13.1E: Problemas de Valor Límite (Ejercicios)

Q13.1.1

1. Verificar que\(B_{1}\) y\(B_{2}\) son operadores lineales; es decir, si\(c_{1}\) y\(c_{2}\) son constantes entonces\[B_{i}(c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2})=c_{1}B_{i}(y_{1})+c_{2}B_{i}(y_{2}),\quad i=1,2.\nonumber \]

Q13.1.2

En Ejercicios 13.1.2-13.1.7 resolver el problema del valor límite.

2. \(y''-y=x\),\(y(0)=-2\),\(y(1)=1\)

3. \(y''=2-3x\),\(y(0)=0\),\(y(1)-y'(1)=0\)

4. \(y''-y=x\),\(y(0)+y'(0)=3\),\(y(1)-y'(1)=2\)

5. \(y''+4y=1\),\(y(0)=3\),\(y(\pi/2)+y'(\pi/2)=-7\)

6. \(y''-2y'+y=2e^{x}\),\(y(0)-2y'(0)=3\),\(y(1)+y'(1)=6e\)

7. \(y''-7y'+12y=4e^{2x}\),\(y(0)+y'(0)=8\),\(y(1)=-7e^{2}\) (ver Ejemplo 13.1.5)

Q13.1.3

8. Establezca una condición de\(F\) tal manera que el problema del valor límite\[y''=F(x), \quad y(0)=0, \quad y(1)-y'(1)=0\nonumber\] tenga una solución, y encuentre todas las soluciones.

9.

1. Establezca una condición sobre\(a\) y\(b\) tal que el problema del valor límite\[y''+y=F(x),\quad y(a)=0,\quad y(b)=0 \tag{A}\] tenga una solución única para cada continuo\(F\), y encuentre la solución por el método utilizado para probar el Teorema 13.1.3
2. En el caso de que\(a\) y\(b\) no satisfagan la condición que dio para (a), declaren necesario y suficiente sobre\(F\) tal que (A) tenga una solución, y encuentre todas las soluciones por el método utilizado para probar el Teorema 13.1.4.

10. Siga las instrucciones del Ejercicio 13.1.9 para el problema del valor límite\[y''+y=F(x),\quad y(a)=0,\quad y'(b)=0.\nonumber\]

11. Siga las instrucciones del Ejercicio 13.1.9 para el problema del valor límite\[y''+y=F(x),\quad y'(a)=0,\quad y'(b)=0.\nonumber\]

Q13.1.4

En Ejercicios 13.1.12-13.1.15 encontramos una fórmula para la solución del problema de límites por el método utilizado para probar el Teorema 13.1.3. Supongamos que\(a<b\).

12. \(y''-y=F(x)\),\(y(a)=0\),\(y(b)=0\)

13. \(y''-y=F(x)\),\(y(a)=0\),\(y'(b)=0\)

14. \(y''-y=F(x)\),\(y'(a)=0\),\(y'(b)=0\)

15. \(y''-y=F(x)\),\(y(a)-y'(a)=0\),\(y(b)+y'(b)=0\)

Q13.1.5

En Ejercicios 13.1.16-13.1.19 encontrar todos los valores de\(\omega\) tal manera que problema límite tiene una solución única, y encontrar la solución por el método utilizado para probar el Teorema 13.1.3. Para otros valores de\(\omega \), encontrar condiciones sobre\(F\) tal que el problema tiene una solución, y encontrar todas las soluciones por el método utilizado para probar el Teorema 13.1.4.

16. \(y''+ \omega^{2}y=F(x)\),\(y(0)=0\),\(y(\pi)=0\)

17. \(y''+ \omega^{2}y=F(x)\),\(y(0)=0\),\(y'(\pi)=0\)

18. \(y''+ \omega^{2}y=F(x)\),\(y'(0)=0\),\(y(\pi)=0\)

19. \(y''+ \omega^{2}y=F(x)\),\(y'(0)=0\),\(y'(\pi)=0\)

Q13.1.6

20. Dejemos\(\{z_{1},z_{2}\}\) ser un conjunto fundamental de soluciones de\(Ly=0\). Dado que el problema del valor límite homogéneo\[Ly=0, \quad B_{1}(y)=0,\quad B_{2}(y)=0\nonumber\] tiene una solución no trivial, expresarlo explicidad en términos de\(z_{1}\) y\(z_{2}\).

21. Si el problema del valor límite tiene una solución para cada continuo\(F\), entonces encuentre la función de Green para el problema y úsela para escribir una fórmula explícita para la solución. De lo contrario, si el problema del valor límite no tiene una solución para cada continuo\(F\), encuentre una condición necesaria y suficiente\(F\) para que el problema tenga una solución, y encuentre todas las soluciones. Supongamos que\(a<b\).

1. \(y''=F(x)\),\(y(a)=0\),\(y(b)=0\)
2. \(y''=F(x)\),\(y(a)=0\),\(y'(b)=0\)
3. \(y''=F(x)\),\(y'(a)=0\),\(y(b)=0\)
4. \(y''=F(x)\),\(y'(a)=0\),\(y'(b)=0\)

22. Encuentra la función del Verde para el problema del valor límite\[y''=F(x), \quad y(0)-2y'(0)=0, \quad y(1)+2y'(1)=0. \tag{A}\] Luego usa la función del Verde para resolver (A) con

1. \(F(x)=1\),
2. \(F(x)=x\), y
3. \(F(x)=x^{2}\).

23. Encontrar la función del Verde para el problema del valor límite\[x^{2}y''+xy'+(x^{2}-1/4)y=F(x), \quad y(\pi/2)=0,\quad y(\pi)=0, \tag{A}\] dado que\[y_{1}(x)=\frac{\cos x}{\sqrt{x}}\quad \text{and}\quad y_{2}(x)=\frac{\sin x}{\sqrt{x}}\nonumber\] son soluciones de la ecuación complementaria. Luego usa la función de Green para resolver (A) con

1. \(F(x)=x^{3/2}\)y
2. \(F(x)=x^{5/2}\).

24. Encontrar la función del Verde para el problema del valor límite\[x^{2}y''-2xy'+2y=F(x), \quad y(1)=0,\quad y(2)=0, \tag{A}\] dado que\(\{x,x^{2}\}\) es un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación complementaria. Luego usa la función de Green para resolver (A) con

1. \(F(x)=2x^{3}\)y
2. \(F(x)=6x^{4}\).

25. Encontrar la función del Verde para el problema del valor límite\[x^{2}y''+xy'-y=F(x), \quad y(1)-2y'(1)=0,\quad y'(2)=0, \tag{A}\] dado que\(\{x,1/x\}\) es un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación complementaria. Luego usa la función de Green para resolver (A) con

1. \(F(x)=1\),
2. \(F(x)=x^{2}\), y
3. \(F(x)=x^{3}\).

Q13.1.7

En Ejercicios 13.1.26-13.1.30 encontrar condiciones necesarias y suficientes sobre\(\alpha , β, ρ\), y\(δ\) para que el problema del valor límite tenga una solución única para cada continuo\(F\), y encuentre la función del Verde.

26. \(y''=F(x)\),\(\alpha y(0)+\beta y'(0)=0\),\(\rho y(1)+\delta y'(1)=0\)

27. \(y''+y=F(x)\),\(\alpha y(0)+\beta y'(0)=0\),\(\rho y(\pi)+\delta y'(\pi)=0\)

28. \(y''+y=F(x)\),\(\alpha y(0)+\beta y'(0)=0\),\(\rho y(\pi/2)+\delta y'(\pi/2)=0\)

29. \(y''-2y'+2y=F(x)\),\(\alpha y(0)+\beta y'(0)=0\),\(\rho y(\pi)+\delta y'(\pi)=0\)

30. \(y''-2y'+2y=F(x)\),\(\alpha y(0)+\beta y'(0)=0\),\(\rho y(\pi/2)+\delta y'(\pi/2)=0\)

Q13.1.8

31. Encuentre las condiciones necesarias y suficientes en\(\alpha\)\(\beta\),\(\rho\), y\(\delta\) para que el problema\[y''-y=F(x), \quad \alpha y(a)+\beta y'(a)=0, \quad \rho y(b)+\delta y'(b)=0 \tag{A}\] del valor límite tenga una solución única para cada continuo\(F\), y encuentre la función del Verde para (A). Supongamos que\(a<b\).

32. Mostrar que los supuestos del Teorema 13.1.3 implican que la solución única de\[Ly=F, \quad B_{1}(y)=k_{1},\quad B_{2}(y)=f_{2}\nonumber\] es\[y=\int_{a}^{b} G(x,t)F(t)\,dt +\frac{k_{2}}{B_{2}}(y_{1})y_{1} +\frac{k_{1}}{B_{1}(y_{2})}y_{2}.\nonumber\]