13.1: Problemas de Valor Límite
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Problemas de valores de límite de dos puntos
Consideramos en la Sección 5.3, problemas de valor inicial para la ecuación lineal de segundo orden
\[\label{eq:13.1.1} P_{0}(x)y''+P_{1}(x)y'+P_{2}(x)y=F(x).\]
Supongamos\(P_{0}\)\(P_{1}\)\(P_{2}\),, y\(F\) son continuos y no\(P_{0}\) tiene ceros en un intervalo abierto\((a,b)\). Del Teorema 5.3.1, si\(x_{0}\) está en\((a,b)\) y\(k_{1}\) y\(k_{2}\) son números reales arbitrarios entonces la Ecuación\ ref {eq:13.1.1} tiene una solución única en\((a,b)\) tal que\(y(x_{0})=k_{1}\) y\(y'(x_{0})=k_{2}\). Ahora consideramos un problema diferente para la Ecuación\ ref {eq:13.1.1}.
Supongamos\(P_{0}\)\(P_{1}\)\(P_{2}\),,, y\(F\) son continuos y no\(P_{0}\) tiene ceros en un intervalo cerrado\([a,b]\). Que\(\alpha\),\(\beta\),\(\rho\), y\(\delta\) sean números reales tales que
\[\label{eq:13.1.2} \alpha^{2}+\beta^{2}\ne 0 \; \text{and} \; \rho^{2}+\delta^{2}\ne 0,\]
y dejar\(k_{1}\) y\(k_{2}\) ser arbitrarios números reales. Encuentre una solución de
\[\label{eq:13.1.3} P_{0}(x)y''+P_{1}(x)y'+P_{2}(x)y=F(x)\]
en el intervalo cerrado de\([a,b]\) tal manera que
\[\label{eq:13.1.4} \alpha y(a)+\beta y'(a)=k_{1}\]
y
\[\label{eq:13.1.5} \rho y(b)+\delta y'(b)=k_{2}.\]
Los supuestos señalados en esta problemática se aplican a lo largo de este apartado y no se repetirán. Tenga en cuenta que impusimos condiciones sobre\(P_{0}\)\(P_{1}\)\(P_{2}\),, y\(F\) sobre el intervalo cerrado\([a,b]\), y estamos interesados en soluciones de la Ecuación\ ref {eq:13.1.3} en el intervalo cerrado. Esto es diferente de la situación considerada en el Capítulo 5, donde impusimos condiciones sobre\(P_{0}\)\(P_{1}\)\(P_{2}\),, y\(F\) sobre el intervalo abierto\((a,b)\) y nos interesaron soluciones en el intervalo abierto. Realmente no hay problema aquí; siempre podemos extender\(P_{0}\),,\(P_{1}\)\(P_{2}\), y\(F\) a un intervalo abierto\((c,d)\) (por ejemplo, definiéndolos para que sean constantes on\((c,d]\) y\([b,d)\)) para que sean continuos y no\(P_{0}\) tengan ceros encendidos\([c,d]\). Entonces podemos aplicar los teoremas del Capítulo 5 a la ecuación
\[y''+\frac{P_{1}(x)}{P_{0}(x)}y'+ \frac{P_{2}(x)}{P_{0}(x)}y=\frac{F(x)}{P_{0}(x)} \nonumber\]
on\((c,d)\) para sacar conclusiones sobre las soluciones de la Ecuación\ ref {eq:13.1.3} on\([a,b]\).
Llamamos\(a\) y puntos de\(b\) límite. Las condiciones Ecuación\ ref {eq:13.1.4} y Ecuación\ ref {eq:13.1.5} son condiciones límite, y el problema es un problema de valor límite de dos puntos o, por simplicidad, un problema de valor límite. (Utilizamos terminología similar en el Capítulo 12 con un significado diferente; ambos significados son de uso común). Requerimos de la Ecuación\ ref {eq:13.1.2} para asegurar que estamos imponiendo una condición sensible en cada punto límite. Por ejemplo, si\(\alpha^{2}+\beta^{2}=0\) entonces\(\alpha=\beta=0\), así\(\alpha y(a)+\beta y'(a)=0\) para todas las opciones de\(y(a)\) y\(y'(a)\). Por lo tanto, la Ecuación\ ref {eq:13.1.4} es una condición imposible si\(k_{1}\ne0\), o ninguna condición en absoluto si\(k_{1}=0\).
Abreviamos la ecuación\ ref {eq:13.1.1} como\(Ly=F\), donde
\[Ly=P_{0}(x)y''+P_{1}(x)y'+P_{0}(x)y,\nonumber \]
y denotamos
\[B_{1}(y)=\alpha y(a)+\beta y'(a) \, \text{and} \; B_{2}(y)=\rho y(b)+\delta y'(b).\nonumber \]
Combinamos la ecuación\ ref {eq:13.1.3}, la ecuación\ ref {eq:13.1.4} y la ecuación\ ref {eq:13.1.5} como
\[\label{eq:13.1.6} Ly=F,\quad \quad B_{1}(y)=k_{1},\quad \quad B_{2}(y)=k_{2}.\]
Este problema de valor límite es homogéneo si\(F=0\) y\(k_{1}=k_{2}=0\); de lo contrario, no es homogéneo.
Te dejamos a ti (Ejercicio 13.1.1) verificar eso\(B_{1}\) y\(B_{2}\) son operadores lineales; es decir, si\(c_{1}\) y\(c_{2}\) son constantes entonces
\[\label{eq:13.1.7} B_{i}(c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2})=c_{1}B_{i}(y_{1})+c_{2}B_{i}(y_{2}),\quad i=1,2.\]
Los siguientes tres ejemplos muestran que la cuestión de la existencia y la singularidad para soluciones de problemas de valor límite es más complicada que para los problemas de valor inicial.
Considere el problema del valor límite
\[y''+y=1,\quad y(0)=0, \quad y(\pi/2)=0. \nonumber\]
La solución general de\(y''+y=1\) es
\[y=1+c_{1}\sin x+c_{2} \cos x, \nonumber\]
así que\(y(0)=0\) si y sólo si\(c_{2}=-1\) y\(y(\pi/2)=0\) si y sólo si\(c_{1}=-1\). Por lo tanto
\[y =1-\sin x -\cos x \nonumber\]
es la solución única del problema del valor límite.
Considere el problema del valor límite
\[y''+y=1,\quad y(0)=0, \quad y(\pi)=0. \nonumber\]
Nuevamente, la solución general de\(y''+y=1\) es
\[y=1+c_{1}\sin x+c_{2} \cos x, \nonumber\]
así que\(y(0)=0\) si y sólo si\(c_{2}=-1\), pero\(y(\pi)=0\) si y sólo si\(c_{2}=1\). Por lo tanto, el problema del valor límite no tiene solución.
Considere el problema del valor límite
\[y''+y=\sin 2x,\quad y(0)=0, \quad y(\pi)=0.\nonumber\]
Se puede utilizar el método de coeficientes indeterminados (Sección 5.5) para encontrar que la solución general de\(y''+y=\sin 2x\) es
\[y=-\frac{\sin2x}{3}+c_{1}\sin x+c_{2}\cos x.\nonumber\]
Las condiciones de contorno\(y(0)=0\) y\(y(\pi)=0\) ambas lo requieren\(c_{2}=0\), pero no restringen\(c_{1}\). Por lo tanto, el problema del valor límite tiene infinitamente muchas soluciones
\[y=-\frac{\sin2x}{3}+c_{1}\sin x,\nonumber\]
donde\(c_{1}\) es arbitrario.
Si\(z_{1}\) y\(z_{2}\) son soluciones de\(Ly=0\) tal que cualquiera\(B_{1}(z_{1})=B_{1}(z_{2})=0\) o\(B_{2}(z_{1})=B_{2}(z_{2})=0,\) entonces\(\{z_{1},z_{2}\}\) es linealmente dependiente. Equivalentemente\(,\) si\(\{z_{1},z_{2}\}\) es linealmente independiente, entonces
\[B_{1}^{2}(z_{1})+B_{1}^{2}(z_{2})\ne 0 \; \text{and} \; B_{2}^{2}(z_{1})+B_{2}^{2}(z_{2})\ne 0.\nonumber \]
- Prueba
-
Recordemos eso\(B_{1}(z)=\alpha z(a)+\beta z'(a)\) y\(\alpha^{2}+\beta^{2}\ne0\). Por lo tanto, si\(B_{1}(z_{1})=B_{1}(z_{2})=0\) entonces\((\alpha,\beta)\) es una solución no trivial del sistema
\[\begin{aligned} \alpha z_{1}(a)+\beta z_{1}'(a)&= 0\\ \alpha z_{2}(a)+\beta z_{}'(a)&= 0.\end{aligned}\nonumber \]
Esto implica que
\[z_{1}(a)z_{2}'(a)-z_{1}'(a)z_{2}(a)=0,\nonumber \]
así\(\{z_{1},z_{2}\}\) es linealmente dependiente, por el Teorema 5.1.6. Te dejamos a ti demostrar que\(\{z_{1},z_{2}\}\) es linealmente dependiente si\(B_{2}(z_{1})=B_{2}(z_{2})=0\).
Las siguientes declaraciones son equivalentes\(;\) que es que o bien\(,\) son todas verdaderas o todas falsas\(.\)
- Hay un conjunto fundamental\(\{z_{1},z_{2}\}\) de soluciones de\(Ly=0\) tal manera que\[\label{eq:13.1.8} B_{1}(z_{1})B_{2}(z_{2})-B_{1}(z_{2})B_{2}(z_{1})\ne0.\]
- Si\(\{y_{1},y_{2}\}\) es un conjunto fundamental de soluciones de\(Ly=0\) entonces\[\label{eq:13.1.9} B_{1}(y_{1})B_{2}(y_{2})-B_{1}(y_{2})B_{2}(y_{1})\ne0.\]
- Para cada constante continua\(F\) y par de constantes,\((k_{1},k_{2}),\) el problema del valor límite\[Ly=F, \quad B_{1}(y)=k_{1},\quad B_{2}(y)=k_{2}\nonumber \] tiene una solución única\(.\)
- El problema del valor límite homogéneo solo\[\label{eq:13.1.10} Ly=0,\quad B_{1}(y)=0, \quad B_{2}(y)=0\] tiene la solución trivial\(y=0\).
- La ecuación homogénea\(Ly=0\) tiene soluciones linealmente independientes\(z_{1}\) y\(z_{2}\) tales que\(B_{1}(z_{1})=0\)\(B_{2}(z_{2})=0.\)
Mostraremos el\(\text{a}\implies \text{b}\implies \text{c}\implies \text{d}\implies \text{e}\implies \text{a} \) del Teorema 13.1.2 .
Prueba a
a\(\implies\) b: Dado que\(\{z_{1},z_{2}\}\) es un conjunto fundamental de soluciones para\(Ly=0\), hay constantes\(a_{1}\),\(a_{2}\),\(b_{1}\), y\(b_{2}\) tal que
\[\begin{aligned} y_{1}=a_{1}z_{1}+a_{2}z_{2} \end{aligned}\nonumber \]
\[\label{eq:13.1.11} y_{2} =b_{1}z_{1}+b_{2}z_{2}. \]
Además,
\[\label{eq:13.1.12} \left|\begin{array}{ccccccc} a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2} \end{array}\right|\ne0.\]
porque si este determinante fuera cero, sus filas serían linealmente dependientes y por lo tanto\(\{y_{1},y_{2}\}\) serían linealmente dependientes, contrario a nuestra suposición que\(\{y_{1},y_{2}\}\) es un conjunto fundamental de soluciones de\(Ly=0\). De la ecuación\ ref {eq:13.1.7} y la ecuación\ ref {eq:13.1.11},
\[\left[\begin{array}{ccccccc} B_{1}(y_{1})&B_{2}(y_{1})\\B_{1}(y_{2})&B_{2}(y_{2}) \end{array}\right]= \left[\begin{array}{ccccccc} a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2} \end{array}\right] \left[\begin{array}{ccccccc} B_{1}(z_{1})&B_{2}(z_{1})\\ B_{1}(z_{2})&B_{2}(z_{2}) \end{array}\right].\nonumber \]
Dado que el determinante de un producto de matrices es el producto de los determinantes de las matrices, la Ecuación\ ref {eq:13.1.8} y la Ecuación\ ref {eq:13.1.12} implican la Ecuación\ ref {eq:13.1.9}.
Prueba b
b\(\implies\) c: Dado que\(\{y_{1},y_{2}\}\) es un conjunto fundamental de soluciones de\(Ly=0\), la solución general de\(Ly=F\) es
\[y=y_{p}+c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2},\nonumber \]
donde\(c_{1}\) y\(c_{2}\) son constantes arbitrarias y\(y_{p}\) es una solución particular de\(Ly=F\). Para satisfacer las condiciones de límite, debemos elegir\(c_{1}\) y\(c_{2}\) para que
\[\begin{aligned} k_{1}&=B_{1}(y_{p})+c_{1}B_{1}(y_{1})+c_{2}B_{1}(y_{2})\\ k_{2}&=B_{2}(y_{p})+c_{1}B_{2}(y_{1})+c_{2}B_{2}(y_{2}),\end{aligned}\nonumber \]
(recordar Ecuación\ ref {eq:13.1.7}), que es equivalente a
\[\begin{aligned} c_{1}B_{1}(y_{1})+c_{2}B_{1}(y_{2}) &= k_{1}-B_{1}(y_{p}) \\ c_{1}B_{2}(y_{1})+c_{2}B_{2}(2_{2}) &= k_{2}-B_{2}(y_{p}). \end{aligned}\nonumber \]
De la Ecuación\ ref {eq:13.1.9}, este sistema siempre tiene una solución única\((c_{1},c_{2})\).
Prueba c
c\(\implies\) d: Obviamente,\(y=0\) es una solución de la Ecuación\ ref {eq:13.1.10}. De c con\(F=0\) y\(k_{1}=k_{2}=0\), es la única solución.
Prueba d
d\(\implies\) e: Dejar\(\{y_{1},y_{2}\}\) ser un sistema fundamental para\(Ly=0\) y dejar
\[z_{1}=B_{1}(y_{2})y_{1}-B_{1}(y_{1})y_{2}\, \text{and} \; z_{2}=B_{2}(y_{2})y_{1}-B_{2}(y_{1})y_{2}.\nonumber \]
Entonces\(B_{1}(z_{1})=0\) y\(B_{2}(z_{2})=0\). Para ver eso\(z_{1}\) y\(z_{2}\) son linealmente independientes, tenga en cuenta que
\[\begin{aligned} a_{1}z_{1}+a_{2}z_{2}&= a_{1}[B_{1}(y_{2})y_{1}-B_{1}(y_{1})y_{2}]+ a_{2}[B_{2}(y_{2})y_{1}-B_{2}(y_{1})y_{2}]\\ &= [B_{1}(y_{2})a_{1}+B_{2}(y_{2})a_{2}]y_{1}-[B_{1}(y_{1})a_{1}+B_{2}(y_{1})a_{2}]y_{2}.\end{aligned}\nonumber \]
Por lo tanto, ya que\(y_{1}\) y\(y_{2}\) son linealmente independientes,\(a_{1}z_{1}+a_{2}z_{2}=0\) si y solo si
\[\left[\begin{array}{ccccccc} B_{1}(y_{1})&B_{2}(y_{1})\\ B_{1}(y_{2})&B_{2}(y_{2}) \end{array}\right] \left[\begin{array}{ccccccc} a_{1}\\a_{2} \end{array}\right]= \left[\begin{array}{ccccccc} 0\\0 \end{array}\right].\nonumber \]
Si este sistema tiene una solución no trivial entonces también lo hace el sistema
\[\left[\begin{array}{ccccccc} B_{1}(y_{1})&B_{1}(y_{2})\\ B_{2}(y_{1})&B_{2}(y_{2}) \end{array}\right] \left[\begin{array}{ccccccc} c_{1} \\c_{2} \end{array}\right]= \left[\begin{array}{ccccccc} 0\\0 \end{array}\right].\nonumber \]
Esto y la Ecuación\ ref {eq:13.1.7} implican que\(y=c_{1}z_{1}+c_{2}z_{2}\) es una solución no trivial de la Ecuación\ ref {eq:13.1.10}, que contradice (d)
Prueba e
e\(\implies\) a. teorema 13.1.1 implica que si\(B_{1}(z_{1})=0\) y\(B_{2}(z_{2})=0\) entonces\(B_{1}(z_{2})\ne0\) y\(B_{2}(z_{1})\ne0\). Esto implica la Ecuación\ ref {eq:13.1.8}, que completa la prueba.
Resolver el problema del valor límite
\[\label{eq:13.1.13} x^{2}y''-2xy'+2y-2x^{3}=0,\quad y(1)=4,\quad y'(2)=3,\]
dado que\(\{x,x^{2}\}\) es un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación complementaria
Solución
Usando variación de parámetros (Sección 5.7), se puede demostrar que\(y_{p}=x^{3}\) es una solución de la ecuación complementaria
\[x^{2}y''-2xy'+2y=2x^{3}=0. \nonumber\]
Por lo tanto, la solución de la Ecuación\ ref {eq:13.1.13} puede escribirse como
\[y=x^{3}+c_{1}x+c_{2}x^{2}. \nonumber\]
Entonces
\[y'=3x^{2}+c_{1}+2c_{2}x, \nonumber\]
e imponiendo las condiciones de contorno produce el sistema
\[\begin{aligned} c_{1}+\phantom{4}c_{2}&=\phantom{-}3\\ c_{1}+4c_{2}&=-9,\end{aligned}\nonumber \]
así\(c_{1}=7\) y\(c_{2}=-4\). Por lo tanto
\[y=x^{3}+7x-4x^{2} \nonumber\]
es la solución única de la Ecuación\ ref {eq:13.1.13}
Resolver el problema del valor límite
\[y''-7y'+12y=4e^{2x},\quad y(0)=3,\quad y(1)=5e^{2}.\nonumber \]
Solución
Del Ejemplo 5.4.1,\(y_{p}=2e^{2x}\) es una solución particular de
\[\label{eq:13.1.14} y''-7y'+12y=4e^{2x}.\]
Dado que\(\{e^{3x},e^{4x}\}\) es un conjunto fundamental para la ecuación complementaria, podríamos escribir la solución de la Ecuación\ ref {eq:13.1.13} como
\[y=2e^{2x}+c_{1}e^{3x}+c_{2}e^{4x}\nonumber \]
y determinar\(c_{1}\) y\(c_{2}\) mediante la imposición de las condiciones de frontera. Sin embargo, esto conduciría a un álgebra tediosa, y la forma de la solución sería muy poco atractiva. (¡Pruébalo!) En este caso es conveniente utilizar el sistema fundamental\(\{z_{1},z_{2}\}\) mencionado en Teorema 13.1.2 e; es decir, elegimos\(\{z_{1},z_{2}\}\) para que\(B_{1}(z_{1})=z_{1}(0)=0\) y\(B_{2}(z_{2})=z_{2}(1)=0\). Es fácil ver que
\[z_{1}=e^{3x}-e^{4x}\, \text{and} \;z_{2}=e^{3(x-1)}-e^{4(x-1)}\nonumber \]
satisfacer estos requisitos. Ahora escribimos la solución de la Ecuación\ ref {eq:13.1.14} como
\[y=2e^{2x}+c_{1}\left(e^{3x}-e^{4x}\right)+c_{2}\left(e^{3(x-1)}-e^{4(x-1)}\right).\nonumber \]
Imponer las condiciones de contorno\(y(0)=3\) y\(y(1)=5e^{2}\) los rendimientos
\[3=2+c_{2}e^{-4}(e-1)\, \text{and} \; 5e^{2}=2e^{2}+c_{1}e^{3}(1-e).\nonumber \]
Por lo tanto
\[c_{1}=\frac{3}{e(1-e)},\quad c_{2}=\frac{e^{4}}{e-1},\nonumber \]
y
\[y=2e^{2x}+\frac{3}{e(1-e)}(e^{3x}-e^{4x})+ \frac{e^{4}}{e-1}(e^{3(x-1)}-e^{4(x-1)}).\nonumber \]
A veces es útil tener una fórmula para la solución de un problema general de límites. Nuestro siguiente teorema aborda esta cuestión.
Supongamos que el problema del valor de límite
\[\label{eq:13.1.15} Ly=0,\quad B_{1}(y)=0,\quad B_{2}(y)=0\]
tiene sólo la solución trivial\(.\) Dejar\(y_{1}\) y\(y_{2}\) ser linealmente independientes soluciones de\(Ly=0\) tal manera que\(B_{1}(y_{1})=0\)\(B_{2}(y_{2})=0,\) y dejar
\[W=y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}.\nonumber \]
Entonces la solución única de
\[\label{eq:13.1.16} Ly=F,\quad B_{1}(y)=0,\quad B_{2}(y)=0\]
es
\[\label{eq:13.1.17} y(x)= y_{1}(x)\int_{x}^{b}\frac{F(t)y_{2}(t)}{P_{0}(t)W(t)}\,dt+ y_{2}(x)\int_{a}^{x}\frac{F(t)y_{1}(t)}{P_{0}(t)W(t)}\,dt.\]
- Prueba
-
En la Sección 5.7 vimos que si
\[\label{eq:13.1.18} y=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}\]
donde
\[\begin{aligned} u_{1}'y_{1}+u_{2}'y_{2}&=0\\ u_{1}'y_{1}'+u_{2}'y_{2}'&=F,\end{aligned}\nonumber \]
entonces\(Ly=F\). Resolviendo\(u_{1}'\) y\(u_{2}'\) rendimientos
\[u_{1}'=-\frac{Fy_{2}}{P_{0}W}\, \text{and} \; u_{2}'=\frac{Fy_{1}}{P_{0}W},\nonumber \]
que se mantienen si
\[u_{1}(x)=\int_{x}^{b}\frac{F(t)y_{2}(t)}{P_{0}(t)W(t)}\,dt \, \text{and} \; u_{2}(x)=\int_{a}^{x}\frac{F(t)y_{1}(t)}{P_{0}(t)W(t)}\,dt.\nonumber \]
Esto y la Ecuación\ ref {eq:13.1.18} muestran que la Ecuación\ ref {eq:13.1.17} es una solución de\(Ly=F\). Ecuación diferenciadora\ ref {eq:13.1.17} rendimientos
\[\label{eq:13.1.19} y'(x)=y_{1}'(x)\int_{x}^{b}\frac{F(t)y_{2}(t)}{P_{0}(t)W(t)}\,dt+ y_{2}'(x)\int_{a}^{x}\frac{F(t)y_{1}(t)}{P_{0}(t)W(t)}\,dt.\]
(Verificar.) De la ecuación\ ref {eq:13.1.17} y la ecuación\ ref {eq:13.1.19},
\[B_{1}(y)=B_{1}(y_{1})\int_{a}^{b}\frac{F(t)y_{2}(t)}{P_{0}(t)W(t)}\,dt=0\nonumber \]
porque\(B_{1}(y_{1})=0\), y
\[B_{2}(y)=B_{2}(y_{2})\int_{a}^{b}\frac{F(t)y_{1}(t)}{P_{0}(t)W(t)}\,dt=0\nonumber \]
porque\(B_{2}(y_{2})=0\). De ahí,\(y\) satisface la Ecuación\ ref {eq:13.1.16}. Esto completa la prueba.
Podemos reescribir la ecuación\ ref {eq:13.1.17} como
\[\label{eq:13.1.20} y=\int_{a}^{b} G(x,t)F(t)\,dt,\]
donde
\[\begin{aligned} G(x, t)=\left\{\begin{array}{ll}{\frac{y_{1}(t) y_{2}(x)}{P_{0}(t) W(t)}} & {, \quad a \leq t \leq x} \\ {\frac{y_{1}(x) y_{2}(t)}{P_{0}(t) W(t)}} & {, \quad x \leq t \leq b}\end{array}\right. \end{aligned}\nonumber \]
Esta es la función del Verde para el problema del valor límite Ecuación\ ref {eq:13.1.16}. La función de Green está relacionada con el problema del valor límite Ecuación\ ref {eq:13.1.16} de la misma manera que la inversa de una matriz cuadrada\({\mathbf A}\) se relaciona con el sistema algebraico lineal\({\mathbf y}={\mathbf A}{\mathbf x}\); así como sustituimos el vector dado\({\mathbf y}\) en la fórmula\({\mathbf x}={\mathbf A}^{-1}{\mathbf y}\) para resolver\({\mathbf y} ={\mathbf Ax}\), sustituimos la función dada\(F\) en la fórmula Ecuación\ ref {eq:13.1.20} para obtener la solución de la Ecuación\ ref {eq:13.1.16}. La analogía va más allá: así como\({\mathbf A}^{-1}\) existe si y solo si\({\mathbf A}{\mathbf x} ={\mathbf 0}\) tiene solo la solución trivial, el problema del valor límite Ecuación\ ref {eq:13.1.16} tiene una función de Green si y solo el problema del valor límite homogéneo Ecuación\ ref {eq:13.1.15} tiene solo la solución trivial.
Te dejamos a ti (Ejercicio 13.1.32) demostrar que los supuestos del Teorema 13.1.3 implican que la solución única del problema del valor límite
\[Ly=F,\quad B_{1}(y)=k_{1},\quad B_{2}(y)=k_{2}\nonumber \]
es
\[y(x)=\int_{a}^{b}G(x,t)F(t)\,dt +\frac{k_{2}}{B_{2}(y_{1})}y_{1}+ \frac{k_{1}}{B_{1}(y_{2})}y_{2}.\nonumber \]
Resolver el problema del valor límite
\[\label{eq:13.1.21} y''+y=F(x).\quad y(0)+y'(0)=0,\quad y(\pi)-y'(\pi)=0,\]
y encontrar la función del Verde para este problema.
Solución
Aquí
\[B_{1}(y)=y(0)+y'(0) \, \text{and} \; B_{2}(y)=y(\pi)-y'(\pi).\nonumber \]
Let\(\{z_{1},z_{2}\}=\{\cos x,\sin x\}\), que es un conjunto fundamental de soluciones de\(y''+y=0\). Entonces
\[\begin{aligned} B_{1}(z_{1})&=(\cos x-\sin x)\big|_{x=0}=\phantom{-}1\\ B_{2}(z_{1})&=(\cos x+\sin x)\big|_{x=\pi}=-1\end{aligned}\nonumber \]
y
\[\begin{aligned} B_{1}(z_{2})&=(\sin x+\cos x)\big|_{x=0}=1\\ B_{2}(z_{2})&=(\sin x-\cos x)\big|_{x=\pi}=1.\end{aligned}\nonumber \]
Por lo tanto
\[B_{1}(z_{1})B_{2}(z_{2})-B_{1}(z_{2})B_{2}(z_{1})=2,\nonumber \]
así Teorema 13.1.2 implica que la Ecuación\ ref {eq:13.1.21} tiene una solución única. Vamos
\[y_{1}=B_{1}(z_{2})z_{1}-B_{1}(z_{1})z_{2}= \cos x-\sin x\nonumber\]
y
\[y_{2}=B_{2}(z_{2})z_{1}-B_{2}(z_{1})z_{2}= \cos x+\sin x. \nonumber\]
Entonces\(B_{1}(y_{1})=0\),\(B_{2}(y_{2})=0\), y el Wronskian de\(\{y_{1},y_{2}\}\) es
\[W(x)= \left|\begin{array}{rrccccc} \cos x-\sin x& \cos x+ \sin x\\ -\sin x-\cos x&-\sin x+\cos x \end{array}\right|=2.\nonumber\]
Dado que\(P_{0}=1\), la ecuación\ ref {eq:13.1.17} produce la solución
\[\begin{aligned} y(x) &=\frac{\cos x-\sin x}{2} \int_{x}^{\pi} F(t)(\cos t+\sin t)dt \\ &+\frac{\cos x+\sin x}{2}\int_{0}^{x}F(t)(\cos t-\sin t)dt. \end{aligned}\nonumber \]
La función del Verde es
\[\begin{aligned} G(x, t)=\left\{\begin{array}{ll}{\frac{(\cos t-\sin t)(\cos x+\sin x)}{2}} & {, \quad 0 \leq t \leq x} \\ {\frac{(\cos x-\sin x)(\cos t+\sin t)}{2}} & {, \quad x \leq t \leq \pi}\end{array}\right. \end{aligned}\nonumber \]
Ahora consideraremos la situación no cubierta por el Teorema 13.1.3 .
Supongamos que el problema del valor de límite
\[\label{eq:13.1.22} Ly=0,\quad B_{1}(y)=0,\quad B_{2}(y)=0\]
tiene una solución no trivial\(y_{1},\) y deja\(y_{2}\) ser cualquier solución de\(Ly=0\) eso no es un múltiplo constante de\(y_{1}.\) Let\(W=y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}.\) If
\[\label{eq:13.1.23} \int_{a}^{b}\frac{F(t)y_{1}(t)}{P_{0}(t)W(t)}\,dt=0,\]
entonces el problema del valor de límite homogéneo
\[\label{eq:13.1.24} Ly=F, \quad B_{1}(y)=0,\quad B_{2}(y)=0\]
tiene infinitamente muchas soluciones\(,\) todas de la forma\(y=y_{p}+c_{1}y_{1},\) donde
\[y_{p}=y_{1}(x) \int_{x}^{b}\frac{F(t)y_{2}(t)}{P_{0}(t)W(t)}\,dt+ y_{2}(x) \int_{a}^{x}\frac{F(t)y_{1}(t)}{P_{0}(t)W(t)}\,dt \nonumber\]
y\(c_{1}\) es una constante\(.\) Si
\[\int_{a}^{b}\frac{F(t)y_{1}(t)}{P_{0}(t)W(t)}\,dt \ne0, \nonumber\]
entonces la Ecuación\ ref {eq:13.1.24} no tiene solución.
- Prueba
-
De la prueba del teorema 13.1.3 ,\(y_{p}\) es una solución particular de\(Ly=F\), y
\[y_{p}'(x)=y_{1}'(x)\int_{x}^{b}\frac{F(t)y_{2}(t)}{P_{0}(t)W(t)}\,dt +y_{2}'(x)\int_{a}^{x}\frac{F(t)y_{1}(t)}{P_{0}(t)W(t)}\,dt. \nonumber\]
Por lo tanto, la solución general de la Ecuación\ ref {eq:13.1.22} es de la forma
\[y=y_{p}+c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}, \nonumber\]
donde\(c_{1}\) y\(c_{2}\) son constantes. Entonces
\[\begin{aligned} B_{1}(y)&= B_{1}(y_{p}+c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2})= B_{1}(y_{p})+c_{1}B_{1}(y_{1})+c_{2}B_{1}y_{2}\\ &=B_{1}(y_{1})\int_{a}^{b}\frac{F(t)y_{2}(t)}{P_{0}(t)W(t)}\,dt +c_{1}B_{1}(y_{1})+c_{2}B_{1}(y_{2})\\ &=c_{2}B_{1}(y_{2})\end{aligned}\nonumber \]
Ya que\(B_{1}(y_{1})=0\), el teorema 13.1.1 implica eso\(B_{1}(y_{2})\ne0\); por lo tanto,\(B_{1}(y)=0\) si y solo si\(c_{2}=0\). Por lo tanto\(y=y_{p}+c_{1}y_{1}\) y
\[\begin{aligned} B_{2}(y)&=B_{2}(y_{p}+c_{1}y_{1}) =B_{2}(y_{2})\int_{a}^{b}\frac{F(t)y_{1}(t)}{P_{0}(t)W(t)}\,dt+c_{1}B_{2}(y_{1})\\ &=B_{2}(y_{2})\int_{a}^{b}\frac{F(t)y_{1}(t)}{P_{0}(t)W(t)}\,dt,\end{aligned}\nonumber \]
ya que\(B_{2}(y_{1})=0\). Del Teorema 13.1.1 ,\(B_{2}(y_{2})\ne0\) (desde\(B_{2}(y_{1}=0\)). Por lo tanto\(Ly=0\) si y solo si la Ecuación\ ref {eq:13.1.23} se mantiene. Esto completa la prueba.
Aplicando el teorema 13.1.4 al problema del valor límite
\[\label{eq:13.1.25} y''+y=F(x),\quad y(0)=0,\quad y(\pi)=0\]
explica los ejemplos 13.1.2 y 13.1.3 . La ecuación complementaria\(y''+y=0\) tiene las soluciones lineales independientes\(y_{1}=\sin x\) y\(y_{2}=\cos x\), y\(y_{1}\) satisface ambas condiciones límite. Desde\(P_{0}=1\) y
\[W= \left|\begin{array}{crccccc} \sin x&\cos x \\\cos x&-\sin x \end{array}\right|=-1, \nonumber\]
La ecuación\ ref {eq:13.1.23} reduce a
\[\int_{0}^{\pi} F(x)\sin x\,dx=0.\nonumber \]
De Ejemplo 13.1.2 ,\(F(x)=1\) y
\[\int_{0}^{\pi} F(x)\sin x\,dx=\int_{0}^{\pi} \sin x\,dx=2,\nonumber \]
así Teorema 13.1.3 implica que la Ecuación\ ref {eq:13.1.25} no tiene solución. En Ejemplo 13.1.3 ,
\[F(x)=\sin 2x=2\sin x \cos x\nonumber \]
y
\[\int_{0}^{\pi}F(x)\sin x\,dx=2\int_{0}^{\pi}\sin^{2}x\cos x\,dx =\frac{2}{3}\sin^{3}x\bigg|_{0}^{\pi}=0,\nonumber \]
así Teorema 13.1.3 implica que la Ecuación\ ref {eq:13.1.25} tiene infinitamente muchas soluciones, que difieren por múltiplos constantes de\(y_{1}(x)=\sin x\).