2: Axiomas

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Un sistema de axiomas aparece ya en “Elementos” de Euclides, el libro de texto más exitoso e influyente jamás escrito.

El estudio sistemático de geometrías como sistemas axiomáticos fue desencadenado por el descubrimiento de geometría no euclidiana. La rama de las matemáticas, emergiendo de esta manera, se llama “Fundamentos de la geometría”.

El sistema de axiomas más popular fue propuesto en 1899 por David Hilbert. Este es también el primer sistema riguroso según los estándares modernos. Contiene veinte axiomas en cinco grupos, seis “nociones primitivas” y tres “términos primitivos”; estos no se definen en términos de conceptos previamente definidos.

Posteriormente se propusieron varios sistemas diferentes. Cabe mencionar el sistema de Alexandr Alexandrov [2] que es muy intuitivo y elemental, el sistema de Friedrich Bachmann [3] basado en el concepto de simetría, y el sistema de Alfred Tarski [18] —un sistema minimalista diseñado para el análisis mediante lógica matemática.

Usaremos otro sistema muy cercano al propuesto por George Birkhoff [5]. Este sistema se basa en las observaciones clave (i) — (v) enumeradas en la Sección 1.1. Los axiomas utilizan las nociones de espacio métrico, líneas, ángulos, triángulos, igualdades módulo\(2\cdot \pi\) (\(\equiv\)), la continuidad de mapas entre espacios métricos, y la congruencia de triángulos (\(\cong\)). Todo esto discutido en los preliminares.

Nuestro sistema está construido sobre espacios métricos. En particular, utilizamos los números reales como bloque de construcción. Por esa razón, nuestro enfoque no es puramente axiomático, construimos la teoría sobre otra cosa; se asemeja a una introducción basada en modelos a la geometría euclidiana discutida en la página 10. Se utilizó este enfoque para minimizar las partes tediosas que son inevitables en fundamentos puramente axiomáticos.