5.1.1: Operadores pseudodiferenciales

Las propiedades de la transformada de Fourier conducen a una teoría general para ecuaciones lineales parciales diferenciales o integrales. En esta subsección definimos

$$d_k=\ frac {1} {i}\ frac {\ parcial} {\ parcial x_k},\\ k=1,\ ldots, n,\]

y para cada índice múltiple\(\alpha\) como en la subsección 3.5.1

$$D^\ alpha=d_1^ {\ alpha_1}\ ldots d_n^ {\ alpha_n}.\]

Por lo tanto

$$D^\ alpha=\ frac {1} {i^ {|\ alpha|}}\ frac {\ parcial^ {|\ alpha|}} {\ parcial x_1^ {\ alpha_1}\ ldots\ parcial x_n^ {\ alpha_n}}.\]

Let

$$p (x, D) :=\ suma_ {|\ alfa|\ le m} a_\ alfa (x) D^\ alfa,\]

ser un diferencial parcial lineal de orden\(m\), donde\(a_\alpha\) se les dan funciones suficientemente regulares.

Según el Teorema 5.1 y la Proposición 5.3, tenemos, al menos para\(u\in{\mathcal{S}}(\mathbb{R}^n)\),

$$u (x) = (2\ pi) ^ {-n/2}\ int_ {\ mathbb {R} ^n}\ e^ {ix\ cdot\ xi}\ sombrero ancho {u} (\ xi)\ d\ xi,\]

lo que implica

$$D^\ alfa u (x) = (2\ pi) ^ {-n/2}\ int_ {\ mathbb {R} ^n}\ e^ {ix\ cdot\ xi}\ xi^\ alfa\ sombrero ancho {u} (\ xi)\ d\ xi.\]

Consecuentemente

\ begin {ecuación}
\ label {pseudo1}\ tag {5.1.1.1}
p (x, D) u (x) =( 2\ pi) ^ {-n/2}\ int_ {\ mathbb {R} ^n}\ e^ {ix\ cdot\ xi} p (x,\ xi)\ sombrero ancho {u} (\ xi)\ d\ xi,
\ fin {ecuación}

donde

$$p (x,\ xi) =\ suma_ {|\ alfa|\ le m} a_\ alfa (x)\ xi^\ alfa.\]

El lado derecho de (\ ref {pseudo1}) tiene sentido también para funciones más generales\(p(x,\xi)\), no solo para polinomios.

Definición. La función\(p(x,\xi)\) se llama símbolo y

$$ (Pu) (x) := (2\ pi) ^ {-n/2}\ int_ {\ mathbb {R} ^n}\ e^ {ix\ cdot\ xi} p (x,\ xi)\ sombrero ancho {u} (\ xi)\ d\ xi\]

se dice que es operador pseudodiferencial.

Una clase importante de símbolos para los que se define el lado derecho en esta definición de un operador pseudodiferencial es\(S^m\) cuál es el subconjunto de\(p(x,\xi)\in C^\infty(\Omega\times\mathbb{R}^n)\) tal que

$$|D^\ beta_xD_\ xi^\ alfa p (x,\ xi) |\ le C_ {K,\ alfa,\ beta} (p)\ izquierda (1+|\ xi|\ derecha) ^ {m-|\ alpha|}\]

para cada compacto\(K\subset\Omega\).

Arriba hemos visto que los operadores diferenciales lineales definen una clase de operadores pseudodiferenciales. Incluso los operadores integrales pueden escribirse (formalmente) como operadores pseudodiferenciales.

Let

$$ (Pu) (x) =\ int_ {\ mathbb {R} ^n}\ K (x, y) u (y)\ dy\]

ser un operador integral. Entonces

\ begin {eqnarray*}
(Pu) (x) &=& {(2\ pi) ^ {-n/2}\ int_ {\ mathbb {R} ^n}\ K (x, y)\ int_ {\ mathbb {R} ^n}\ e^ {ix\ cdot\ xi}\ xi^\ alfa\ sombrero ancho {u} (\ xi)}\ d\ xi\\
&=& (2\ pi) ^ {-n/2}\ int_ {\ mathbb {R} ^n}\ e^ {i x\ cdot\ xi}\ left (\ int_ {\ mathbb {R} ^n}\ e^ {i (y-x)\ cdot\ xi} K (x, y)\ dy\ derecha)\ sombrero ancho {u} (\ xi).
\ end {eqnarray*}

Entonces el símbolo asociado al operador integral anterior es

$$p (x,\ xi) =\ int_ {\ mathbb {R} ^n}\ e^ {i (y-x)\ cdot\ xi} K (x, y)\ dy.\]

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