1.1: ¿Cuál es el enfoque axiomático?

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En el enfoque axiomático, se define el plano como cualquier cosa que satisfaga una determinada lista de propiedades. Estas propiedades se llaman axiomas. El sistema axiomático para la teoría es como las reglas para un juego. Una vez que se fija el sistema de axiomas, se considera cierta una afirmación si se desprende de los axiomas y nada más se considera cierto.

Las formulaciones de los primeros axiomas no fueron rigurosas en absoluto. Por ejemplo, Euclides describió una línea como longitud sin ancho y una línea recta como una línea que se encuentra uniformemente con los puntos sobre sí misma. Por otro lado, estas formulaciones fueron suficientemente claras, para que un matemático pudiera entender al otro.

La mejor manera de entender un sistema axiomático es hacer uno por ti mismo. Mira a tu alrededor y elige un modelo físico del plano euclidiano; imagina una superficie infinita y perfecta de una pizarra. Ahora trata de recoger las observaciones clave sobre este modelo. Supongamos por ahora que tenemos una comprensión intuitiva de nociones tales como línea y punto.

(i) Podemos medir distancias entre puntos.
(ii) Podemos trazar una línea única que pasa por dos puntos dados.
(iii) Podemos medir ángulos.
(iv) Si rotamos o cambiamos no veremos la diferencia.
(v) Si cambiamos de escala no veremos la diferencia.

Estas observaciones son buenas para empezar. Más adelante desarrollaremos el lenguaje para reformularlos rigurosamente.