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LibreTexts Español

15.2: Espacio Euclideano

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Repetimos la construcción de métricasd2 en el espacio.

Supongamos queR3 denota el conjunto de todas las triples(x,y,z) de números reales. AsumirA=(xA,yA,zA) yB=(xB,yB,zB) son puntos arbitrarios enR3. Defina la métrica deR3 la siguiente manera:

AB:=(xAxB)2+(yAyB)2+(zAzB)2.

El espacio métrico obtenido se denomina espacio euclidiano.

El subconjunto de puntos enR3 se llama plano si se puede describir mediante una ecuación

ax+by+cz+d=0

para algunas constantesa,,bc, yd tal que al menos uno de los valoresa,b oc es distinto de cero.

Es sencillo mostrar lo siguiente:

  • Cualquier plano en el espacio euclidiano es isométrico al plano euclidiano.
  • Tres puntos cualesquiera en el espacio se encuentran en un avión.
  • Una intersección de dos planos distintos (si no está vacía) es una línea en cada uno de estos planos.

Estas declaraciones permiten generalizar muchas nociones y resultados de la geometría del plano euclidiano al espacio euclidiano mediante la aplicación de geometría plana en los planos del espacio.


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