15.7: Dualidad

Supongamos que se da una bijección$P \leftrightarrow p$ entre el conjunto de líneas y el conjunto de puntos de un plano.

Configuraciones duales

Es decir, dado un punto$P$, denotamos por$p$ la línea correspondiente; y al revés, dada una línea$\ell$ denotamos por$L$ el punto correspondiente.

La biyección entre puntos y líneas se llama dualidad (La definición estándar de dualidad es más general; consideramos un caso especial que también se llama polaridad.) si

$P\in \ell \ \ \ \Leftrightarrow \ \ \ p\ni L.$

para cualquier punto$P$ y línea$\ell$.

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Considera la configuración de líneas y puntos en el diagrama.

Comience con un cuadrilátero genérico$KLMN$ y extiéndalo a un diagrama dual; etiquete las líneas y puntos usando la convención descrita anteriormente.

Pista

Dibuja$a = (KN)$$b = (KL)$,$c = (LM)$,$d = (MN)$,$P = b \cap d$, marca y continúa.

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Demostrar que el plano euclidiano no admite dualidad.

Pista

Supongamos que hay una dualidad. Elija dos líneas paralelas distintas$\ell$ y$m$. Dejemos$L$ y$M$ sean sus puntos duales. $s = (ML)$Fijado, entonces su doble punto$S$ tiene que estar en ambos$\ell$ y$m$ -una contradicción.

Teorema$\PageIndex{1}$

El plano proyectivo real admite una dualidad.

Prueba

Consideremos un plano$\Pi$ y un punto$O \not\in \Pi$ en el espacio; supongamos que eso$\hat{\Pi}$ denota el plano proyectivo real correspondiente.

Recordemos eso$\Phi$ y$\Psi$ denotan el conjunto de todas las líneas y planos que pasan a través$O$. Según la Observación 15.3.1, existen bijecciones$P\leftrightarrow\dot{P}$ entre puntos de$\hat{\Pi}$ y$\Phi$ y$\ell \leftrightarrow \dot{\ell}$ entre líneas en$\hat{\Pi}$ y$\Psi$ tal que$P\in\ell$ si y sólo si$\dot{P} \subset \dot{\ell}$.

Queda por construir una bijección$\dot{\ell} \leftrightarrow \dot{L}$ entre$\Phi$ y$\Psi$ tal que

$$\dot{P} \subset \dot{\ell} \ \ \ \iff \ \ \ \dot{p} \supset \dot{L}$$

para cualquiera de dos líneas$\dot{P}$ y de$\dot{L}$ paso a través$O$.

Establecer$\dot{\ell}$ para ser el plano a través$O$ que es perpendicular a$\dot{L}$. Obsérvese que ambas condiciones 15.7.1 son equivalentes a$\dot{P} \perp \dot{L}$; de ahí el resultado sigue.

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Considera el plano euclidiano con$(x,y)$ -coordenadas; supongamos que eso$O$ denota el origen. Dado un punto$P\ne O$ con coordenadas$(a,b)$ considera la línea$p$ dada por la ecuación$a\cdot x+b\cdot y=1$.

Mostrar que la correspondencia$P$ a$p$ se extiende a una dualidad del plano proyectivo real.

¿A qué línea corresponde$O$?

¿Qué punto corresponde a la línea$a\cdot x +b\cdot y=0$?

Pista

Asumir$M = (a, b)$ y la línea$s$ viene dada por la ecuación$p \cdot x + q \cdot y = 1$. Entonces$M \in s$ es equivalente a$p \cdot a + q \cdot b = 1$.

Este último es equivalente a$m \ni S$ donde m es la línea dada por la ecuación$a \cdot x+b\ cdot y = 1$ y$S = (p, q)$.

Para extender esta bijección a todo el plano proyectivo, supongamos que (1) la línea ideal corresponde al origen y (2) el punto ideal dado por el lápiz de las líneas$b \cdot x−a \cdot y = c$ para diferentes valores de c corresponde a la línea dada por la ecuación$a \cdot x + b \cdot y =0$.

Dualidad dice que líneas y puntos tienen los mismos derechos en cuanto a incidencia. Permite formular una declaración dual equivalente a cualquier enunciado en geometría proyectiva. Por ejemplo, la declaración dual para “los puntos$X$,$Y$, y se$Z$ encuentran en una línea$\ell$" serían las “líneas$x$,$y$, y se$z$ cruzan en un punto $L$". Formulemos la declaración dual para el teorema de Desargues (Teorema 15.6.1).

Teorema$\PageIndex{2}$ Dual Desargues' theorem

Considere los puntos colineales$X$,$Y$, y$Z$. Supongamos que

Entonces las líneas$(AA')$,$(BB')$, y$(CC')$ son concurrentes.

En este teorema los puntos$X$$Y$,, y$Z$ son duales a las líneas$(AA')$$(BB')$,, y$(CC')$ en la formulación original, y al revés.

Una vez probado el teorema de Desargues, aplicando la dualidad (Teorema$\PageIndex{1}$) obtenemos el teorema dual de Desargues. Nótese que el teorema dual de Desargues es lo contrario al teorema de Desargues original (Teorema 15.6.1).

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Formular el teorema dual de Pappus' (ver Teorema 15.6.2).

Pista

Supongamos que se da un conjunto de líneas$a, b, c$ concurrentes y otro conjunto de líneas$a', b', c'$ simultáneas. Set

$\begin{array} {rclcrclcrcl} {P} & = & {b \cap c',} & \ \ \ \ & {Q} & = & {c \cap a',} & \ \ \ \ & {R} & = & {a \cap b',} \\ {P'} & = & {b' \cap c} & \ \ \ \ & {Q'} & = & {c' \cap a,} & \ \ \ \ & {R'} & = & {a' \cap b.} \end{array}$

Entonces las líneas$(PP')$,$(QQ')$, y$(RR')$ son concurrentes. (Es un caso parcial del teorema de Brianchon.)

Ejercicio$\PageIndex{5}$

Resuelve el siguiente problema de construcción

1. utilizando el teorema dual de Desargues;
2. usando el teorema de Pappus o su dual.

Pista

Asumir$(AA')$ y$(BB')$ son las líneas dadas y$C$ es el punto dado. Aplicar el teorema de Desargues duales (Teorema$\PageIndex{2}$ para construir de$C'$ manera que$(AA'), (BB')$, y$(CC')$ son concurrentes. Ya que$(AA') \parallel (BB')$, lo conseguimos$(AA') \parallel (BB') \parallel (CC')$.

Ahora supongamos que$P$ es el punto dado y$(R'Q)$,$(P'R)$ son las líneas paralelas dadas. Tratar de conformar el punto$Q'$ como en el teorema dual de Pappus' (ver la solución de Ejercicio$\PageIndex{4}$).

Problema$\PageIndex{1}$

Dadas dos líneas paralelas, construya una tercera línea paralela a través de un punto dado con una regla solamente.