6: Ecuaciones parabólicas
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Aquí consideramos ecuaciones parabólicas lineales de segundo orden. Un ejemplo es la ecuación del calor
$$u_t=a^2\ triángulo u,\]
dondeu=u(x,t),$∈R3,t≥0, ya2 es una constante positiva llamada coeficiente de conductividad. La ecuación del calor tiene su origen en la física dondeu(x,t) está la temperatura en elx momentot, ver [20], p. 394, por ejemplo.
OBSERVACIÓN 1. Después de escalar el eje podemos asumira=1.
OBSERVACIÓN 2. Al establecert:=−t, la ecuación de calor cambia a una ecuación que se llama ecuación hacia atrás. Esta es la razón de que la ecuación de calor describe procesos irreversibles en contraste con la ecuación de onda◻u=0 que es invariante con respecto al mapeot↦−t. Matemáticamente, significa que no es posible, en general, encontrar la distribución de la temperatura en un momento anterior\(t
Considere el problema de valor inicial para\ (u=u (x, t)\)x∈Rn,t≥0 yu∈C∞(Rn×R+),
\ begin {eqnarray}
\ label {par1}
u_t&=&\ triángulo u\
\ etiqueta {par2}
u (x,0) &=&\ phi (x),
\ end {eqnarray}
dondeϕ∈C(Rn) se da y△≡△x.
Miniatura: Una visualización de una solución a la ecuación bidimensional del calor con la temperatura representada por la tercera dimensión. Imaged usado con permiso (Dominio público; Oleg Alexandrov). La ecuación de calor es una ecuación diferencial parcial parabólica que describe la distribución del calor (o variación en la temperatura) en una región determinada a lo largo del tiempo.
