1.8: Revisión y resumen

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Revisión y resumen

Aquí están las ideas importantes discutidas y los puntos que se hacen en este folleto.

Se presentaron muchos solucionadores de ODE diferentes de complejidad y precisión variables. En [tab:8.1] se muestra una tabla resumida de los métodos.
Los solucionadores de ODE se dividen ampliamente en dos categorías: métodos explícitos e implícitos. Los métodos explícitos son aquellos en los que el paso adelante en el tiempo (es decir, el futuro) puede calcularse utilizando los valores conocidos de la función\(y\) (es decir, el presente y el pasado). Los métodos implícitos son aquellos en los que el paso adelante en el tiempo se calcula utilizando el pasado, el presente y el futuro simultáneamente. Los métodos implícitos requieren ejecutar un rootfinder para hacer un paso, los métodos explícitos no.
Diferentes solucionadores de ODE tienen diferentes niveles de precisión. La precisión de un método particular depende del tamaño del paso\(h\). Por lo general, un solucionador proporciona soluciones más precisas para los más pequeños\(h\), pero a expensas de un mayor tiempo de ejecución. El escalado del error del solucionador generalmente se comporta como\(O(h^p)\) donde\(p\) está el “orden” del solucionador. Mayor\(p\) implica una mejor precisión.
Una forma diferente de categorizar los solucionadores de ODE son los métodos de un paso frente a varios pasos. Los métodos de un solo paso dan un paso para\(t_{n+1}\) basarse en la información disponible solo en el momento\(t_n\) (y posiblemente algunos puntos intermedios de prueba). Los métodos Runge-Kutta son ejemplos de métodos de un solo paso. Los métodos multipaso dan un paso basado en información de tiempos anteriores\(t_n\),\(t_{n-1}\),\(t_{n-2}\), etc. Los métodos Adams-Bashforth son ejemplos de métodos multipaso lineales explícitos, y los métodos Adams-Moulton son métodos implícitos de varios pasos.
La estabilidad de un método se refiere a si una perturbación crece o se contrae como\(t \rightarrow \infty\). Diferentes métodos tienen diferentes “dominios de estabilidad”, los cuales son parcelas hechas asumiendo que\(h\) es complejo. La gráfica muestra qué regiones del plano complejo corresponden a estabilidad o inestabilidad.
Los métodos de tamaño de paso adaptativo hacen una estimación del error incurrido en cada paso y ajustan el tamaño de paso hacia arriba o hacia abajo para mantener una tolerancia de error dada. El ode45 de Matlab es un famoso solucionador adaptativo de tamaño de paso. Se basa en el algoritmo Dormund-Prince 4/5, miembro de la familia Runge-Kutta.
Los integradores simplécticos son un subconjunto de solucionadores de ODE utilizados en situaciones en las que se sabe que la ODE conserva energía.

Nombre	Tipo	Precisión	Iteración
Foward Euler	Explícito	\(O(h)\)	\(y_{n+1} = y_n + h f(t_n, y_n)\)
Euler hacia atrás	Implícito	\(O(h)\)	\(y_{n+1} = y_n + h f(t_{n+1}, y_{n+1})\)
Método de Heun	Explícito, de un paso	\(O(h^2)\)	\ begin {aligned} s_1 &= h f (t_n, y_n)\\\ tilde {y} &= y_n + s_1\\ s_2 &= h f (t_n,\ tilde {y})\\ y_ {n+1} &= y_n + (h/2) (s_1 + s_2)\ end {alineado}
Regla de punto medio	Explícito, de un paso	\(O(h^2)\)	\ begin {alineado} k_1 &= h f (t_n, y_n)\\ k_2 &= h f (t_n+h/2, y_n + k_1/2)\\ y_ {n+1} &= y_n + k_2\ end {alineado}
Cuarto orden Runge-Kuttal	Explícito, de un paso	\(O(h^4)\)	\ begin {alineado} k_1 &= h f (t_n, y_n)\\ k_2 &= h f (t_n+h/2, y_n + k_1/2)\\ k_3 &= h f (t_n+h/2, y_n + k_2/2)\\ k_4 &= h f (t_n+h, y_n + k_3)\\ y_ {n} &= y_n + (k_1 + 2 k_2 + 2 k_3 + k_4) /6\ end {alineado}
Regla trapezoidal	Implícito	\(O(h^2)\)	\(y_{n+1} = \frac{h}{2} \left( f_{n+1} + f_n \right) + y_n\)
Segundo orden Adams-Bashforth	Explícito, multipaso	\(O(h^2)\)	\(y_{n+2} = h \left( \frac{3}{2} f_{n+1} - \frac{1}{2} f_{n} \right) + y_{n+1}\)
Tercer orden Adams-Bashforth	Explícito, multipaso	\(O(h^3)\)	\ begin {alineado} y_ {n+3} = & h\ izquierda (\ frac {5} {12} f_ {n} -\ frac {4} {3} f_ {n+1} +\ frac {23} {12} f_ {n+2}\ derecha)\\ & + y_ {n+2}\ end {alineado}
Tercer orden Adams-Moulton	Implícito, multipaso	\(O(h^4)\)	\ begin {alineado} y_ {n+2} = & h\ izquierda (-\ frac {1} {12} f_n +\ frac {2} {3} f_ {n+1} +\ frac {5} {12} f_ {n+2}\ derecha)\\ & + y_ {n+1}\ end {alineado}
Simplectic Euler	ODEs semiimplícitas de 2do orden	\(O(h)\)	\ begin {alineado} v_ {n+1} &= v_n + h g (t_n, u_n)\\ u_ {n+1} &= u_n + h f (t_n, v_ {n+1})\ end {alineado}

Guía de códigos de Matlab

Un conjunto de programas de Matlab acompaña a este folleto. Cada programa demuestra uno de los solucionadores cubiertos en el texto. Se generaron parcelas de soluciones mostradas en el texto utilizando estos programas de Matlab. Los programas están disponibles en línea para que los estudiantes estudien en https://github.com/brorson/DifferentialEquationsBook.