15.2: Espacio Euclideano

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Repetimos la construcción de métricas\(d_2\) en el espacio.

Supongamos que\(\mathbb{R}^3\) denota el conjunto de todas las triples\((x,y,z)\) de números reales. Asumir\(A=(x_A,y_A,z_A)\) y\(B=(x_B,y_B,z_B)\) son puntos arbitrarios en\(\mathbb{R}^3\). Defina la métrica de\(\mathbb{R}^3\) la siguiente manera:

\(AB := \sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2+(z_A-z_B)^2}.\)

El espacio métrico obtenido se denomina espacio euclidiano.

El subconjunto de puntos en\(\mathbb{R}^3\) se llama plano si se puede describir mediante una ecuación

\(a\cdot x+b\cdot y+c\cdot z+d=0\)

para algunas constantes\(a\),,\(b\)\(c\), y\(d\) tal que al menos uno de los valores\(a\),\(b\) o\(c\) es distinto de cero.

Es sencillo mostrar lo siguiente:

Cualquier plano en el espacio euclidiano es isométrico al plano euclidiano.
Tres puntos cualesquiera en el espacio se encuentran en un avión.
Una intersección de dos planos distintos (si no está vacía) es una línea en cada uno de estos planos.

Estas declaraciones permiten generalizar muchas nociones y resultados de la geometría del plano euclidiano al espacio euclidiano mediante la aplicación de geometría plana en los planos del espacio.