\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)
    3. \(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{bmatrix}\)
    Ejercicio\(\PageIndex{A.3.3}\)

    Resolver (encontrar todas las soluciones), o mostrar que no existe ninguna solución

    1. \(\begin{aligned} 4x_1+3x_2 & = -2 \\ -x_1+\phantom{3} x_2 & = 4 \end{aligned}\)
    2. \(\begin{aligned} x_1+5x_2+3x_3 & = 7 \\ 8x_1+7x_2+8x_3 & = 8 \\ 4x_1+8x_2+6x_3 & = 4 \end{aligned}\)
    3. \(\begin{aligned} 4x_1+8x_2+2x_3 & = 3 \\ -x_1-2x_2+3x_3 & = 1 \\ 4x_1+8x_2 \phantom{{}+3x_3} & = 2 \end{aligned}\)
    4. \(\begin{aligned} x+2y+3z & = 4 \\ 2 x-\phantom{2} y+3z & = 1 \\ 3 x+\phantom{2} y+6z & = 6 \end{aligned}\)
    Ejercicio\(\PageIndex{A.3.4}\)

    Al computar lo inverso, resuelve los siguientes sistemas para\(\vec{x}\).

    1. \(\begin{bmatrix} 4 & 1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \vec{x} = \begin{bmatrix} 13 \\ 26 \end{bmatrix}\)
    2. \(\begin{bmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \vec{x} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix}\)
    Ejercicio\(\PageIndex{A.3.5}\)

    Compute el rango de las matrices dadas

    1. \(\begin{bmatrix} 6 & 3 & 5 \\ 1 & 4 & 1 \\ 7 & 7 & 6 \end{bmatrix}\)
    2. \(\begin{bmatrix} 5 & -2 & -1 \\ 3 & 0 & 6 \\ 2 & 4 & 5 \end{bmatrix}\)
    3. \(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & -2 & -3 \\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix}\)
    Ejercicio\(\PageIndex{A.3.6}\)

    Para las matrices en Exercise\(\PageIndex{A.3.5}\), busque un conjunto linealmente independiente de vectores de fila que abarquen el espacio de filas (no necesitan ser filas de la matriz).

    Ejercicio\(\PageIndex{A.3.7}\)

    Para las matrices en Ejercicio\(\PageIndex{A.3.5}\), busque un conjunto linealmente independiente de columnas que abarquen el espacio de columnas. Es decir, encuentra las columnas pivotes de las matrices.

    Ejercicio\(\PageIndex{A.3.8}\)

    Encuentre un subconjunto linealmente independiente de los siguientes vectores que tengan el mismo lapso. \[\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} , \quad \begin{bmatrix} 2 \\ -2 \\ -4 \end{bmatrix} , \quad \begin{bmatrix} -2 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix} , \quad \begin{bmatrix} -1 \\ 3 \\ -2 \end{bmatrix} \nonumber \]

    Ejercicio\(\PageIndex{A.3.9}\)

    Calcular la forma de escalón de fila reducida para las siguientes matrices:

    1. \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}\)
    2. \(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)
    3. \(\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -2 & -2 \end{bmatrix}\)
    4. \(\begin{bmatrix} 1 & -3 & 1 \\ 4 & 6 & -2 \\ -2 & 6 & -2 \end{bmatrix}\)
    5. \(\begin{bmatrix} 2 & 2 & 5 & 2 \\ 1 & -2 & 4 & -1 \\ 0 & 3 & 1 & -2 \end{bmatrix}\)
    6. \(\begin{bmatrix} -2 & 6 & 4 & 3 \\ 6 & 0 & -3 & 0 \\ 4 & 2 & -1 & 1 \end{bmatrix}\)
    7. \(\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\)
    8. \(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 5 \end{bmatrix}\)
    Contestar
    1. \(\left[\begin{array}{ccc}{1}&{0}&{1}\\{0}&{1}&{0}\end{array}\right]\)
    2. \(\left[\begin{array}{cc}{1}&{0}\\{0}&{1}\end{array}\right]\)
    3. \(\left[\begin{array}{cc}{1}&{1}\\{0}&{0}\end{array}\right]\)
    4. \(\left[\begin{array}{ccc}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{-\frac{1}{3}}\\{0}&{0}&{0}\end{array}\right]\)
    5. \(\left[\begin{array}{cccc}{1}&{0}&{0}&{\frac{77}{15}}\\{0}&{1}&{0}&{-\frac{2}{15}}\\{0}&{0}&{1}&{-\frac{8}{5}}\end{array}\right]\)
    6. \(\left[\begin{array}{cccc}{1}&{0}&{-\frac{1}{2}}&{0}\\{0}&{1}&{\frac{1}{2}}&{\frac{1}{2}}\\{0}&{0}&{0}&{0}\end{array}\right]\)
    7. \(\left[\begin{array}{cccc}{0}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{0}\end{array}\right]\)
    8. \(\left[\begin{array}{cccc}{1}&{2}&{3}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{1}\end{array}\right]\)
    Ejercicio\(\PageIndex{A.3.10}\)

    Computar la inversa de las matrices dadas

    1. \(\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)
    2. \(\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}\)
    3. \(\begin{bmatrix} 2 & 4 & 0 \\ 2 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 1 \end{bmatrix}\)
    Contestar
    1. \(\left[\begin{array}{ccc}{0}&{-1}&{0}\\{1}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{array}\right]\)
    2. \(\left[\begin{array}{ccc}{0}&{0}&{1}\\{0}&{1}&{-1}\\{1}&{-1}&{0}\end{array}\right]\)
    3. \(\left[\begin{array}{ccc}{\frac{5}{2}}&{1}&{-3}\\{-1}&{-\frac{1}{2}}&{\frac{3}{2}}\\{-1}&{0}&{1}\end{array}\right]\)
    Ejercicio\(\PageIndex{A.3.11}\)

    Resolver (encontrar todas las soluciones), o mostrar que no existe ninguna solución

    1. \(\begin{aligned} 4x_1+3x_2 & = -1 \\ 5x_1+6x_2 & = 4 \end{aligned}\)
    2. \(\begin{aligned} 5x+6y+5z & = 7 \\ 6x+8y+6z & = -1 \\ 5x+2y+5z & = 2 \end{aligned}\)
    3. \(\begin{aligned} a+\phantom{5}b+\phantom{6}c & = -1 \\ a+5b+6c & = -1 \\ -2a+5b+6c & = 8 \end{aligned}\)
    4. \(\begin{aligned} -2 x_1+2x_2+8x_3 & = 6 \\ x_2+\phantom{8}x_3 & = 2 \\ x_1+4x_2+\phantom{8}x_3 & = 7 \end{aligned}\)
    Contestar
    1. \(x_{1}=-2,\: x_{2}=\frac{7}{3}\)
    2. no hay solución
    3. \(a=-3,\: b=10,\: c=-8\)
    4. \(x_{3}\)es gratis,\(x_{1}=-1+3x_{3}\),\(x_{2}=2-x_{3}\)
    Ejercicio\(\PageIndex{A.3.12}\)

    Al computar lo inverso, resuelve los siguientes sistemas para\(\vec{x}\).

    1. \(\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 3 & 3 \end{bmatrix} \vec{x} = \begin{bmatrix} 4 \\ 6 \end{bmatrix}\)
    2. \(\begin{bmatrix} 2 & 7 \\ 1 & 6 \end{bmatrix} \vec{x} = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix}\)
    Contestar
    1. \(\left[\begin{array}{c}{-1}\\{3}\end{array}\right]\)
    2. \(\left[\begin{array}{c}{-3}\\{1}\end{array}\right]\)
    Ejercicio\(\PageIndex{A.3.13}\)

    Compute el rango de las matrices dadas

    1. \(\begin{bmatrix} 7 & -1 & 6 \\ 7 & 7 & 7 \\ 7 & 6 & 2 \end{bmatrix}\)
    2. \(\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \end{bmatrix}\)
    3. \(\begin{bmatrix} 0 & 3 & -1 \\ 6 & 3 & 1 \\ 4 & 7 & -1 \end{bmatrix}\)
    Contestar
    1. \(3\)
    2. \(1\)
    3. \(2\)
    Ejercicio\(\PageIndex{A.3.14}\)

    Para las matrices en Exercise\(\PageIndex{A.3.13}\), busque un conjunto linealmente independiente de vectores de fila que abarquen el espacio de filas (no necesitan ser filas de la matriz).

    Contestar
    1. \(\left[\begin{array}{ccc}{1}&{0}&{0}\end{array}\right]\),\(\left[\begin{array}{ccc}{0}&{1}&{0}\end{array}\right]\),\(\left[\begin{array}{ccc}{0}&{0}&{1}\end{array}\right]\)
    2. \(\left[\begin{array}{ccc}{1}&{1}&{1}\end{array}\right]\)
    3. \(\left[\begin{array}{ccc}{1}&{0}&{\frac{1}{3}}\end{array}\right]\),\(\left[\begin{array}{ccc}{0}&{1}&{-\frac{1}{3}}\end{array}\right]\)
    Ejercicio\(\PageIndex{A.3.15}\)

    Para las matrices en Ejercicio\(\PageIndex{A.3.13}\), busque un conjunto linealmente independiente de columnas que abarquen el espacio de columnas. Es decir, encuentra las columnas pivotes de las matrices.

    Contestar
    1. \(\left[\begin{array}{c}{7}\\{7}\\{7}\end{array}\right]\),\(\left[\begin{array}{c}{-1}\\{7}\\{6}\end{array}\right]\),\(\left[\begin{array}{c}{7}\\{6}\\{2}\end{array}\right]\)
    2. \(\left[\begin{array}{c}{1}\\{1}\\{2}\end{array}\right]\)
    3. \(\left[\begin{array}{c}{0}\\{6}\\{4}\end{array}\right]\),\(\left[\begin{array}{c}{3}\\{3}\\{7}\end{array}\right]\)
    Ejercicio\(\PageIndex{A.3.16}\)

    Encuentre un subconjunto linealmente independiente de los siguientes vectores que tengan el mismo lapso. \[\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} , \quad \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ -5 \end{bmatrix} , \quad \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \\ -1 \end{bmatrix} , \quad \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \\ 4 \end{bmatrix} \nonumber \]

    Contestar

    \(\left[\begin{array}{c}{3}\\{1}\\{-5}\end{array}\right]\),\(\left[\begin{array}{c}{0}\\{3}\\{-1}\end{array}\right]\)

    title="A.4: Subespacios, Dimensión y El Núcleo” href=” /Estanterías/ecuaciones_diferenciales/libro:_diferencial_ecuations_for_engineers_ (Lebl) /Appendix_A:_linear_algebra/a.4:_subspaces_dimension_and_the_kernel">Subespacios, Dimensión y el Núcleo

    Ejercicio\(\PageIndex{A.4.1}\)

    Para los siguientes conjuntos de vectores, encuentre una base para el subespacio abarcado por los vectores, y encuentre la dimensión del subespacio.

    1. \(\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} , \quad \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ -1 \end{bmatrix}\)
    2. \(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 5 \end{bmatrix} , \quad \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} , \quad \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}\)
    3. \(\begin{bmatrix} -4 \\ -3 \\ 5 \end{bmatrix} , \quad \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 3 \end{bmatrix} , \quad \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}\)
    4. \(\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix} , \quad \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix} , \quad \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}\)
    5. \(\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix} , \quad \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \end{bmatrix} , \quad \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \end{bmatrix}\)
    6. \(\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix} , \quad \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ -4 \end{bmatrix} , \quad \begin{bmatrix} -5 \\ -5 \\ -2 \end{bmatrix}\)
    Ejercicio\(\PageIndex{A.4.2}\)

    Para las siguientes matrices, encuentre una base para el kernel (nullspace).

    1. \(\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 5 \\ 1 & 1 & -4 \end{bmatrix}\)
    2. \(\begin{bmatrix} 2 & -1 & -3 \\ 4 & 0 & -4 \\ -1 & 1 & 2 \end{bmatrix}\)
    3. \(\begin{bmatrix} -4 & 4 & 4 \\ -1 & 1 & 1 \\ -5 & 5 & 5 \end{bmatrix}\)
    4. \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 1 & 1 \\ -4 & 2 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 4 & 3 \end{bmatrix}\)
    Ejercicio\(\PageIndex{A.4.3}\)

    Supongamos que una\(5 \times 5\) matriz\(A\) tiene rango 3. ¿Cuál es la nulidad?

    Ejercicio\(\PageIndex{A.4.4}\)

    Supongamos que\(X\) es el conjunto de todos los vectores de\({\mathbb{R}}^3\) cuyo tercer componente es cero. ¿Es\(X\) un subespacio? Y si es así, encuentra una base y la dimensión.

    Ejercicio\(\PageIndex{A.4.5}\)

    Consideremos una matriz cuadrada\(A\), y supongamos que\(\vec{x}\) es un vector distinto de cero tal que\(A \vec{x} = \vec{0}\). ¿Qué dice la alternativa de Fredholm sobre la invertibilidad de\(A\).

    Ejercicio\(\PageIndex{A.4.6}\)

    Considerar\[M = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & ? & ? \\ -1 & ? & ? \end{bmatrix} . \nonumber \] Si la nulidad de esta matriz es 2, rellene los signos de interrogación. Pista: ¿Cuál es el rango?

    Ejercicio\(\PageIndex{A.4.7}\)

    Para los siguientes conjuntos de vectores, encuentre una base para el subespacio abarcado por los vectores, y encuentre la dimensión del subespacio.

    1. \(\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} , \quad \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\)
    2. \(\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} , \quad \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix} , \quad \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}\)
    3. \(\begin{bmatrix} 5 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix} , \quad \begin{bmatrix} 5 \\ -1 \\ 5 \end{bmatrix} , \quad \begin{bmatrix} -1 \\ 3 \\ -4 \end{bmatrix}\)
    4. \(\begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 4 \end{bmatrix} , \quad \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} , \quad \begin{bmatrix} 4 \\ 4 \\ -3 \end{bmatrix}\)
    5. \(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} , \quad \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \end{bmatrix} , \quad \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \end{bmatrix}\)
    6. \(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} , \quad \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} , \quad \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}\)
    Contestar
    1. \(\left[\begin{array}{c}{1}\\{2}\end{array}\right]\),\(\left[\begin{array}{c}{1}\\{1}\end{array}\right]\) dimensión\(2\),
    2. \(\left[\begin{array}{c}{1}\\{1}\\{1}\end{array}\right]\),\(\left[\begin{array}{c}{1}\\{1}\\{2}\end{array}\right]\) dimensión\(2\),
    3. \(\left[\begin{array}{c}{5}\\{3}\\{1}\end{array}\right]\),\(\left[\begin{array}{c}{5}\\{-1}\\{5}\end{array}\right]\),\(\left[\begin{array}{c}{-1}\\{3}\\{-4}\end{array}\right]\) dimensión\(3\),
    4. \(\left[\begin{array}{c}{2}\\{2}\\{4}\end{array}\right]\),\(\left[\begin{array}{c}{2}\\{2}\\{3}\end{array}\right]\) dimensión\(2\),
    5. \(\left[\begin{array}{c}{1}\\{1}\end{array}\right]\)dimensión\(1\),
    6. \(\left[\begin{array}{c}{1}\\{0}\\{0}\end{array}\right]\),\(\left[\begin{array}{c}{0}\\{1}\\{2}\end{array}\right]\) dimensión\(2\)
    Ejercicio\(\PageIndex{A.4.8}\)

    Para las siguientes matrices, encuentre una base para el kernel (nullspace).

    1. \(\begin{bmatrix} 2 & 6 & 1 & 9 \\ 1 & 3 & 2 & 9 \\ 3 & 9 & 0 & 9 \end{bmatrix}\)
    2. \(\begin{bmatrix} 2 & -2 & -5 \\ -1 & 1 & 5 \\ -5 & 5 & -3 \end{bmatrix}\)
    3. \(\begin{bmatrix} 1 & -5 & -4 \\ 2 & 3 & 5 \\ -3 & 5 & 2 \end{bmatrix}\)
    4. \(\begin{bmatrix} 0 & 4 & 4 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 5 & 5 \end{bmatrix}\)
    Contestar
    1. \(\left[\begin{array}{c}{3}\\{-1}\\{0}\\{0}\end{array}\right]\),\(\left[\begin{array}{c}{3}\\{0}\\{3}\\{-1}\end{array}\right]\)
    2. \(\left[\begin{array}{c}{-1}\\{-1}\\{0}\end{array}\right]\)
    3. \(\left[\begin{array}{c}{1}\\{1}\\{-1}\end{array}\right]\)
    4. \(\left[\begin{array}{c}{-1}\\{0}\\{0}\end{array}\right]\),\(\left[\begin{array}{c}{0}\\{1}\\{-1}\end{array}\right]\)
    Ejercicio\(\PageIndex{A.4.9}\)

    Supongamos el espacio de columna de una\(9 \times 5\) matriz\(A\) de dimensión 3. Encuentra

    1. Rango de\(A\).
    2. Nulidad de\(A\).
    3. Dimensión del espacio de fila de\(A\).
    4. Dimensión del espacio nulo de\(A\).
    5. Tamaño del subconjunto máximo de filas linealmente independientes de\(A\).
    Contestar
    1. \(3\)
    2. \(2\)
    3. \(3\)
    4. \(2\)
    5. \(3\)

    title="a.5: Producto Interior y Proyecciones” href=” /Estanterías/diferencial_ecuaciones/libro:_diferencial_ecuations_for_engineers_ (Lebl) /appendix_a:_linear_algebra/a.5:_inner_product_and_projecciones">Producto interno y proyecciones

    Ejercicio\(\PageIndex{A.5.1}\)

    Encuentra el\(s\) que hace ortogonales los siguientes vectores:\((1,2,3)\),\((1,1,s)\).

    Ejercicio\(\PageIndex{A.5.2}\)

    Encuentra el ángulo\(\theta\) entre\((1,3,1)\),\((2,1,-1)\).

    Ejercicio\(\PageIndex{A.5.3}\)

    Teniendo en cuenta eso\(\langle \vec{v} , \vec{w} \rangle = 3\) y\(\langle \vec{v} , \vec{u} \rangle = -1\) computar

    1. \(\langle \vec{u} , 2 \vec{v} \rangle\)
    2. \(\langle \vec{v} , 2 \vec{w} + 3 \vec{u} \rangle\)
    3. \(\langle \vec{w} + 3 \vec{u}, \vec{v} \rangle\)
    Ejercicio\(\PageIndex{A.5.4}\)

    Supongamos\(\vec{v} = (1,1,-1)\). Encuentra

    1. \(\operatorname{proj}_{\vec{v}}\bigl( (1,0,0) \bigr)\)
    2. \(\operatorname{proj}_{\vec{v}}\bigl( (1,2,3) \bigr)\)
    3. \(\operatorname{proj}_{\vec{v}}\bigl( (1,-1,0) \bigr)\)
    Ejercicio\(\PageIndex{A.5.5}\)

    Consideremos los vectores\((1,2,3)\),\((-3,0,1)\),\((1,-5,3)\).

    1. Comprobar que los vectores son linealmente independientes y así formar una base.
    2. Comprobar que los vectores son mutuamente ortogonales, y por lo tanto son una base ortogonal.
    3. Representar\((1,1,1)\) como una combinación lineal de esta base.
    4. Hacer la base ortonormal.
    Ejercicio\(\PageIndex{A.5.6}\)

    \(S\)Sea el subespacio abarcado por\((1,3,-1)\),\((1,1,1)\). Encontrar una base ortogonal de\(S\) por el proceso Gram-Schmidt.

    Ejercicio\(\PageIndex{A.5.7}\)

    Comenzando con\((1,2,3)\)\((1,1,1)\),\((2,2,0)\), siga el proceso de Gram-Schmidt para encontrar una base ortogonal de\({\mathbb{R}}^3\).

    Ejercicio\(\PageIndex{A.5.8}\)

    Encontrar una base ortogonal de\({\mathbb{R}}^3\) tal que\((3,1,-2)\) sea uno de los vectores. Pista: Primero encuentra dos vectores adicionales para hacer un conjunto linealmente independiente.

    Ejercicio\(\PageIndex{A.5.9}\)

    Usando cosenos y senos de\(\theta\), encontrar un vector unitario\(\vec{u}\) en el\({\mathbb{R}}^2\) que hace ángulo\(\theta\) con\(\vec{\imath} = (1,0)\). ¿Qué es\(\langle \vec{\imath} , \vec{u} \rangle\)?

    Ejercicio\(\PageIndex{A.5.10}\)

    Encuentra el\(s\) que hace ortogonales los siguientes vectores:\((1,1,1)\),\((1,s,1)\).

    Contestar

    \(s=-2\)

    Ejercicio\(\PageIndex{A.5.11}\)

    Encuentra el ángulo\(\theta\) entre\((1,2,3)\),\((1,1,1)\).

    Contestar

    \(\theta\approx 0.3876\)

    Ejercicio\(\PageIndex{A.5.12}\)

    Dado que\(\langle \vec{v} , \vec{w} \rangle = 1\) y\(\langle \vec{v} , \vec{u} \rangle = -1\) y\(\lVert \vec{v} \rVert = 3\) y

    1. \(\langle 3 \vec{u} , 5 \vec{v} \rangle\)
    2. \(\langle \vec{v} , 2 \vec{w} + 3 \vec{u} \rangle\)
    3. \(\langle \vec{w} + 3 \vec{v}, \vec{v} \rangle\)
    Contestar
    1. \(-15\)
    2. \(-1\)
    3. \(28\)
    Ejercicio\(\PageIndex{A.5.13}\)

    Supongamos\(\vec{v} = (1,0,-1)\). Encuentra

    1. \(\operatorname{proj}_{\vec{v}}\bigl( (0,2,1) \bigr)\)
    2. \(\operatorname{proj}_{\vec{v}}\bigl( (1,0,1) \bigr)\)
    3. \(\operatorname{proj}_{\vec{v}}\bigl( (4,-1,0) \bigr)\)
    Contestar
    1. \(\left(-\frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right)\)
    2. \((0,0,0)\)
    3. \((2,0,-2)\)
    Ejercicio\(\PageIndex{A.5.14}\)

    Los vectores\((1,1,-1)\),\((2,-1,1)\),\((1,-5,3)\) forman una base ortogonal. Representan los siguientes vectores en términos de esta base:

    1. \((1,-8,4)\)
    2. \((5,-7,5)\)
    3. \((0,-6,2)\)
    Contestar
    1. \((1,1,-1)-(2,-1,1)+2(1,-5,3)\)
    2. \(2(2,-1,1)+(1,-5,3)\)
    3. \(2(1,1,-1)-2(2,-1,1)+2(1,-5,3)\)
    Ejercicio\(\PageIndex{A.5.15}\)

    \(S\)Sea el subespacio abarcado por\((2,-1,1)\),\((2,2,2)\). Encontrar una base ortogonal de\(S\) por el proceso Gram-Schmidt.

    Contestar

    \((2,-1,1)\),\(\left(\frac{2}{3},\frac{8}{3},\frac{4}{3}\right)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{A.5.16}\)

    Comenzando con\((1,1,-1)\)\((2,3,-1)\),\((1,-1,1)\), siga el proceso de Gram-Schmidt para encontrar una base ortogonal de\({\mathbb{R}}^3\).

    Contestar

    \((1,1,-1)\),\((0,1,1)\),\(\left(\frac{4}{3},-\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)\)

    title="a.6: Determinante” href=” /Estanterías/ecuaciones_diferenciales/libro:_diferencial_ecuaciones_for_ingenieros_ (Lebl) /Apéndice_A:_Linear_Algebra/a.6:_Determinante">Determinante

    Ejercicio\(\PageIndex{A.6.1}\)

    Compute el determinante de las siguientes matrices:

    1. \(\begin{bmatrix} 3 \end{bmatrix}\)
    2. \(\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}\)
    3. \(\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}\)
    4. \(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix}\)
    5. \(\begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -2 & 7 & -3 \\ 0 & 2 & 0 \end{bmatrix}\)
    6. \(\begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 8 & 6 & 3 \\ 7 & 9 & 7 \end{bmatrix}\)
    7. \(\begin{bmatrix} 0 & 2 & 5 & 7 \\ 0 & 0 & 2 & -3 \\ 3 & 4 & 5 & 7 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \end{bmatrix}\)
    8. \(\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & -2 & 3 \end{bmatrix}\)
    Ejercicio\(\PageIndex{A.6.2}\)

    Para lo cual\(x\) son las siguientes matrices singulares (no invertibles).

    1. \(\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 2 & x \end{bmatrix}\)
    2. \(\begin{bmatrix} 2 & x \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\)
    3. \(\begin{bmatrix} x & 1 \\ 4 & x \end{bmatrix}\)
    4. \(\begin{bmatrix} x & 0 & 1 \\ 1 & 4 & 2 \\ 1 & 6 & 2 \end{bmatrix}\)
    Ejercicio\(\PageIndex{A.6.3}\)

    Compute\[\det \left( \begin{bmatrix} 2 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 8 & 6 & 5 \\ 0 & 0 & 3 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}^{-1} \right) \nonumber \] sin computar la inversa.

    Ejercicio\(\PageIndex{A.6.4}\)

    \[L = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 7 & \pi & 1 & 0 \\ 2^8 & 5 & -99 & 1 \end{bmatrix} \qquad \text{and} \qquad U = \begin{bmatrix} 5 & 9 & 1 & -\sin(1) \\ 0 & 1 & 88 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} . \nonumber \]Supongamos que vamos\(A = LU\). Calcular de\(\det(A)\) manera sencilla, sin computar lo que es\(A\). Pista: Primera lectura\(\det(L)\) y\(\det(U)\).

    Ejercicio\(\PageIndex{A.6.5}\)

    Considere el mapeo lineal de\({\mathbb R}^2\) a\({\mathbb R}^2\) dado por la matriz\(A = \left[ \begin{smallmatrix} 1 & x \\ 2 & 1 \end{smallmatrix} \right]\) para algún número\(x\). Se desea hacer\(A\) tal que duplique el área de cada figura geométrica. ¿Cuáles son las posibilidades para\(x\) (hay dos respuestas).

    Ejercicio\(\PageIndex{A.6.6}\)

    Supongamos\(A\) y\(S\) son\(n \times n\) matrices, y\(S\) es invertible. Supongamos que\(\det(A) = 3\). Computación\(\det(S^{-1}AS)\) y\(\det(SAS^{-1})\). Justifica tu respuesta usando los teoremas de esta sección.

    Ejercicio\(\PageIndex{A.6.7}\)

    Que\(A\) sea una\(n \times n\) matriz tal que\(\det(A)=1\). Computar\(\det(x A)\) dado un número\(x\). Pista: Primero intente calcular\(\det(xI)\), luego tenga en cuenta eso\(xA = (xI)A\).

    Ejercicio\(\PageIndex{A.6.8}\)

    Compute el determinante de las siguientes matrices:

    1. \(\begin{bmatrix} -2 \end{bmatrix}\)
    2. \(\begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}\)
    3. \(\begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}\)
    4. \(\begin{bmatrix} 2 & 9 & -11 \\ 0 & -1 & 5 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}\)
    5. \(\begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -2 & 7 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}\)
    6. \(\begin{bmatrix} 5 & 1 & 3 \\ 4 & 1 & 1 \\ 4 & 5 & 1 \end{bmatrix}\)
    7. \(\begin{bmatrix} 3 & 2 & 5 & 7 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 4 & 5 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & 4 \end{bmatrix}\)
    8. \(\begin{bmatrix} 0 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & -3 & 4 \\ 5 & 6 & -7 & 8 \\ 1 & 2 & 3 & -2 \end{bmatrix}\)
    Contestar
    1. \(-2\)
    2. \(8\)
    3. \(0\)
    4. \(-6\)
    5. \(-3\)
    6. \(28\)
    7. \(16\)
    8. \(-24\)
    Ejercicio\(\PageIndex{A.6.9}\)

    Para lo cual\(x\) son las siguientes matrices singulares (no invertibles).

    1. \(\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 1 & x \end{bmatrix}\)
    2. \(\begin{bmatrix} 3 & x \\ 1 & 3 \end{bmatrix}\)
    3. \(\begin{bmatrix} x & 3 \\ 3 & x \end{bmatrix}\)
    4. \(\begin{bmatrix} x & 1 & 0 \\ 1 & 4 & 0 \\ 1 & 6 & 2 \end{bmatrix}\)
    Contestar
    1. \(3\)
    2. \(9\)
    3. \(3\)
    4. \(\frac{1}{4}\)
    Ejercicio\(\PageIndex{A.6.10}\)

    Compute\[\det \left( \begin{bmatrix} 3 & 4 & 7 & 12 \\ 0 & -1 & 9 & -8 \\ 0 & 0 & -2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}^{-1} \right) \nonumber \] sin computar la inversa.

    Contestar

    \(12\)

    Ejercicio\(\PageIndex{A.6.11}\): (challenging)

    Encuentra todas las\(x\) que hacen que la matriz sea inversa solo\[\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & x \end{bmatrix}^{-1} \nonumber \] tienen entradas enteras (sin fracciones). Tenga en cuenta que hay dos respuestas.

    Contestar

    \(1\)y\(3\)

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