18.8: Transformaciones elementales

Los siguientes tres tipos de transformaciones lineales fraccionarias se denominan elementales:

1. \(z \mapsto z + w,\)
2. \(z \mapsto w \cdot z\)para\(w \ne 0,\)
3. \(z\mapsto \dfrac{1}{z}.\)

La interpretación geométrica

Supongamos que\(O\) denota el punto con la coordenada compleja\(0\).

El primer mapa\(z \mapsto z+w,\) corresponde a la llamada traducción paralela del plano euclidiano, su significado geométrico debe ser evidente.

El segundo mapa se llama la homothety rotacional con el centro en\(O\). Es decir, el punto se\(O\) mapea a sí mismo y cualquier otro\(Z\) mapa de puntos a un punto\(Z'\) tal que\(OZ'=|w| \cdot OZ\) y\(\measuredangle ZOZ'=\arg w\).

El tercer mapa puede describirse como una composición de la inversión en el círculo unitario centrado en\(O\) y la reflexión a través\(\mathbb{R}\) (la composición se puede tomar en cualquier orden). Efectivamente,\(\arg z \equiv -\arg \dfrac{1}{z}\). Por lo tanto,

\(\arg z=\arg (1/\bar z);\)

es decir, si los puntos\(Z\) y\(Z'\) tienen coordenadas complejas\(z\) y\(1/\bar{z}\), entonces\(Z'\in[OZ)\). Claramente,\(OZ=|z|\) y\(OZ'=|1/\bar{z}|=\dfrac{1}{|z|}\). Por lo tanto,\(Z'\) es el inverso de\(Z\) en el círculo unitario centrado en\(O\).

Por último,\(\dfrac{1}{z}=\overline{(1/\bar{z})}\) es la compleja coordenada de la reflexión de\(Z'\) través\(\mathbb{R}\).

Proposición\(\PageIndex{1}\)

El mapa\(f:\hat{\mathbb{C}} \to \hat{\mathbb{C}}\) es una transformación lineal fraccionaria si y sólo si se puede expresar como una composición de transformaciones elementales.

Prueba

la parte “sólo si”. Arreglar una transformación lineal fraccionaria

\(f(z) = \dfrac{a\cdot z + b}{c\cdot z + d}\).

Asumir\(c \ne 0\). Entonces

\(\begin{array} {rcl} {f(z)} & = & {\dfrac{a}{c} - \dfrac{a \cdot d - b \cdot c}{c \cdot (c \cdot z + d)} =} \\ {} & = & {\dfrac{a}{c} - \dfrac{a \cdot d - b \cdot c}{c^2} \cdot \dfrac{1}{z + \tfrac{d}{c}}} \end{array}\)

Es decir,

\[f(z)=f_4\circ f_3\circ f_2\circ f_1 (z),\]

donde\(f_1\),\(f_2\)\(f_3\), y\(f_4\) son las siguientes transformaciones elementales:

\(\begin{aligned} f_1(z)&= z+\tfrac dc, & f_2(z)&= \tfrac1z, \\ f_3(z)&= - \tfrac{a\cdot d-b\cdot c}{c^2} \cdot z, & f_4(z)&= z+\tfrac ac.\end{aligned}\)

Si\(c=0\), entonces

En este caso\(f(z)=f_2\circ f_1 (z)\), donde

\(\begin{aligned} f_1(z)&= \tfrac ad\cdot z, & f_2(z)= z+\tfrac bd.\end{aligned}\)

“Si” parte. Necesitamos demostrar que al componer transformaciones elementales, solo podemos obtener transformaciones lineales fraccionarias. Tenga en cuenta que es suficiente verificar que la composición de una transformación lineal fraccionaria

\(f(z) = \frac{a\cdot z + b}{c\cdot z + d}.\)

con cualquier transformación elemental\(z\mapsto z+w\),\(z\mapsto w\cdot z\), y\(z\mapsto \tfrac1z\) es una transformación lineal fraccionaria.

Este último se realiza mediante cálculos directos.

\(\begin{aligned} \frac{a\cdot (z+w) + b}{c\cdot (z+w) + d} &= \frac{a\cdot z + (b+a\cdot w)}{c\cdot z + (d+c\cdot w)}, \\ \frac{a\cdot (w\cdot z) + b}{c\cdot (w\cdot z) + d} &= \frac{(a\cdot w)\cdot z + b}{(c\cdot w)\cdot z + d}, \\ \frac{a\cdot \frac1z + b}{c\cdot \frac1z + d} &= \frac{b\cdot z + a}{d\cdot z + c}.\end{aligned}\)

Corolario\(\PageIndex{1}\)

La imagen de una circlina bajo una transformación lineal fraccionaria es una circlina.

Prueba

Por Proposición\(\PageIndex{1}\), es suficiente comprobar que cada transformación elemental envía una circlina a una circlina.

Para la primera y segunda transformación elemental, esta última es evidente.

Como se señaló anteriormente, el mapa\(z\mapsto\dfrac{1}{z}\) es una composición de inversión y reflexión. Por el Teorema 10.3.2, la inversión envía una circlina a una circlina. De ahí el resultado.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Mostrar que la inversa de una transformación lineal fraccionaria es una transformación lineal fraccionaria.

Pista

Demostrar que la inversa de cada transformación elemental es elemental y utilizar Proposición\(\PageIndex{1}\).

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Dados valores distintos\(z_0,z_1,z_\infty\in \hat{\mathbb{C}}\), construya una transformación lineal fraccionaria\(f\) tal que

\(f(z_0)=0, \quad f(z_1)=1 \quad\text{and}\quad f(z_\infty)=\infty.\)

Demostrar que tal transformación es única.

Pista

La transformación lineal fraccional

\(f(z) = \dfrac{(z_1 - z_{\infty}) \cdot (z - z_0)}{(z_1 - z_0) \cdot (z - z_{\infty})}\)

cumple con la condición.

Para mostrar la singularidad, supongamos que hay otra transformación lineal fraccionaria\(g(z)\) que cumple con la condición. Entonces la composición\(h = g\circ f^{-1}\) es una transformación lineal fraccionaria; conjunto\(h(z) = \dfrac{a \cdot z + b}{c \cdot z + d}\).

Tenga en cuenta que\(h(\infty) = \infty\); por lo tanto,\(c = 0\). Además,\(h(0) = 0\) implica\(b = 0\). Por último, ya que\(h(1) = 1\), lo conseguimos\(\dfrac{a}{d} = 1\). Por lo tanto,\(h\) es la identidad; es decir,\(h(z) = z\) para cualquiera\(z\). De ello se deduce que\(g = f\).

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Mostrar que cualquier inversión es una composición de la conjugación compleja y una transformación lineal fraccionaria.

Utilice el Teorema 14.5.1 para concluir que cualquier transformación inversiva es ya sea una transformación lineal fraccionaria o un conjugado complejo a una transformación lineal fraccionaria.

Pista

Dejar\(Z'\) ser la inversa del punto\(Z\). Supongamos que el círculo de la inversión tiene centro\(W\) y radio\(r\). Dejar\(z, z'\), y\(w\) denotar la compleja coordenada de los puntos\(Z\),\(Z'\), y\(W\) respectivamente.

Por la definición de inversión,\(\arg (z - w) = \arg (z'- w)\) y\(|z - w| \cdot |z' - w| = r^2\). De ello se deduce que\(\bar{z}' - \bar{w}) \cdot (z - w) = r^2\). Equivalentemente,

\(z' = \overline{(\dfrac{\bar{w} \cdot z + [r^2 - |w|^2]}{z - w})}\).