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3.1: Geometría Hiperbólica

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Todo el resto de axiomas y definiciones (¡que siguen sin especificar!) de geometría neutra permanecen vigentes pero además añadimos:

Postulado Hiperbólico Paralelo (Forma Local)

Existe una línea y un punto no en esa línea tal que hay dos líneas en ese punto que son paralelas a la línea original.

Siempre es buena idea plantear la hipótesis lo menos posible pero este axioma a veces se afirma como:

Postulado Paralelo Hiperbólico (Forma Global)

Para cualquier línea y cualquier punto que no esté en esa línea, hay dos líneas en ese punto que son paralelas a la línea original.

Para mayor especificidad, dejar ser la línea y dejarP ser el punto no en la línea y dejarm yn ser dos líneas en P que son paralelas a.

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Teorema

Estos dos axiomas son equivalentes; es decir, uno es verdadero si y sólo si el otro es verdadero.

Prueba: Obviamente, el segundo implica el primero por lo que no hay nada que probar en esta dirección. Por el contrario, supongamos que la forma local es verdadera, digamos línea y puntoP conm y líneasn distintas en P paralelas a. Primero probamos un caso especial, múltiples paralelos en cualquier puntoP de la línea enP perpendicular a, digamos PF, dondeF está el pie de la perpendicular de P.

Caso 1: P'F > PF [Fácil.] Copia los ángulos en P determinados porm yn con la perpendicular atP.

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Caso 2: P'F<PF [Mucho más difícil.] Dejarm ser un paralelo a sobre P que no es perpendicular a PF. [No necesitaremos un segundo paralelo en P.] Centrándose en el lado agudo, dejarM ser el punto medio del segmento PF, y dejar que la línean sea la perpendicular a la línea PF en M. Primero construimos múltiples paralelos enM, no enP y ya tenemos uno, a saber n. Surgen dos casos, om es paralelon o no lo es.

Caso 2a:mn.

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En este caso, copie el ánguloP con la perpendicular enM para obtenerm1 y usar ASA para Triángulos Largos. Entoncesm ynn son múltiples paralelos enM.

Caso2 b:mnΦ, digamos Q. Que R esté a lo largo del rayo PQ más allá de Q. Entonces la línea MR es otro paralelo a sobre M junto conn. ¿Por qué?

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Entonces, cualquiera de los casos conduce a múltiples paralelos enM pero necesitamos múltiples paralelos enP, noM=M1. ¿Qué hacer? Repetir recursivamente hasta que el nuevoMn esté entreF yP (por la propiedad de Arquímedes de longitud) y use Caso1.

Situación general para cualquier línea y punto no en ella? Usa ASA para Triángulos Largos de lo que ya se ha hecho. QED.

Teorema

No hay rectángulo (es decir, no cuadrilátero con cuatro ángulos rectos).

- [Nota: En nuestro “mundo real”, el mismo resultado es cierto. ¿No hay rectángulos? ¡¿Qué puede significar eso? Significa que no vivimos en un plano; vivimos en una esfera y no hay rectángulos en una esfera; de hecho, no hay paralelogramos o incluso trapecios. ¿Por qué no?]

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Prueba: Supongamos por contradicción que ABCD es un rectángulo así que (por definición) cada uno de sus ángulos son ángulos rectos y (por teorema) ambos pares de lados opuestos son congruentes. Doblar la base y la cumbre; es decir, considerarC1 de rayoBC conC1BC yD1 de rayoADDD1AD. RenombrandoA=A0, B=B0,C=C0=B1 yD=D0=A1 (para establecer la inducción matemática natural que omitiremos), concluimos queA0 B0C0D0 yA1 B1C1D1 son cuadriláteroscongruent Saccheri para que los ángulos enC1 y D1también son ángulos rectos yA1B1C1D1 es un rectángulo congruente con el rectángulo originalABCD. Múltiples paralelos enA a líneaBC implica que hay un segundo paralelo a líneaBC en puntoA que forma un ángulo de medidaα<90 con la línea verticalAB y dejar E=E0ser la intersección de esa línea conCD, el lado opuesto del rectángulo original. QueE1 se determine por esa línea conC1D1. Ahora vamos aF1 estar junto rayoD1C1 conD1 F1DE( segmentos de medidax). EntoncesE0 A1D1 F1 yE0 B1C1 F1 son cuadriláteros Saccheri con pares de ángulos de cumbre suplementarios enE0 yF1 que son congruentes por lo que son ángulos rectos por lo que estos cuadriláteros saccheri también son rectángulos. Por lo tanto,E0 F1A1D1AD. Por el hecho de queABCD es un rectángulo, el ángulo suma del cuadriláteroABCE yADE debe ser exactamente360+180 (los ángulos suplementarios en E) sin exceder ninguno de esos números. Esto implicaBAE yAEC son complementarios y de ello se deduceDAEF1E0E1. Por ASA,ADEE0 F1E1 paraF1E1DE queD1E1=x+y=2(DE)=2x. Generalizando este proceso, tenemosDnEn=(n+1)x=(n+1)DE para todosn y, para lo suficientemente granden,nx>AB (por la propiedad arquímedea de longitud; es decir, suficientes copias de un segmento, no importa cuán corto sea, supera a otro, por mucho tiempo, una consecuencia del Gobernante Postulado.) Pero eso significa queDnEn>DnCnAB obligandoEn a estar al otro lado de la líneaBC y, por continuidad, líneas paralelasAE y seBC cruzan en algún lugar entreA y En, una contradicción obvia. El hipotético rectángulo originalABCD no existía. QED.

Corolario: Los ángulos de cumbre de un cuadrilátero saccheri son agudos.

Corolario: El 4º ángulo de un cuadrilátero de Lambert es agudo.

Corolario: La suma de los ángulos de un triángulo es menor que180 (un ángulo recto).

Prueba: Mira cualquiera de sus cuadriláteros Saccheri asociados. La suma de sus ángulos de cumbre... QED.

Nota

Estas consecuencias del HPP (y muchas otras) son en realidad equivalentes a ella.

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Por ejemplo, supongamos en lugar del HPP, asumimos que hay un triángulo, digamosABC, con suma de ánguloα+β+γ<180.

AEn líneaAB, y en el lado opuestoABC, copiaBAD, digamosAC, yA en el lado opuesto, copiaACB para obtenerCAE. Mira las líneasAD,m, yAE,n.So? QED.

Corolario: Cualquiera de los lados del4th  ángulo de un cuadrilátero Lambert es mayor que el lado opuesto a él.

Prueba: A partir de geometría neutra, sabemos que es mayor o igual que el lado opuesto a ella. Si fueran "iguales” (congruentes), tendríamos un cuadrilátero Saccheri con 4 ángulos rectos. QED.

Corolario: La cumbre de un cuadrilátero saccheri es mayor que su base.

[Pista: Comenzando en la línea de puntos medios y “inclinando la cabeza90" de cualquier manera arroja un cuadrilátero Lambert con una cumbre del cuadrilátero Saccheri como4th  ángulo.]

Corolario: El segmento lineal que une los puntos medios de la base y la cumbre de un cuadrilátero Saccheri es estrictamente más corto que cualquier otro segmento lineal desde su línea base hasta su línea de cumbre.

Corolario: Si dos líneas comparten una perpendicular común, ese segmento es más corto que cualquier otro segmento de línea de una a otra. [Es decir, no hay “vías del ferrocarril”.]

En geometría hiperbólica, las líneas paralelas no necesariamente tienen una perpendicular común. Si estuviéramos siendo formalmente axiomáticos, también tendríamos que estudiar los números reales desde esa perspectiva (incluso la teoría de conjuntos subyacente, ¡nunca terminaríamos!) pero uno de los axiomas definitorios que usaremos. Se le llama el “Axioma de Integridad de Número Real” y, en la forma que lo necesitamos, garantiza que cualquier subconjunto no vacío de los números reales que esté delimitado por debajo tenga un límite inferior mayor.

Límite (o Límite) Paralelo

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Para un punto P no en líneal, hay una línea paralela únicam (una en cada dirección) que minimiza el ángulo (en ese lado) hecho por líneasP con la perpendicular que son paralelas al. Este es el límite derecho (en la foto o la izquierda) o el límite paralelo.

[Nota 1: Algunos autores utilizan simplemente paralelo con el resto de ellos siendo llamados hiperparalelos.]

[Nota 2: Esto es un teorema así como una definición. Para ser matemáticamente “apropiada”, la existencia y singularidad de tal línea tendría que probarse primero y sólo entonces su definición tendría sentido. Procediendo hacia atrás...]

Prueba: Para cualquier líneaP encendida, dejeF ser el pie de la perpendicularP y considere el ángulo hecho enP,FPX, dondeXP está cualquier otro punto en la línea. Paraα=m(FPX) (usando, grados, radianes, lo que sea), identificamos la línea comomα. Dependiendo del tamaño deα, algunas líneasmα son paralelasl y otras no; es decir, algunas se cruzanl

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Dejar que&={αmα}; los ángulos determinados por los paralelos. &no está vacío. ¿Por qué? & está “delimitado por debajo”. ¿Por qué? ¿Qué es un límite inferior mayor que0? ¿Por quéα=m(FPA) en esta cifra es un límite inferior para &? ¿Por qué hay un límite inferior mayor? Definimos el ángulo de paralelismo o ángulo límite o ángulo límite o ángulo crítico para ser el mayor límite inferior de&. Es decir,α=glb().

La prueba concluye confirmando quemα, la línea sobre laP que hace ánguloα con el rayo perpendicularPF, es paralela al lo que realmenteα está adentro& y nosotros tener nuestro paralelo encendidoP. Este hecho es inmediato a partir de la idea de la figura anterior; es decir, una línea enP que se cruzal, la líneaPA determina un tamaño de ángulo (α)enP ese es un límite inferior paraS pero obviamente no es el mayor límite inferior. QED.

Teorema3.1.1

Las líneas que se cruzan divergen más rápido que proporcionalmente. Más específicamente, la distancia (BF en la figura) desde un punto en un lado de un ángulo al otro lado del ángulo (F) es más que duplicada (CF) si la distancia desde el vértice se duplicó. [Nota: Otra interpretación de esta afirmación sería duplicar segmentos en cada rayo y demostrar que el tercer lado del triángulo determinado está más que duplicado. Esto también es cierto aunque no lo necesitamos excepto en el contexto de desmentir el Teorema de Pitágoras (por si acasoA es un ángulo recto). [Ver PS 3, #18; la misma prueba funciona para cualquierA.]

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En primer lugar. ¿Qué se entiende por la distancia de un punto en una línea a otra línea? Como hemos visto antes, es la longitud del segmento perpendicular desde el punto hasta la línea. En la figura, las líneasl yA,B sem cruzan en cualquier punto a lo largo de una de ellas,C es tal queBCAB (segmento dobleAB), yF yE son determinado por las perpendiculares a la otra línea deB yC. En geometría euclidiana, AA Similaridad implicaría queCE=2(BF). En geometría hiperbólica, lo demostramosCE>2(BF).

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Prueba: CopiaA enB para obtenerCBD y dejarG ser el pie de la perpendicular deC a línea paraBD queABFBCG porAAS y CGBFpor cpctc. DejarH ser la intersección deCE con BD. EntoncesCH está la hipotenusa del triángulo rectánguloCHG. Para mayor claridad, dejax=m(BF) y dejay=m(CH). Ahora vamos aJ estar a lo largoEC de rayo de longitudx para queBFEJ sea un cuadrilátero Saccheri. Dado que el originalA+ABF es menor que un ángulo recto,α+β<90. Esto implica esoE,J,H, yC están alineados correctamente en la imagen asíz>0 (¿por qué así?). Con eso,xy,2x<x+y+z así que esoCE>2(BF).

Corolario: Si dos líneas comparten una perpendicular común, divergen en ambas direcciones.

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Prueba: Supongamos que la línea AC es una perpendicular común a las líneasABCD y y dejaCE ser otra paralela a la líneaAB que forma un ángulo agudo con la perpendicular AC. Por el teorema recién probado, las líneas CD yCE divergen. Tanto más, CD y AB. Por simetría, lo mismo se aplica si el ángulo agudo está en el otro lado de AC. QED.

Nota

Esto dice más que eso las líneas se están separando más. Ese podría ser el caso de las líneas que se comportan asintóticamente. Esto dice que están arbitrariamente alejados; es decir, eventualmente superando cualquier distancia especificada.

Teorema de Congruencia AAA

Si dos triángulos...

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Prueba: Copia una sobre la otra usando SAS Congruency y mira el cuadrilátero resultante. La suma de sus ángulos debe ser360 pero no existe tal. QED.

Nota: La misma idea se sostiene sobre una esfera; es decir, en nuestro “mundo real”, dos triángulos con los tres ángulos congruentes por pares son triángulos congruentes. La prueba utiliza “superávit” para sustituir al “déficit” de180.

Hay otros teoremas que se pueden probar de la misma manera. Por ejemplo:

Teorema: Teorema de la cumbre: Si dos cuadriláteros saccheri tienen cumbres congruentes y ángulos de cumbre congruentes, entonces son congruentes.

Prueba: Copia una sobre la otra desde la cumbre hacia abajo. [PS 3, #19] QED.

Teorema: Si dos cuadriláteros Saccheri tienen bases congruentes y ángulos de cumbre congruentes, son congruentes.

Prueba: PS 3, #20. QED.

¿Y si algunas partes de un cuadrilátero Saccheri se cambian mientras que otras se mantienen fijas?

Teorema: Si se extienden las patas de un cuadrilátero Saccheri, entonces se aumenta la cumbre y se disminuyen los ángulos de cumbre. [Por implicación, la base no se modifica aquí.]

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Prueba: Considera Saccheri Cuadrilátero ABCD con rayos BA y CD extendieron la misma distancia; es decir,AADD por lo queABCD sigue siendo Saccheri.

Dejarα=m(A) yβ=m(A). 2β+2(180α)<360Entonces para queβ<α y los ángulos de cumbre se disminuyan estrictamente como afirma el teorema. ¿Por qué AD debe ser menor queAD? Porque alejándose simétricamente de la perpendicular de dos líneas que comparten una perpendicular común, ensancha la separación. Ya sabemos que divergen, pero esto dice que están divergiendo consistentemente al aumentar la distancia desde la perpendicular común. Que la línea MN sea la bisectrización perpendicular del segmento BC. Sabemos que esta línea biseca y es perpendicular a ambas cumbres de manera que, al dejarX estar a lo largo de rayoNA conNXNA,ANNX es un cuadrilátero saccheri conNAX agudo peroNAA obtuso. Por lo tanto, la imagen se dibuja correctamente; es decir,X está entreN yA. QED.

El siguiente es un resultado similar al anterior pero con una prueba muy diferente:

Teorema: Si se extiende la base de un cuadrilátero Saccheri, entonces se aumenta la cumbre y se disminuyen los ángulos de cumbre. [Por implicación, la longitud de las piernas no cambia.]

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Prueba: Primero tenga en cuenta que hay tres cuadriláteros saccheri involucrados, los dos que estamos comparando y la extensión misma. Esta prueba se basa en señalar que dos ángulos adyacentes (en la figura,ADC yDDC) son cada uno agudos, así que juntos menos de un ángulo recto de modo queADD es un triángulo genuino que obliga a E a colocarse correctamente (no fuera deD a lo largo de ray CD). Eso implica que cumbreBBD es menor que la cumbre originalBAD verificando la segunda conclusión del teorema. El mayor ángulo deADD esD así que el lado más grande esAD y la cumbre del nuevo cuadrilátero es mayor que la antigua cumbre, AD. QED.

Nota: Recordemos que la cumbre de un cuadrilátero Saccheri es paralela a la base pero, al “estirar la base”, siempre hay otra línea paralela a la base que hace un ángulo menor con la pata del cuadrilátero Saccheri desde ese punto (es decir, simplemente estirar la base un poco más). Esto confirma que el ángulo formado por la cumbre de un cuadrilátero Saccheri nunca es el ángulo crítico con una pata como las perpendiculares a su base.

Teorema: Si dos triángulos tienen la misma suma angular, entonces son equivalentes. [Converse de...]

Prueba: En resumen, primero probamos el caso en el que los triángulos tienen un lado de longitud común y luego forzamos hábilmente ese caso usando el siguiente lema (geometría neutra).

Lema: Si una línea que biseca un lado de un triángulo es perpendicular a la bisectriz perpendicular de un segundo lado, entonces biseca el tercer lado.

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Prueba: En triángulo dadoABC, dejarM ser el punto medio deAC, dejarm ser la bisectriz perpendicular deAB, y dejarF ser el pie de la línea en Mperpendicular am. DejarN ser el punto medio del tercer lado BC y considerar el cuadrilátero Saccheri asociado ADEB. Su cumbre esAB y sabemos que la bisectriz perpendicular de la cumbre es perpendicular a su línea base MN. Asíl= MN. ¿Por qué? QED.

Caso 1: Los dos triángulos tienen un par de lados de la misma longitud.

Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que un lado está superpuesto al otro como se muestra aquí (copia un triángulo sobre el otro si no está ya así posicionado).

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Prueba: En la figura dada, asumir queABC yABD tener la misma suma angular y considerar sus cuadriláteros Saccheri asociados en el lado común AB. Por teorema anterior, sus ángulos de cumbre tienen la misma suma que los propios triángulos por lo que los dos cuadriláteros Saccheri tienen la misma cumbre AB y ángulos de cumbre congruentes así que, por el Teorema de la Cumbre, los son iguales para queABCAEFBABD.

Nota: Incluso en este caso, producir la equivalencia concreta es más difícil de lo que parece. Recuerde que la equivalenciaABC deAEFB se muestra dejando caer la perpendicular deC a líneaMN y de manera similar paraABD deD a líneaMN, la misma línea . La idea es hacer un seguimiento de ambos conjuntos de cortes ya que los triángulos se cortan dos veces, primero para reorganizarABC para obtenerAEFB y luego reorganizar de nuevo para obtenerABD. Suena fácil pero...

Caso 2: El caso general. La idea es reducir el Caso 2 al Caso 1. Si los triángulos no son triángulos equiláteros congruentes, hay un lado de uno de ellos mayor que algún lado del otro o, por SSS, serían congruentes.

Captura de pantalla 2022-06-25 a las 12.37.33 PM.pngCaptura de pantalla 2022-06-25 a las 12.38.56 PM.png

EnABC yDEF, asumir sólo que tienen la misma suma de ángulo yAC<DF. (Ninguna correspondencia vértice por vértice es necesaria ni implícita). Consideremos el cuadrilátero Saccheri asociado paraABC con cumbre en cualquiera de los otros dos lados; elegimosAB así queAGHB es su cuadrilátero Saccheri asociado con base en línea MN, la línea de puntos medios. DejarP ser el punto medio del segmentoDF y dejarP ser cualquiera intersección de círculo(A;DP) (es decir, centro enA y radioDP), y líneaMN. [Obsérvese que(1/2)AC<(1/2)DF así sí se cruzan]. Doble segmentoAP a lo largo del rayoAP para determinarF así, por construcción,AFDF. DejarQ ser la intersección de segmentoBF y líneaMN, y dejarm ser la línea de puntos medios de la base y cumbre de Saccheri cuadrilátero AGHB; es decir, la perpendicular común. ConsiderandoABF, señalar queP es el punto medio de ladoAF ym es la bisectriz perpendicular del lado AB así, ya que la línea MN es una perpendicular desde el punto medio de un lado de un triángulo a la bisectriz perpendicular de un segundo lado, su intersección con el tercer lado es el punto medio de ese lado por lo queQ es el punto medio del tercer ladoBF (por el Lema). Así línea noMN es solo una línea de puntos medios deABC, es una línea de puntos medios de asíABF así que tambiénAGHB es su cuadrilátero Saccheri asociado con cumbre AB y la suma de los ángulos de cumbre es la suma de los ángulos de ambosABC yABF. AhoraABF yDEF satisfacer las condiciones del Caso 1 porqueABF tiene la misma suma angular y comparte una longitud lateral conΔDEF(AFDF). AsíABCΔABFΔDEF QED.

Nota

En este caso, producir la equivalencia concreta es mucho, mucho más difícil. ¿Por qué es eso? La nota posterior al Caso 1 describe cómo efectuar esto paraABCABF y también paraABFDEF pero, por tedioso que sea, todavía parece ser engañosamente fácil. La dificultad es que el cuadrilátero saccheri para la primera equivalencia se basa en la cumbre comúnAB pero para el segundo es el cuadrilátero saccheri deABF con cumbre AF' tan diferente (pero, por supuesto, equivalente) cuadriláteros saccheri. Hacer un seguimiento de ambos conjuntos de cortes en el intermedioABF y cómo se van a reorganizar para ir directamente deABC a ¡DEFestá más cerca de un rompecabezas de 1,000 piezas que las matemáticas!

Si aún no lo hemos hecho para cuando lleguemos a este punto del curso, es momento de empezar a mirar un modelo de esta geometría para asegurarnos de que no estamos construyendo un bonito castillo en el cielo. Hay varios estándar pero el único con el que trabajaremos es el modelo de disco Poincaré para geometría hiperbólica:

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l=(ρ,L,ϱ)donde:

P, el conjunto de puntos, es el conjunto de puntos interiores de un círculo euclidiano fijoγ centrado enO

L, el conjunto de líneas, es el conjunto de diámetros (intervalo abierto) y arcos (abiertos) de círculos ortogonales; es decir, el arco interior de cualquier círculo euclidiano que se cruza deγ manera que su tangente en el punto de intersección con el círculo sea perpendicular a la del círculo definitorio en punto, y

, el conjunto de círculos, es el conjunto de círculos euclidianos que se encuentran completamente dentro del círculo definitorioγ.

Nota 1: Llamar a tal conjunto un círculo Poincaré es prematuro ya que “círculo” se define como el conjunto de todos los puntos a cierta distancia fija, llamada su radio, desde algún punto fijo, llamado su centro. Esto es prematuro ya que aún no hemos definido la distancia en esta geometría pero es muy útil para tratar de entender la geometría. El problema se resolverá en el Capítulo 5. No olvides que el centro de un círculo no es parte (un elemento) de un círculo, solo de su interior o que su centro Poincaré no necesita ser el mismo que su centro euclidiano.

 Note 2: Lines determined by orthogonal circles always "curve away" from the center of the defining circle. _Esto es fácil de ver al notar que el triángulo formado por los dos centros circulares y cualquiera de los puntos de intersección es un triángulo rectángulo (por ortogonalidad) siendo el segmento de centros la hipotenusa tan más largo que el radio del círculo definitorio por lo que el segundo centro debe estar fuera de el círculo definitorio.

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En esta figura, anotar los múltiples paralelos sobreP las líneasAB yAO. Es decir, la línea PH es obviamente paralela a las líneasAB yAO pero también lo es PA ya que A, el punto de tangencia euclidiana, no es un punto en el plano Poincaré. PA es un límite paralelo a ellos. De manera similar, la línea PD es el otro límite paralelo en P a líneaAB yPG es otro paralelo no límite enP la líneaAB. El pie de la perpendicular deP a líneaAB esF. Por razones aún no comprobadas,APFBPF. Hay mucho que hacer para demostrar formalmente que esto realmente es un modelo para la geometría hiperbólica pero lo es. En esencia, este hecho es un teorema, que la geometría hiperbólica es “tan buena” como la geometría euclidiana. Es decir, si alguna vez surgiera una inconsistencia en la geometría hiperbólica, podría traducirse de nuevo en una inconsistencia en nuestra geometría euclidiana de confianza. Formalmente, la geometría hiperbólica es “relativamente consistente” con la geometría euclidiana; es decir, si los axiomas de la geometría euclidiana son consistentes, también lo son los de la geometría hiperbólica. Lo contrario también es cierto pero no vamos a estar mirando ese hecho.

Además, recordar y/o aprender la geometría euclidiana suficiente para comprender la esencia de esta prueba ocupará la mayor parte de la última parte del curso. Existe un enfoque sofisticado que clava el resultado casi como una ocurrencia posterior; el mapeo conformacional de transformaciones fraccionarias lineales en análisis complejos:

http://www.mathpages.com/home/kmath464/kmath464.htm

En general,f(z)=(az+b)/(cz+d) pero, en nuestro caso, cona=d=0, b=R2, yc=1 seguido de una reflexión en el eje real; es decir, conjugación. QED? No, ya que no se asumirá un análisis complejo. (¡¿No te alegro?!) Las ideas detrás de una prueba estrictamente geométrica requieren mucha geometría euclidiana, algunas de las cuales has visto pero gran parte de la cual no la has visto. Por ejemplo, las medidas de ángulos en este modelo son bastante obvias. Al igual que en el cálculo, son solo los ángulos entre sus tangentes en los puntos de intersección. La distancia es nueva.

La distancia Poincaré entre dos puntos (longitud de su segmento Poincaré) es el valor absoluto del logaritmo natural de la relación cruzada (euclidiana) de los dos puntos y los dos puntos que determina el círculo euclidiano de su línea. dp(A,B)=|ln(A,B;P,Q)|

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El valor absoluto y los logaritmos naturales son familiares. Para cualquier puntoA,B,C, yD, dondeA=B sea posible pero todos los demás son distintos), la relación cruzada deA,B,C, y D (en este orden) es:

(A,B;C,D)=AC/CBAD/DB=(AC)(DB)(AD)(CB)

Nota

En algunas aplicaciones, estas medidas de segmentos de línea euclidianos son medidas firmadas.

Pero ¿qué sonP yQ? Estos son fáciles asumiendo que cree que Axioma 1 es cierto en el modelo de disco de Poincaré para geometría hiperbólica; es decir, dos puntos determinan una línea. Suponiendo que como hecho (es decir, que dos puntos y la ortogonalidad con el círculo definitorio determinan un círculo o diámetro euclidiano único (ambos representados aquí), estos son los dos puntos de intersección de ese círculo o línea con el círculo definitorio. ¡Podrías objetar, aseverando que esos puntos no son interiores! Estarías en lo cierto ya que te estabas equivocando. Son perfectamente buenos puntos euclidianos y todo en la definición y en las pruebas están en geometría euclidiana; de hecho, esa es la idea. El modelo Poincaré para geometría hiperbólica está construido completamente dentro de la geometría euclidiana con líneas y círculos euclidianos y tenemos todo el plano euclidiano en el que trabajar. Si se están utilizando medidas firmadas, asigne una dirección positiva en cada línea y, para puntosA yB en una línea, siAB (la medida del segmento de líneaAB) es positiva, entonces BA tiene el mismo valor absoluto pero es negativo.

Antes de estudiar más cuidadosamente el modelo de disco de Poincaré, desarrollaremos algunas ideas más únicas de la geometría hiperbólica. Eso no es del todo cierto. Los siguientes tres teoremas son ciertos en la geometría euclidiana; es solo que no son interesantes en ese caso ya que ese ángulo en cuestión siempre es solo un ángulo recto. Acostumbrarse a que no sea necesariamente un ángulo recto puede ser un desafío para algunos estudiantes.

Teorema

Los ángulos izquierdo y derecho de paralelismo (ángulo crítico) ángulo crítico en un punto definitorio P a una línea definitorial son los mismos por lo que, en adelante, "el ángulo de paralelismo”; es decir, no calificado en cuanto a izquierda o derecha.

Captura de pantalla 2022-06-25 a las 12.49.11 PM.pngCaptura de pantalla 2022-06-25 a las 12.49.20 PM.png

Prueba: Deje quen= PB sea el paralelo a la línea determinado por el ángulo crítico izquierdo de tamañoβ con la perpendicular enP,PF, y deje que elm= PA sea determinado por el ángulo crítico derecho de tamaño αcon el mismo PF perpendicular. CopiaFPBP en el otro lado como se indica para establecerFPB y alinearn. Esa línea debe ser paralela por ASA para Triángulos Largos y por lo tantoαβ ya que esα un límite inferior para todos los paralelos a la derecha enP. No obstante, no había nada de especial en comenzar con la copiaFPB. CopiarFPA en el otro lado implica esoβα. Es decir, ambosαβ yβα así tenemos igualdad. QED.

Más sorprendente, quizás, es que esta propiedad no depende del punto P. Eso puede resultar confuso sino que simplemente significa que el límite paralelo en otros puntos a lo largo de la misma línea es exactamente la misma línea:

Teorema3.1.1

Un límite (límite) paralelom es un límite paralelo a la línea al en cada uno de sus puntos, no solo su punto definitorio P. [Nota: Esto implica que no debe llevarα como parte de su nombre.]

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Prueba: Caso 1: Qm en el lado agudo de P. En este caso, deje caer la perpendicular alE, digamos, y considere cualquier rayo desdeQ el interior del ángulo determinado con el límite paralelo, digamos ε>0. ASea cualquier punto sobre este rayo y considere ray PA. Este rayo debe cruzarsel. ¿Por qué? Por lo tanto así debe ray QA. ¿Por qué? Este nuevo ángulo de paralelismo enQ es estrictamente mayor que el deP. ¿Por qué? [PS 3, #13.]

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Caso 2: Q sobrem= PA en el lado obtuso de P. Suelta la perpendicular para obtenerE, y nuevamente considerar cualquier rayo desdeQ el interior deEQP, digamos rayoQB, y el ángulo que determina con el límite paralelo, m(PQB)=ε>0. Copia ese ángulo como ángulo correspondienteP formando un ángulo con rayo PF de tamañoαε<α, el ángulo de paralelismo, por lo que este rayo debe intersectar la línea originall para que el rayoQB paralelo también la cruce. Dado que el rayoQB fue arbitrario, el ángulo con la perpendicular es el ángulo de paralelismo enQ. Consistente con el Caso 1, este nuevo ángulo de paralelismoQ es menor queFPA. QED.

Teorema

Un límite (límite) paralelo está limitado por la distancia desde la distancia desde el punto definitorio hasta la línea definitoria.

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Nota

Obviamente, sólo estamos mirando al lado del ángulo agudo con la perpendicular. A lo largo, deja ser la línea, dejaP ser el punto no encendido, dejaF ser el pie de la perpendicular deP a, y dejam ser cualquier línea en Pque forma un ángulo agudo con la perpendicular, paralela o no. Primero tenga en cuenta que (para cierta distancia) la distancia a desde un puntom es estrictamente menor que la distancia deP a. Para ver esto, dejaQ ser el pie de la perpendicular deF atrás a la otra líneam y luego dejar queG sea el pie de la perpendicular de nuevo al. Considerando los triángulos rectos determinados y sus hipotenusas, claramenteQG<QF<PF. Podemos repetir esto ad infinitum pero eso no quiere decir que todos los segmentos sean siempre más cortos; por ejemplo, considere cualquier cuadrilátero Saccheri y la línea de puntos medios de su base y cumbre.

Prueba: Asumiendo solamente que talm en P no está acotada, mostramos que nom es un límite paralelo a; es decir, el contrapositivo. Suponiendo que esto nom esté acotado equivale a asumir un punto sobre él, digamos R, tal que la distancia al sea mayor que la distancia aP. Es decir, siE es el pie de la perpendicular, entoncesRE>PF. Por el Postulado Gobernante, hay un puntoS a lo largo del rayo ER tal queESFP. Pero entonces PFES es un cuadrilátero Saccheri con PS de cumbre; es decir, una línea paralela en P que hace un ángulo menorFPR que para que ese ángulo no fuera un límite inferior para todos los ángulos con la perpendicular en P que determinan líneas paralelas. Es decir, nom es un límite paralelo a. QED.

Teorema (Converse)

Si dos líneas paralelas están delimitadas (en una dirección), entonces son paralelos de límite entre sí.

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Prueba: Si dos líneas se cruzan, sabemos que divergen en ambos sentidos. Supongamos ym están delimitados en la dirección indicada en la figura,P es un punto sobrem, yF es el pie de la perpendicular deP al. Por último, dejan ser cualquier línea sobre la\mathrm{P} que forme un ángulo con la perpendicular dentro del ángulo formado porm. Basta con mostrar que sen cruzal. Desdem y sen cruzan en\mathrm{P}, divergen por lo que la amplitud dem al obliga al resultado deseado. QED.

Teorema\PageIndex{1}

Suponiendo que un límite paralelo se define como un límite paralelo a sí mismo, el paralelismo límite es una relación de equivalencia (en la misma dirección de la delimitación, por supuesto).

Prueba:

Reflexivity: Verdadera por definición.

Simetría: Ya sabemos que un límite (límite) paralelom se limita a la línea definitoria\ell independiente del punto que la determinó y que los paralelos que no están acotados (en la dirección aguda) comparten una perpendicular común por lo que divergen en ambas direcciones. Basta con saber que la línea definitoria\ell está delimitada a ese límite (límite) paralelom. Supongamos que no fuera así. Entonces quedaría sin límites en esa dirección y, como antes, determinaría un cuadrilátero saccheri con cumbre y base que divergiría en ambos sentidos; una contradicción.

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Transitividad: Supongamos quem es un límite paralelo a\ell yn es un límite paralelo a\ell. En casom on es entrel y el otro, ese paralelo se “aprieta” entre dos que están acotados entre sí por lo que el único caso de interés es cuando\ell está entrem y n. En la figura, supongamos que ese es el caso conP \in m. DejarF ser el pie de la perpendicular al y dejarQ ser la intersección de la línea PF conn. Que PF se cruzan en absoluto no es tan obvio como podría buscar una muy buena razón; ¡no tiene por qué ser verdad! Eso es lo queR G está haciendo el segmento de línea en la figura; parece irrelevante. Si el rayo\mathrm{RG} no logra cruzarsen, elija cualquier punto\mathrm{Q} \in n,\mathrm{F} repita, y elija entre\mathrm{G} y\mathrm{F} dependiendo de cuál esté más adelante en la dirección de la amplitud, como Festá en la figura. Entonces el rayo QF debe cruzarsem, digamosP, debido a la delimitación al. Dejando caer la perpendicular deQ am, tenemos un triángulo rectángulo\triangle \mathrm{QEP} con\mathrm{PQ} la hipotenusa así\mathrm{QE}<\mathrm{PF}+\mathrm{FQ}. Este argumento se puede aplicar a cualquier punto a la derecha de porQ lo quen está limitado haciam por segmento de líneaP Q. De ahí que, por lo anterior, se limiten entre sí.

Teorema

Los paralelos fronterizos son asintóticos.

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Prueba: Dejarm_{u} * ser un límite (límite) paralelo a la línea\ell.

Demostramos que finalmentem * está limitado (en la dirección del ángulo agudo) por cualquier distancia\varepsilon>0. Dejar\varepsilon>0 ser arbitrario y dejar\mathrm{P} ser un punto dem * y\mathrm{F} es el pie de la perpendicular. DejarQ ser un punto juntoF P con rayom(F Q)=F Q=\varepsilon. Por el resultado de la amplitud, no hay nada que probar si es\varepsilon \geq \mathrm{FP} así asumir que\varepsilon<F P; es decir,\mathrm{Q} está entre\mathrm{F} y\mathrm{P} como se muestra y dejar quen * sea el límite paralelo a l\mathrm{Q}en sentido contrario. Es decir, si el ángulo agudo aP es hacia la derecha, entonces el ángulo agudo aQ es hacia la izquierda. Dado quem * está delimitada hacia la línea\ell y non * está delimitada en esa dirección, deben cruzarse; digamos en R. Luego duplicar el segmento aQ R lo largo del rayoP R para obtenerS; i.e., R S \cong R Q. Reclamación:m * está delimitada por\varepsilon a la derecha de S. Para probar esto, dejeE ser el pie de la perpendicular sobre\mathrm{S} y probar que de\mathrm{ES} \cong \mathrm{FQ} manera quem * quede acotada a la derecha de SE por \varepsilon. ¿El enfoque? GDejen estar el pie de la perpendicularR y probarlo\triangle \mathrm{QFG} \cong \triangle \mathrm{SEG}. [No es difícil pero es un poco complicado. Por qué es\triangle \mathrm{QRG} \cong \triangle \mathrm{SRG} ?] QED.

En resumen, dos líneas son paralelismos límite si y sólo si no comparten una perpendicular común si y sólo si están delimitadas entre sí si y sólo si son asintóticas entre sí. Para ver estos teoremas en acción, mira hacia atrás a la figura asociada a la presentación del modelo de disco de Poincaré para geometría hiperbólica, a menudo simplemente el modelo de Poincaré aunque dio otro modelo para geometría hiperbólica. [Ese modelo usa un medio plano abierto en lugar de un disco para el conjunto de puntos. La mitad superior (abierta) delx y plano es el conjunto de puntos, las líneas son rayos verticales (abiertos) y semicírculos (abiertos) ortogonales al eje X, y los círculos son círculos euclidianos que se encuentran completamente en el conjunto de puntos. Para su propia diversión, identifique paralelos que no sean paralelos de límites, paralelos de límites y ángulos de paralelismo izquierdo y derecho.]

Teorema

Existen triángulos que no se pueden circunscribir.

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Prueba: Es decir, producir uno. Mostramos una manera de producir ejemplos:

Comenzando con cualquier línea\ell y punto A no encendidol, dejam * ser el límite paralelo enA al, dejarM ser el pie de la perpendicular deA a l, y dejarB ser el punto a lo largo del rayo AM con\mathrm{MB} \cong \mathrm{MA}. Ahora copie el ángulo crítico en el\mathrm{A} lado opuesto dem^{*} y tomeC a lo largo del rayo determinado conA C A B. Entonces\Delta \mathrm{ABC} es un triángulo que no se puede circunscribir. ¿Por qué? [Ver\mathrm{PS} 3, \# 16 .]

En lugar de probar resultados más profundos de la geometría hiperbólica, los dos últimos capítulos estudiarán la geometría obtenida asumiendo el postulado paralelo más familiar en lugar del hiperbólico. Es decir, estudiaremos la geometría euclidiana con el objetivo principal de delinear una prueba de que el modelo de disco de Poincaré es realmente un modelo de geometría hiperbólica construido completamente dentro de la geometría euclidiana. Por implicación, si la geometría hiperbólica tuviera alguna inconsistencia inherente, podrían ser transportadas para exhibir inconsistencias dentro de la geometría euclidiana. En la lengua vernácula, la geometría hiperbólica es relativamente consistente con la geometría euclidiana. Es decir, si tiramos la geometría hiperbólica, tendríamos que rechazar también la geometría euclidiana. La mayoría de nosotros no queremos hacer eso.


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