15.9: Axiomas
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Obsérvese que el plano proyectivo real descrito anteriormente satisface el siguiente conjunto de axiomas:
P-i. Dos puntos distintos se encuentran en una línea única.
P-II. Dos líneas distintas pasan a través de un punto único.
P-III. Existen al menos cuatro puntos de los cuales no hay tres colineales.
Tomemos estos tres axiomas como definición del plano proyectivo; así el plano proyectivo real discutido anteriormente se convierte en su ejemplo particular.
Hay un ejemplo de un plano proyectivo que contiene exactamente 3 puntos en cada línea. Este es el llamado plano Fano que se puede ver en el diagrama; contiene\(7\) puntos y\(7\) líneas. Este es un ejemplo de plano proyectivo finito; es decir, un plano proyectivo con finitamente muchos puntos.
Mostrar que cualquier línea en plano proyectivo contiene al menos tres puntos.
- Pista
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Dejemos\(A, B, C\), un\(D\) ser el punto proporcionado por el Axioma P-III. Dada una línea\(\ell\), podemos suponer que\(A \not\in \ell\), de lo contrario permutar las etiquetas de los puntos. Luego por axioma P-i y P-II, las tres líneas\((AB)\)\((AC)\), y se\((AD)\) cruzan\(\ell\) en distintos puntos. En particular,\(\ell\) contiene al menos tres puntos.
Considere el siguiente análogo dual de Axioma p-III:
P-III': Existen al menos cuatro líneas de las cuales no hay tres concurrentes.
Demostrar que el Axioma P-III' es equivalente al Axioma P-III. Es decir,
P-i, P-II y P-III implican P-III',
y
P-i, P-ii y P-III' implican P-III.
- Pista
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Dejar\(A, B, C\), y\(D\) ser el punto proporcionado por el Axioma P-III. Demostrar que las líneas\((AB), (BC), (CD)\), y\((DA)\) satisfacer Axioma P-III'. La prueba de lo contrario es similar.
El ejercicio anterior muestra que en el sistema axiomático del plano proyectivo, las líneas y los puntos tienen los mismos derechos. De hecho, se puede cambiar en todas partes las palabras “punto” con “línea”, “pasar a través” con “se encuentra en”, “colineal” con “concurrente” y obtenemos un conjunto equivalente de axiomas — Los axiomas P-i y P-ii se convierten entre sí, y lo mismo sucede con el par P-iii y P-III'.
Supongamos que una de las líneas en un plano proyectivo finito contiene exactamente\(n+1\) puntos.
- Mostrar que cada línea contiene exactamente\(n+1\) puntos.
- Mostrar que el plano contiene exactamente\(n^2+n+1\) puntos.
- Demostrar que no hay plano proyectivo con exactamente 10 puntos.
- Mostrar que en cualquier plano proyectivo finito el número de puntos coincide con el número de líneas.
- Pista
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Dejar\(\ell\) ser una línea con\(n + 1\) puntos sobre ella.
Por Axioma P-iii, dada cualquier línea m, hay un punto\(P\) que no yace sobre\(\ell\) ni sobre\(m\).
Por axiomas P-i y P-ii, hay una biyección entre las líneas que pasan a través\(P\) y los puntos en\(\ell\). En particular, hay exactamente\(n + 1\) líneas que pasan a través\(P\).
De la misma manera hay bijección entre las líneas que pasan a través\(P\) y los puntos en\(m\). De ahí que a) sigue. Arreglar un punto\(X\). Por Axioma P-i, cualquier punto\(Y\) del avión se encuentra en una línea única que pasa a través\(X\). De la parte (a), cada una de esas líneas contiene\(X\) y sin embargo\(n\) punto. De ahí que siga el inciso b).
Para resolver (c), mostrar que la cuación\(n^2 + n + 1 = 10\) no admite una solución entera y luego aplicar la parte (b).
Para resolver (d), contar el número de líneas que cruzan una línea dada usando la parte (a) y aplicar (b).
El número\(n\) en el ejercicio anterior se denomina orden de plano proyectivo finito. Por ejemplo el avión Fano tiene orden\(2\). Terminemos declarando un famoso problema abierto en geometría finita.
El orden de cualquier plano proyectivo finito es una potencia de un número primo.