6: Ecuaciones parabólicas
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Aquí consideramos ecuaciones parabólicas lineales de segundo orden. Un ejemplo es la ecuación del calor
$$u_t=a^2\ triángulo u,\]
donde\(u=u(x,t)\),\($\in\mathbb{R}^3\),\(t\ge0\), y\(a^2\) es una constante positiva llamada coeficiente de conductividad. La ecuación del calor tiene su origen en la física donde\(u(x,t)\) está la temperatura en el\(x\) momento\(t\), ver [20], p. 394, por ejemplo.
OBSERVACIÓN 1. Después de escalar el eje podemos asumir\(a=1\).
OBSERVACIÓN 2. Al establecer\(t:=-t\), la ecuación de calor cambia a una ecuación que se llama ecuación hacia atrás. Esta es la razón de que la ecuación de calor describe procesos irreversibles en contraste con la ecuación de onda\(\Box u=0\) que es invariante con respecto al mapeo\(t\mapsto -t\). Matemáticamente, significa que no es posible, en general, encontrar la distribución de la temperatura en un momento anterior\(t
Considere el problema de valor inicial para\ (u=u (x, t)\)\(x\in\mathbb{R}^n\),\(t\ge0\) y\(u\in C^\infty(\mathbb{R}^n\times R_+)\),
\ begin {eqnarray}
\ label {par1}
u_t&=&\ triángulo u\
\ etiqueta {par2}
u (x,0) &=&\ phi (x),
\ end {eqnarray}
donde\(\phi\in C(\mathbb{R}^n)\) se da y\(\triangle\equiv\triangle_x\).
Miniatura: Una visualización de una solución a la ecuación bidimensional del calor con la temperatura representada por la tercera dimensión. Imaged usado con permiso (Dominio público; Oleg Alexandrov). La ecuación de calor es una ecuación diferencial parcial parabólica que describe la distribución del calor (o variación en la temperatura) en una región determinada a lo largo del tiempo.