15.9: Axiomas

Obsérvese que el plano proyectivo real descrito anteriormente satisface el siguiente conjunto de axiomas:

P-i. Dos puntos distintos se encuentran en una línea única.
P-II. Dos líneas distintas pasan a través de un punto único.
P-III. Existen al menos cuatro puntos de los cuales no hay tres colineales.

Tomemos estos tres axiomas como definición del plano proyectivo; así el plano proyectivo real discutido anteriormente se convierte en su ejemplo particular.

Hay un ejemplo de un plano proyectivo que contiene exactamente 3 puntos en cada línea. Este es el llamado plano Fano que se puede ver en el diagrama; contiene$7$ puntos y$7$ líneas. Este es un ejemplo de plano proyectivo finito; es decir, un plano proyectivo con finitamente muchos puntos.

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Mostrar que cualquier línea en plano proyectivo contiene al menos tres puntos.

Pista

Dejemos$A, B, C$, un$D$ ser el punto proporcionado por el Axioma P-III. Dada una línea$\ell$, podemos suponer que$A \not\in \ell$, de lo contrario permutar las etiquetas de los puntos. Luego por axioma P-i y P-II, las tres líneas$(AB)$$(AC)$, y se$(AD)$ cruzan$\ell$ en distintos puntos. En particular,$\ell$ contiene al menos tres puntos.

Considere el siguiente análogo dual de Axioma p-III:

P-III': Existen al menos cuatro líneas de las cuales no hay tres concurrentes.

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Demostrar que el Axioma P-III' es equivalente al Axioma P-III. Es decir,

P-i, P-II y P-III implican P-III',

y

P-i, P-ii y P-III' implican P-III.

Pista

Dejar$A, B, C$, y$D$ ser el punto proporcionado por el Axioma P-III. Demostrar que las líneas$(AB), (BC), (CD)$, y$(DA)$ satisfacer Axioma P-III'. La prueba de lo contrario es similar.

El ejercicio anterior muestra que en el sistema axiomático del plano proyectivo, las líneas y los puntos tienen los mismos derechos. De hecho, se puede cambiar en todas partes las palabras “punto” con “línea”, “pasar a través” con “se encuentra en”, “colineal” con “concurrente” y obtenemos un conjunto equivalente de axiomas — Los axiomas P-i y P-ii se convierten entre sí, y lo mismo sucede con el par P-iii y P-III'.

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Supongamos que una de las líneas en un plano proyectivo finito contiene exactamente$n+1$ puntos.

1. Mostrar que cada línea contiene exactamente$n+1$ puntos.
2. Mostrar que el plano contiene exactamente$n^2+n+1$ puntos.
3. Demostrar que no hay plano proyectivo con exactamente 10 puntos.
4. Mostrar que en cualquier plano proyectivo finito el número de puntos coincide con el número de líneas.

Pista

Dejar$\ell$ ser una línea con$n + 1$ puntos sobre ella.

Por Axioma P-iii, dada cualquier línea m, hay un punto$P$ que no yace sobre$\ell$ ni sobre$m$.

Por axiomas P-i y P-ii, hay una biyección entre las líneas que pasan a través$P$ y los puntos en$\ell$. En particular, hay exactamente$n + 1$ líneas que pasan a través$P$.

De la misma manera hay bijección entre las líneas que pasan a través$P$ y los puntos en$m$. De ahí que a) sigue. Arreglar un punto$X$. Por Axioma P-i, cualquier punto$Y$ del avión se encuentra en una línea única que pasa a través$X$. De la parte (a), cada una de esas líneas contiene$X$ y sin embargo$n$ punto. De ahí que siga el inciso b).

Para resolver (c), mostrar que la cuación$n^2 + n + 1 = 10$ no admite una solución entera y luego aplicar la parte (b).

Para resolver (d), contar el número de líneas que cruzan una línea dada usando la parte (a) y aplicar (b).

El número$n$ en el ejercicio anterior se denomina orden de plano proyectivo finito. Por ejemplo el avión Fano tiene orden$2$. Terminemos declarando un famoso problema abierto en geometría finita.

Teorema$\PageIndex{1}$ Conjecture

El orden de cualquier plano proyectivo finito es una potencia de un número primo.