15.2: Espacio Euclideano
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Repetimos la construcción de métricasd2 en el espacio.
Supongamos queR3 denota el conjunto de todas las triples(x,y,z) de números reales. AsumirA=(xA,yA,zA) yB=(xB,yB,zB) son puntos arbitrarios enR3. Defina la métrica deR3 la siguiente manera:
AB:=√(xA−xB)2+(yA−yB)2+(zA−zB)2.
El espacio métrico obtenido se denomina espacio euclidiano.
El subconjunto de puntos enR3 se llama plano si se puede describir mediante una ecuación
a⋅x+b⋅y+c⋅z+d=0
para algunas constantesa,,bc, yd tal que al menos uno de los valoresa,b oc es distinto de cero.
Es sencillo mostrar lo siguiente:
- Cualquier plano en el espacio euclidiano es isométrico al plano euclidiano.
- Tres puntos cualesquiera en el espacio se encuentran en un avión.
- Una intersección de dos planos distintos (si no está vacía) es una línea en cada uno de estos planos.
Estas declaraciones permiten generalizar muchas nociones y resultados de la geometría del plano euclidiano al espacio euclidiano mediante la aplicación de geometría plana en los planos del espacio.