15.3: Modelo espacial

Identificemos el plano euclidiano con un plano$\Pi$ en el espacio euclidiano$\mathbb{R}^3$ que no pasa por el origen$O$. Denotar por$\hat{\Pi}$ la finalización proyectiva de$\Pi$.

Denote por$\Phi$ el conjunto de todas las líneas en el espacio a través$O$. Definamos una bijección$P \leftrightarrow \dot P$ entre$\hat \Pi$ y$\Phi$. Si$P\in \Pi$, entonces toma la línea$\dot P=(OP)$; si$P$ es un punto ideal de$\hat \Pi$, entonces se define por un lápiz paralelo de líneas, entonces toma la línea a$\dot P$ través$O$ paralela a las líneas en este lápiz.

Además denotan por$\Psi$ el conjunto de todos los planos en el espacio a través$O$. De manera similar, podemos definir una bijección$\ell\leftrightarrow \dot \ell$ entre líneas en$\hat \Pi$ y$\Psi$. Si una línea no$\ell$ es ideal, entonces tomar el plano$\dot \ell$ que contiene$\ell$ y$O$; si la línea$\ell$ es ideal, entonces tomar$\dot \ell$ para ser el plano a través de$O$ que es paralelo a$\Pi$ (es decir,$\dot{\ell} \cap \Pi=\emptyset$).

Observación$\PageIndex{1}$

$P$y$\ell$ ser un punto y una línea en el plano proyectivo real. Entonces$P \in \ell$ si y solo si$\dot{P} \subset \dot{\ell}$, donde$\dot{P}$ y$\dot{\ell}$ denotan la línea y el plano definidos por las bijecciones construidas.