15.2: Espacio Euclideano
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Supongamos que\(\mathbb{R}^3\) denota el conjunto de todas las triples\((x,y,z)\) de números reales. Asumir\(A=(x_A,y_A,z_A)\) y\(B=(x_B,y_B,z_B)\) son puntos arbitrarios en\(\mathbb{R}^3\). Defina la métrica de\(\mathbb{R}^3\) la siguiente manera:
\(AB := \sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2+(z_A-z_B)^2}.\)
El espacio métrico obtenido se denomina espacio euclidiano.
El subconjunto de puntos en\(\mathbb{R}^3\) se llama plano si se puede describir mediante una ecuación
\(a\cdot x+b\cdot y+c\cdot z+d=0\)
para algunas constantes\(a\),,\(b\)\(c\), y\(d\) tal que al menos uno de los valores\(a\),\(b\) o\(c\) es distinto de cero.
Es sencillo mostrar lo siguiente:
- Cualquier plano en el espacio euclidiano es isométrico al plano euclidiano.
- Tres puntos cualesquiera en el espacio se encuentran en un avión.
- Una intersección de dos planos distintos (si no está vacía) es una línea en cada uno de estos planos.
Estas declaraciones permiten generalizar muchas nociones y resultados de la geometría del plano euclidiano al espacio euclidiano mediante la aplicación de geometría plana en los planos del espacio.