15.8: Construcción de un polo

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En esta sección describimos un poderoso truco que se puede utilizar en las construcciones con regla.

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Supongamos que$\Gamma$ es un círculo en el plano y$P\notin \Gamma$ .Dibuja dos líneas$x$ y$y$ a través$P$ que se cruzan$\Gamma$ en dos pares de puntos$X$,$X'$ y $Y$,$Y'$. Dejar$Z=(XY) \cap (X'Y')$ y$Z'=(XY') \cap(X'Y)$. Considera la línea$p=(ZZ')$.

Reclamación$\PageIndex{1}$

La línea construida$p=(ZZ')$ no depende de la elección de las líneas$x$ y$y$.

Además, se$P \leftrightarrow p$ puede extender a una dualidad tal que cualquier punto$P$ del círculo$\Gamma$ corresponda a una línea$p$ tangente a$\Gamma$ at$P$.

Vamos a utilizar este reclamo sin una prueba, pero la prueba no es dura. Si$P$ se encuentra fuera de$\Gamma$, se puede hacer moviéndose$P$ al infinito manteniéndose$\Gamma$ fijo como un conjunto. Si$P$ se encuentra dentro de$\Gamma$, se puede hacer moviéndose$P$ al centro de$\Gamma$. La existencia de transformaciones proyectivas correspondientes se desprende de la idea del Ejercicio 16.3.1.

A la línea$p$ se le llama el polar del punto$P$ con respecto a$\Gamma$.

Al punto$P$ se le llama el polo de la línea$p$ con respecto a$\Gamma$.

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Revertir la construcción descrita. Es decir, dado un círculo$\Gamma$ y una línea$p$ que no es tangente a$\Gamma$, construir un punto$P$ tal que la construcción descrita para$P$ y$\Gamma$ produzca la línea$p$.

Pista: Supongamos$p = (QR)$; denotar por$q$ y$r$ las líneas duales producidas por la construcción. Entonces, por Reclamación$\PageIndex{1}$,$P$ es el punto de intersección de$q$ y$r$.

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Dejar$p$ ser la línea polar de punto$P$ con respecto al círculo$\Gamma$. Supongamos que$p$ se cruza$\Gamma$ en puntos$V$ y$W$. Mostrar que las líneas$(PV)$ y$(PW)$ son tangentes a$\Gamma$.

Lleve con una construcción solo regla de las líneas tangentes al círculo dado a$\Gamma$ través del punto dado$P\not\in \Gamma$.

Pista: La línea$v$ polar a$V$ es tangente a$\Gamma$. Ya que$V \in p$, por Reclamación$\PageIndex{1}$, lo conseguimos$P \in v$; es decir,$(PV) = v$. De ahí sigue el enunciado.

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Asumir dos círculos concéntricos$\Gamma$ y$\Gamma'$ se dan. Construir el centro común de$\Gamma$ y$\Gamma'$ con una regla solamente.

Pista

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Elige un punto$P$ fuera del círculo más grande. Construye las líneas duales a$P$ para ambos círculos. Tenga en cuenta que estas dos líneas son paralelas.

Supongamos que las líneas se cruzan con el círculo más grande en dos pares de puntos$X, X'$ y$Y, Y'$. Set$Z = (XY) \cap (X'Y')$. Tenga en cuenta que la línea$(PZ)$ pasa por el centro común.

El centro es la intersección de$(PZ)$ y otra línea construida de la misma manera.

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Supongamos que se dan una línea$\ell$ y un círculo$\Gamma$ con su centro$O$. Supongamos$O\notin \ell$. Construye una perpendicular desde$O$ arriba$\ell$ con una regla solamente.

Pista: Construir gravámenes polares a dos puntos en$\ell$. Denote por$L$ la intersección de estos dos gravámenes. Tenga en cuenta que$\ell$ es polar a$L$ y por lo tanto$(OL) \perp \ell$.

Reclamación\(\PageIndex{1}\)

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)