18.7: Transformaciones lineales fraccionarias

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 114768

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Ver video “Transformaciones de Möbius reveladas” por Douglas Arnold y Jonathan Rogness. (Está disponible en YouTube.)

El plano complejo\(\mathbb{C}\) extendido en un número ideal\(\infty\) se llama plano complejo extendido. Se denota por\(\hat{\mathbb{C}}\), entonces\(\hat{\mathbb{C}}=\mathbb{C} \cup\{\infty\}\)

Una transformación lineal fraccionaria o transformación de Möbius de\(\hat{\mathbb{C}}\) es una función de una variable compleja\(z\) que se puede escribir como

\(f(z) = \dfrac{a\cdot z + b}{c\cdot z + d},\)

donde los coeficientes\(a\),\(b\),\(c\),\(d\) son números complejos satisfactorios\(a\cdot d - b\cdot c \not= 0\). (Si\(a\cdot d - b\cdot c = 0\) la función definida anteriormente es una constante y no se considera una transformación lineal fraccionaria).

En caso\(c\not=0\) de que supongamos que

\(f(-d/c) = \infty \quad \text{and} \quad f(\infty) = a/c;\)

y si\(c=0\) asumimos

\(f(\infty) = \infty.\)