7: Soluciones en Serie de Ecuaciones Lineales de Segundo Orden
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En este Capítulo, estudiamos una clase de ecuaciones diferenciales de segundo orden que ocurren en muchas aplicaciones, pero que no pueden resolverse en forma cerrada en términos de funciones elementales.
- 7.1: Preludio a soluciones en serie de ecuaciones lineales de segundo orden
- Las ecuaciones diferenciales de segundo orden ocurren en muchas aplicaciones, pero no se pueden resolver en forma cerrada en términos de funciones elementales, incluidas las ecuaciones de Bessel, Airy y y Langendre que se pueden escribir en la forma P0 (x) Y′′+P1 (x) y′+P2 (x) y=0. Estas ecuaciones no tienen, en general, soluciones de forma cerrada, buscamos representaciones en serie para soluciones.
- 7.2: Revisión de la serie Power
- Muchas aplicaciones dan lugar a ecuaciones diferenciales con soluciones que no se pueden expresar en términos de funciones elementales como polinomios, funciones racionales, funciones exponenciales y logarítmicas y funciones trigonométricas. Las soluciones de algunas de las ecuaciones más importantes se pueden expresar en términos de series de potencia. Estudiaremos este tipo de ecuaciones en este capítulo. En esta sección revisamos las propiedades relevantes de las series de potencia.
- 7.3: Soluciones en Serie Cerca de un Punto I Ordinario
- Muchas aplicaciones físicas dan lugar a ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden de la forma P0 (x) y″+P₁ (x) y′+P₂ (x) y=0.
- 7.4: Soluciones en serie cerca de un punto ordinario II
- En esta sección seguimos encontrando soluciones en serie de problemas de valor inicial. Para las ecuaciones aquí consideradas es difícil o imposible obtener una fórmula explícita para an en términos de n. Sin embargo, podemos calcular tantos coeficientes como deseemos. Los siguientes tres ejemplos ilustran esto.
- 7.5: Ecuaciones regulares de Euler de Puntos Singulares
- Esta sección introduce los supuestos apropiados sobre P1 y P2 en el caso donde P0 (0) =0, y trata de la ecuación de Euler ax²y′′+bxy′+cy=0, donde a, b y c son constantes. Esta es la ecuación más simple que satisface estos supuestos.
- 7.6: El método de Frobenius I
- En esta sección comenzamos a estudiar soluciones en serie de una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con un punto singular regular a x0=0, por lo que se puede escribir como X²a (x) y″+xB (x) y′+C (x) y=0, donde A, B, C son polinomios y A (0) ≠ 0.
- 7.7: El método de Frobenius II
- En esta sección discutimos un método para encontrar dos soluciones de Frobenius linealmente independientes de una ecuación lineal homogénea de segundo orden cerca de un punto singular regular en el caso de que la ecuación indicial tenga una raíz real repetida.
- 7.8: El método de Frobenius III
- Anteriormente, discutimos métodos para encontrar soluciones de Frobenius de una ecuación lineal homogénea de segundo orden cerca de un punto singular regular en el caso en que la ecuación indicial tenga una raíz repetida o raíces reales distintas que no difieran por un entero. En esta sección consideramos el caso donde la ecuación indicial tiene distintas raíces reales que difieren en un entero.