15.3: Modelo espacial

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Identificemos el plano euclidiano con un plano\(\Pi\) en el espacio euclidiano\(\mathbb{R}^3\) que no pasa por el origen\(O\). Denotar por\(\hat{\Pi}\) la finalización proyectiva de\(\Pi\).

Denote por\(\Phi\) el conjunto de todas las líneas en el espacio a través\(O\). Definamos una bijección\(P \leftrightarrow \dot P\) entre\(\hat \Pi\) y\(\Phi\). Si\(P\in \Pi\), entonces toma la línea\(\dot P=(OP)\); si\(P\) es un punto ideal de\(\hat \Pi\), entonces se define por un lápiz paralelo de líneas, entonces toma la línea a\(\dot P\) través\(O\) paralela a las líneas en este lápiz.

Además denotan por\(\Psi\) el conjunto de todos los planos en el espacio a través\(O\). De manera similar, podemos definir una bijección\(\ell\leftrightarrow \dot \ell\) entre líneas en\(\hat \Pi\) y\(\Psi\). Si una línea no\(\ell\) es ideal, entonces tomar el plano\(\dot \ell\) que contiene\(\ell\) y\(O\); si la línea\(\ell\) es ideal, entonces tomar\(\dot \ell\) para ser el plano a través de\(O\) que es paralelo a\(\Pi\) (es decir,\(\dot{\ell} \cap \Pi=\emptyset\)).

Observación\(\PageIndex{1}\)

\(P\)y\(\ell\) ser un punto y una línea en el plano proyectivo real. Entonces\(P \in \ell\) si y solo si\(\dot{P} \subset \dot{\ell}\), donde\(\dot{P}\) y\(\dot{\ell}\) denotan la línea y el plano definidos por las bijecciones construidas.