6.5: Ecuación de Black-Scholes

Las soluciones de la ecuación de Black-Scholes definen el valor de una derivada, por ejemplo, de una opción call o put, que se basa en un activo. Un activo puede ser una acción o un derivado del mismo, por ejemplo. En principio, hay infinitamente muchos productos de este tipo, por ejemplo n-ésimo derivados. La ecuación de Black-Scholes para el valor\(V(S,t)\) de una derivada es

\ begin {ecuación}
\ label {BS1}
v_t+\ frac {1} {2}\ sigma^2 S^2V_ {SS} +RSV_S-rv=0\\\ mbox {in}\\ Omega,
\ end {ecuación}

donde para un fijo\(T\),\(0<T<\infty\),

$$\ Omega=\ {(S, t)\ in\ mathbb {R} ^2:\ 0<S<\ infty,\ 0<t<t\},\]

y\(\sigma\),\(r\) son constantes positivas. Más precisamente,\(\sigma\) es la volatilidad del activo subyacente\(S\),\(r\) es la tasa de interés garantizada de una inversión libre de riesgo.

Si\(S(t)\) es el valor de un activo en el momento\(t\), entonces\(V(S(t),t)\) es el valor de la derivada en el momento\(t\), donde\(V(S,t)\) está la solución de un problema de valor inicial-límite apropiado para la ecuación de Black-Scholes, ver más adelante.

La ecuación de Black-Scholes se deriva del Lema de Ito bajo algunas suposiciones sobre la función aleatoria asociada a\(S(t)\), véase [26], por ejemplo.

Opción de llamada

Aquí está\(V(S,t):=C(S,t)\), dónde\(C(S,t)\) está el valor de la opción call (europea). En este caso tenemos las siguientes condiciones laterales a (\ ref {BS1}):

\ begin {eqnarray}
\ label {BSC1}
C (S, T) &=&\ max\ {S-E,0\}\
\ etiqueta {BSC2}
C (0, t) &=&0\\
\ etiqueta {BSC3}
C (S, t) &=&s+O (S)\\ mbox {as}\ S\ a\ infty,\ mbox {as}\ S\ a\ infty,\ mbox {uniformemente en}\ t,
\ end {eqnarray}

donde\(E\) y\(T\) son constantes positivas,\(E\) es el precio de ejercicio y\(T\) la caducidad.

Condición lateral (\ ref {BSC1}) significa que el valor de la opción no tiene valor a tiempo\(T\) si\(S(T)\le E\), condición (\ ref {BSC2}) dice que no tiene sentido comprar activos si el valor del activo es cero, condición (\ ref {BSC3}) significa que compramos activos si su valor se vuelve grande, ver Figura 6.5.1, donde se indican las condiciones laterales.

Figura 6.5.1: Condiciones laterales para una opción de llamada

Teorema 6.4 (fórmula de Black-Scholes para opciones de compra europeas).
La solución\(C(S,t)\),\(0\le S<\infty\),\(0\le t\le T\), del problema del valor de límite inicial (\ ref {BS1}) - (\ ref {BSC3}) es explícitamente conocida y viene dada por

$$C (S, t) =SN (d_1) -Ee^ {-r (t-T)} N (d_2), $$

donde
\ begin {eqnarray*}
N (x) &=&\ frac {1} {\ sqrt {2\ pi}}\ int_ {-\ infty} ^x\ e^ {-y^2/2}\ dy,\
d_1&=&\ frac {\ ln (S/E) + (r+\ sigma^2/2) (t-T)} {\ sigma\ sqrt {t-t}},\\
d_2&=&\ frac {\ ln (S/E) + (r-\ sigma^2/2) (t-T)} {\ sigma\ sqrt {t-T}}.
\ end {eqnarray*}

Prueba. Sustituciones

$$s=EE^x,\\ t=T-\ frac {\ tau} {\ sigma^2/2},\\ C=Ev (x,\ tau)\]

cambiar ecuación (\ ref {BS1}) a

\ begin {ecuación}
\ label {BS2}
v_\ tau=v_ {xx} + (k-1) v_x-kv,
\ end {ecuación}

donde

$$k=\ frac {r} {\ sigma^2/2}.\]

La condición inicial (\ ref {BS2}) implica

\ begin {ecuación}
\ label {BS3}
v (x,0) =\ max\ {e^x-1,0\}.
\ end {ecuación}

Para una solución de (\ ref {BS2}) hacemos el ansatz

$$v=e^ {\ alpha x+\ beta\ tau} u (x,\ tau),\]

donde\(\alpha\) y\(\beta\) son constantes que determinaremos de la siguiente manera. Insertando el ansatz en la ecuación diferencial (\ ref {BS2}), obtenemos

$$\ beta u+u_\ tau=\ alpha^2u+2\ alpha u_x+u_ {xx} + (k-1) (\ alpha u+u_x) -ku.\]

Establecer\(\beta=\alpha^2+(k-1)\alpha-k\) y elegir\(\alpha\) tal que\(0=2\alpha+(k-1)\), entonces\(u_\tau=u_{xx}\). Así

\ begin {ecuación}
\ label {BS4}
v (x,\ tau) =e^ {- (k-1) x/2- (k+1) ^2\ tau/4} u (x,\ tau),
\ end {ecuación}

donde\(u(x,\tau)\) se encuentra una solución del problema de valor inicial

\ begin {eqnarray*}
u_\ tau&=&u_ {xx},\\ -\ infty<x0<\ infty,\\ tau>\\ u
(x,0) &=&u_0 (x),\
end {eqnarray*}

con

$$u_0 (x) =\ max\ izquierda\ {e^ {(k+1) x/2} -e^ {(k-1) x/2} ,0\ derecha\}.\]

Una solución a este problema de valor inicial viene dada por la fórmula de Poisson

$$u (x,\ tau) =\ frac {1} {2\ sqrt {\ pi\ tau}}\ int_ {-\ infty} ^ {+\ infty}\ u_0 (s) e^ {- (x-s) ^2/ (4\ tau)}\ ds.\]

Cambiando variable por\(q=(s-x)/(\sqrt{2\tau})\), obtenemos
\ begin {eqnarray*}
u (x,\ tau) &=&\ frac {1} {\ sqrt {2\ pi}}\ int_ {-\ infty} ^ {+\ infty}\ u_0 (q\ sqrt {2\ tau} +x) e^ {-q^2/2}\ dq\\
&=&I_1-I_2,
\ end {eqnarray*}
donde
\ begin {eqnarray*}
I_1&=&\ frac {1} {\ sqrt {2\ pi}}\ int_ {-x/ (\ sqrt {2\ tau)}} ^ {\ infty}\ e^ {(k+1) (x+q\ sqrt {2\ tau})} e^ {-q^2/2}\ dq\
I_2&=&\ frac {1} {\ sqrt {2\ pi}}\ int_ {-x/ (\ sqrt {2\ tau)}} ^ {\ infty}\ e^ {(k-1) (x+q\ sqrt {2\ tau})} e^ {-q^2/2}\ dq.
\ end {eqnarray*}
Un cálculo elemental muestra que
\ begin {eqnarray*}
i_1&=&e^ {(k+1) x/2+ (k+1) ^2\ tau/4} N (d_1)\\
i_2&=&e^ {(k-1) x/2+ (k-1) ^2\ tau/4} N (d_2),
\ end {eqnarray* ay*}
donde
\ begin {eqnarray*}
d_1&=&\ frac {x} {\ sqrt {2\ tau}} +\ frac {1} {2} (k+1)\ sqrt {2\ tau}\\
d_2&=&\ frac {x} {\ sqrt {2\ tau}} +\ frac {1} {2} (k-1)\ sqrt {2\ tau}\\
N (d_i) &=&\ frac {1} {\ sqrt {2\ pi}}\ int_ {-\ infty} ^ {d_i}\ e^ {-s^2/2}\ ds,\\ i=1,\ 2.
\ end {eqnarray*}

Combinando la fórmula para\(u(x,\tau)\), definición (\ ref {BS4}) de\(v(x,\tau)\) y los ajustes anteriores\(x=\ln(S/E)\),\(\tau=\sigma^2(T-t)/2\) y\(C=Ev(x,\tau)\), finalmente obtenemos la fórmula del Teorema 6.4.

En general, la solución\(u\) del problema de valor inicial para la ecuación de calor no está definida de manera única, véase por ejemplo [10], pp. 206.

Singularidad. La singularidad se deriva de la suposición de crecimiento (\ ref {BSC3}). Supongamos que hay dos soluciones de (\ ref {BS1}), (\ ref {BSC1}) - (\ ref {BSC3}), entonces la diferencia\(W(S,t)\) satisface la ecuación diferencial (\ ref {BS1}) y las condiciones laterales

$$W (S, T) =0,\ W (0, t) =0,\ W (S, t) =O (S)\\ mcaja {as}\ S\ a\ infty\]

uniformemente en\(0\le t\le T\).

De una consideración máxima de principio, véase un ejercicio, se deduce que\(|W(S,t)|\le cS\) en adelante\(S\ge 0\),\(0\le t\le T\). La constante\(c\) es independiente de\(S\) y\(t\). De la definición de\(u\) vemos que
$$
u (x,\ tau) =\ frac {1} {E} e^ {-\ alpha x-\ beta\ tau} W (S, t),
$$
donde\(S=Ee^x\),\(t=T-2\tau/(\sigma^2)\). Así tenemos la propiedad de crecimiento
\ begin {ecuación}
\ label {wachs1}
|u (x,\ tau) |\ le Me^ {a|x|},\\ x\ in\ mathbb {R} ^1,
\ end {ecuación}
con constantes positivas\(M\) y\(a\). Entonces la solución de\(u_\tau=u_{xx}\), in\(-\infty<x<\infty\),
\(0\le\tau\le\sigma^2 T/2\), con la condición inicial\(u(x,0)=0\) se define de manera única en la clase de funciones que satisfacen la condición de crecimiento (\ ref {wachs1}), véase la Proposición 6.2 de este capítulo.
Es decir,\(u(x,\tau)\equiv 0\).

\(\Box\)

Opción de poner

Aquí está\(V(S,t):=P(S,t)\), dónde\(P(S,t)\) está el valor de la opción put (europea). En este caso tenemos las siguientes condiciones laterales a (\ ref {BS1}):
\ begin {eqnarray}
\ label {BSP1}
P (S, T) &=&\ max\ {E-S,0\}\
\ label {BSP2}
P (0, t) &=&Ee^ {-r (t-T)}\\
\ label {BSP3}
P (S, t) &=&o (S)\\ mbox {as}\ S\ to\ infty,\\ mbox {uniformemente en}\ 0\ le t\ le T.
\ end {eqnarray}
Aquí\(E\) está el precio del ejercicio y\(T\) el vencimiento.

Condición lateral (\ ref {BSP1}) significa que el valor de la opción no tiene valor a tiempo\(T\) si\(S(T)\ge E\), condición (\ ref {BSP2}) dice que no tiene sentido vender activos si el valor del activo es cero, condición (\ ref {BSP3}) significa que no tiene sentido vender activos si su valor se vuelve grande.

Teorema 6.5 (Fórmula de Black-Scholes para opciones de venta europeas).

La solución\(P(S,t)\),\(0<S<\infty\),\(t<T\) del problema del valor de límite inicial (\ ref {BS1}), (\ ref {BSP1}) - (\ ref {BSP3}) es explícitamente conocida y viene dada por

$$P (S, t) =Ee^ {-r (t-T)} N (-d_2) -SN (-d_1) $$
donde\(N(x)\),\(d_1\),\(d_2\) son los mismos que en el Teorema 6.4.

Prueba. La fórmula para la opción put sigue los mismos cálculos que en el caso de una opción call o de la paridad put-call

$$C (S, t) -P (S, t) =S-Ee^ {-r (T-t)}\]

y de

$$N (x) +N (-x) =1.\]

En cuanto a la paridad put-call ver un ejercicio. Véase también [26], pp. 40, para un argumento heurístico que conduce a la fórmula para la paridad put-call.

\(\Box\)

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