1.1.E: Introducción a R( Ejercicios)

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Dejar\(\mathbf{x}=(1,2), \mathbf{y}=(2,3),\) y\(\mathbf{z}=(-2,4) .\) Para cada una de las siguientes, trazar los puntos\(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z},\) y el punto indicado\(\mathbf{w}\).
(a)\(\mathbf{w}=\mathbf{x}+\mathbf{y}\)
(b)\(\mathbf{w}=2 \mathbf{x}-\mathbf{y}\)
(c)\(\mathbf{w}=\mathbf{z}-2 \mathbf{x}\)
(d)\(\mathbf{w}=3 \mathbf{x}+2 \mathbf{y}-\mathbf{z}\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Vamos\(\mathbf{x}=(1,3,-1), \mathbf{y}=(3,2,1),\) y\(\mathbf{z}=(-2,4,-2) .\) Compute cada una de las siguientes.
a)\(\mathbf{x}+\mathbf{y}\)
b)\(\mathbf{x}-\mathbf{z}+3 \mathbf{y}\)
c)\(3 \mathbf{z}-2 \mathbf{y}\)
d)\(-3 \mathbf{x}+4 \mathbf{z}\)

Contestar

(a) (4,5,0)

b) (12,5,4)

c) (-12,8, -8)

d) (-11,7, -5)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Vamos\(\mathbf{x}=(1,-1,2,3), \mathbf{y}=(-2,3,1,-2),\) y\(\mathbf{z}=(2,1,3,-4) .\) Compute cada una de las siguientes.
a)\(\mathbf{x}-2 \mathbf{z}\)
b)\(\mathbf{y}+\mathbf{x}-3 \mathbf{z}\)
c)\(-3 \mathbf{y}-\mathbf{x}+4 \mathbf{z}\)
d)\(\mathbf{x}+3 \mathbf{z}-4 \mathbf{y}\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Vamos\(\mathbf{x}=(1,2)\) y\(\mathbf{y}=(-2,3) .\) Compute cada una de las siguientes.
a)\(\|\mathbf{x}\|\)
b)\(\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|\)
c)\(\|3 \mathbf{x}\|\)
d)\(\|-4 \mathbf{y}\|\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Vamos\(x=(2,3,-1), y=(2,-1,5),\) y\(z=(3,-1,-2) .\) Compute cada una de las siguientes.
(a)\(\|\mathbf{x}\|\)
(b)\(\|\mathbf{x}+2 \mathbf{y}\|\)
(c)\(\|-5 \mathbf{x}\|\)
(d)\(\|\mathbf{x}+\mathbf{y}+\mathbf{z}\|\)

Contestar

(a)\(\sqrt{14}\)

b)\(\sqrt{118}\)

c)\(5 \sqrt{14}\)

d)\(3 \sqrt{6}\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Encuentra las distancias entre los siguientes pares de puntos.
(a)\(\mathbf{x}=(3,2), \mathbf{y}=(-1,3)\)
(b)\(\mathbf{x}=(1,2,1), \mathbf{y}=(-2,-1,3)\)
(c)\(\mathbf{x}=(4,2,1,-1), \mathbf{y}=(1,3,2,-2)\)
(d)\(\mathbf{z}=(3,-3,0), \mathbf{y}=(-1,2,-5)\)
(e)\(\mathbf{w}=(1,2,4,-2,3,-1), \mathbf{u}=(3,2,1,-3,2,1)\)

Contestar

(a)\(\sqrt{17}\)

b)\(\sqrt{22}\)

c)\(2 \sqrt{3}\)

d)\(\sqrt{66}\)

e)\(\sqrt{19}\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Dibuje una imagen de los siguientes conjuntos de puntos en\(\mathrm{R}^{2}\).
a)\(S^{1}((1,2), 1)\)
b)\(B^{2}((1,2), 1)\)
c)\(\overline{B}^{2}((1,2), 1)\)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Dibuje una imagen de los siguientes conjuntos de puntos en\(\mathbb{R}\).
a)\(S^{0}(1,3)\)
b)\(B^{1}(1,3)\)
c)\(\overline{B}^{1}(1,3)\)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Describir las diferencias entre\(S^{2}((1,2,1), 1), B^{3}((1,2,1), 1),\) y\(\overline{B}^{3}((1,2,1), 1)\) en\(\mathbb{R}^{3}\).

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Es el punto\((1,4,5)\) en la bola abierta\(B^{3}((-1,2,3), 4) ?\)

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

Es el punto\((3,2,-1,4,1)\) en la bola abierta\(B^{5}((1,2,-4,2,3), 3) ?\)

Contestar

No

Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

Encuentra la longitud y dirección de los siguientes vectores.
a)\(\mathbf{x}=(2,1)\)
b)\(\mathbf{z}=(1,1,-1)\)
c)\(\mathbf{x}=(-1,2,3)\)
d)\(\mathbf{w}=(1,-1,2,-3)\)

Contestar

a)\(\|\mathbf{x}\|=\sqrt{5}\), Dirección:\(\|\mathbf{u}\|=\frac{1}{\sqrt{5}}(2,1)\)

b)\(\|\mathbf{z}\|=\sqrt{3}\), Dirección:\(\|\mathbf{u}\|=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,-1)\)

(c)\(\|\mathbf{x}\|=\sqrt{14}\), Dirección:\(\|\mathbf{u}\|=\frac{1}{\sqrt{14}}(-1,2,3)\)

d)\(\|\mathbf{w}\|=\sqrt{15}\), Dirección:\(\|\mathbf{u}\|=\frac{1}{\sqrt{15}}(1,-1,2,-3)\)

Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

Let\(\mathbf{x}=(1,3), \mathbf{y}=(4,1),\)\(\mathbf{x}, \mathbf{y},\) y\(\mathbf{z}=(2,-1) .\) Trazar y\(\mathbf{z} .\) También, mostrar cómo obtener cada uno de los siguientes geométricamente.
(a)\(\mathbf{w}=\mathbf{x}+\mathbf{y}\)
(b)\(\mathbf{w}=\mathbf{y}-\mathbf{x}\)
(c)\(\mathbf{w}=3 \mathbf{z}\)
(d)\(\mathbf{w}=-2 \mathbf{z}\)
(e)\(\mathbf{w}=\frac{1}{2} \mathrm{z}\)
(f)\(\mathbf{w}=\mathbf{x}+\mathbf{y}+\mathbf{z}\)
(g)\(\mathbf{w}=\mathbf{x}+3 \mathbf{z}\)
(h)\(\mathbf{w}=\mathbf{x}-\frac{1}{4} \mathbf{y}\)

Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

Supongamos\(\mathbf{x}=\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right), \mathbf{y}=\left(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}\right),\) y\(\mathbf{z}=\left(z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n}\right)\) son vectores en\(\mathbb{R}^{n}\)\(a, b,\) y y\(c\) son escalares. Verifica lo siguiente.
(a)\(\mathbf{x}+\mathbf{y}=\mathbf{y}+\mathbf{x}\)
(b)\(\mathbf{x}+(\mathbf{y}+\mathbf{z})=(\mathbf{x}+\mathbf{y})+\mathbf{z}\)
(c)\(a(\mathbf{x}+\mathrm{y})=a \mathrm{x}+a \mathrm{y}\)
(d)\((a+b) \mathbf{x}=a \mathbf{x}+b \mathbf{x}\)
(e)\(a(b \mathbf{x})=(a b) \mathbf{x}\)
(f)\(\mathbf{x}+\mathbf{0}=\mathbf{x}\)
(g)\(1 \mathbf{x}=\mathbf{x}\)
(h)\(\mathbf{x}+(-\mathbf{x})=0,\) donde\(-\mathbf{x}=-1 \mathbf{x}\)

Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

Dejar\(\mathbf{u}=(1,1)\) y\(\mathbf{v}=(-1,1)\) ser vectores en\(\mathbb{R}^{2}\)
(a) Deja\(\mathbf{x}=(2,1) .\) Encuentra escalares\(a\) y\(b\) tales que ¿\(\mathbf{x}=a \mathbf{u}+b \mathbf{v} .\)Son\(a\) y\(b\) únicos?
(b) Dejar\(\mathbf{x}=(x, y)\) ser un vector arbitrario en\(\mathbb{R}^{2} .\) Mostrar que existen escalares únicos\(a\) y\(b\) tales que\(\mathbf{x}=a \mathbf{u}+b \mathbf{v}\).
(c) El resultado en (b) muestra que u y v forman una base para la\(\mathbb{R}^{2}\) cual es diferente de la base estándar de\(\mathbf{e}_{1}\) y\(\mathbf{e}_{2} .\) Mostrar que los vectores\(\mathbf{u}=(1,1)\) y\(\mathbf{w}=(-1,-1)\) no forman una base para\(\mathbb{R}^{2} .\) (Pista: Mostrar que no existen escalares\(a\) y\(b\) tal que\(\mathbf{x}=a \mathbf{u}+\mathbf{w} \text { when } \mathbf{x}=(2,1).)\)

Contestar

(a)\(a=\frac{3}{2}, b=-\frac{1}{2}\); Sí,\(a\) y\(b\) son únicos.

b)\(a=\frac{x+y}{2}, b=\frac{y-x}{2}\)