6: Ecuaciones parabólicas

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Aquí consideramos ecuaciones parabólicas lineales de segundo orden. Un ejemplo es la ecuación del calor

$$u_t=a^2\ triángulo u,\]

donde$u=u(x,t)$,$$\in\mathbb{R}^3$,$t\ge0$, y$a^2$ es una constante positiva llamada coeficiente de conductividad. La ecuación del calor tiene su origen en la física donde$u(x,t)$ está la temperatura en el$x$ momento$t$, ver [20], p. 394, por ejemplo.

OBSERVACIÓN 1. Después de escalar el eje podemos asumir$a=1$.

OBSERVACIÓN 2. Al establecer$t:=-t$, la ecuación de calor cambia a una ecuación que se llama ecuación hacia atrás. Esta es la razón de que la ecuación de calor describe procesos irreversibles en contraste con la ecuación de onda$\Box u=0$ que es invariante con respecto al mapeo$t\mapsto -t$. Matemáticamente, significa que no es posible, en general, encontrar la distribución de la temperatura en un momento anterior\(t

Considere el problema de valor inicial para\ (u=u (x, t)\)$x\in\mathbb{R}^n$,$t\ge0$ y$u\in C^\infty(\mathbb{R}^n\times R_+)$,
\ begin {eqnarray}
\ label {par1}
u_t&=&\ triángulo u\
\ etiqueta {par2}
u (x,0) &=&\ phi (x),
\ end {eqnarray}

donde$\phi\in C(\mathbb{R}^n)$ se da y$\triangle\equiv\triangle_x$.

Miniatura: Una visualización de una solución a la ecuación bidimensional del calor con la temperatura representada por la tercera dimensión. Imaged usado con permiso (Dominio público; Oleg Alexandrov). La ecuación de calor es una ecuación diferencial parcial parabólica que describe la distribución del calor (o variación en la temperatura) en una región determinada a lo largo del tiempo.

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