Prefacio

La geometría con una introducción a la topología cósmica se acerca a la geometría a través del lente de preguntas que han encendido la imaginación de los observadores de estrellas desde la antigüedad. ¿Cuál es la forma del universo? ¿Tiene ventaja el universo? ¿Es infinitamente grande?

Este texto desarrolla geometría y geometría no euclidiana en superficies a un nivel apropiado para estudiantes de pregrado que hayan cursado un curso de cálculo multivariable y estén listos para un curso en el que practicar los hábitos de pensamiento necesarios en cursos avanzados del plan de estudios de matemáticas de pregrado. El texto también es adecuado para el estudio independiente, con ensayos y discusiones a lo largo de todo.

Matemáticos y cosmólogos han dedicado considerables esfuerzos a investigar la forma del universo, y este campo de investigación se llama topología cósmica. La geometría juega un papel fundamental en esta investigación. Bajo supuestos básicos sobre la naturaleza del espacio, existe una relación simple entre la geometría del universo y su forma, y solo hay tres posibilidades para el tipo de geometría: geometría hiperbólica, geometría elíptica y geometría euclidiana. Estas son las geometrías que estudiamos en este texto.

Los capítulos 2 a 7 contienen el contenido matemático básico. El texto sigue el Programa Erlangen, que desarrolla la geometría en términos de un espacio y un conjunto de transformaciones de ese espacio. El capítulo 2 se centra en el plano complejo, el espacio sobre el que construimos la geometría bidimensional. El capítulo 3 detalla las transformaciones del plano, incluidas las transformaciones de Möbius. Este capítulo marca el corazón del texto, y las inversiones de la Sección 3.2 marcan el corazón del capítulo. Todas las transformaciones no euclidianas en el texto se construyen a partir de inversiones. Formalmente definimos la geometría en el Capítulo 4, y perseguimos la geometría hiperbólica y elíptica en los Capítulos 5 y 6, respectivamente. El Capítulo 7 comienza extendiendo estas geometrías a diferentes escalas de curvatura. La Sección 7.4 presenta una familia unificada de geometrías en todas las escalas de curvatura, enfatizando los resultados clave comunes a todas ellas. La Sección 7.5 proporciona un desarrollo informal de la topología de superficies, y la Sección 7.6 relaciona la topología de superficies con la geometría, culminando con la fórmula Gauss-Bonnet. La Sección 7.7 discute los espacios cocientes y presenta una importante herramienta de topología cósmica, el dominio Dirichlet.

Dos ensayos más largos contienen el contenido principal. El capítulo 1 introduce la perspectiva geométrica tomada en este texto. En mi experiencia, es muy útil pasar tiempo discutiendo este contenido en clase. Las actividades de Coneland y Saddleland (Ejemplo 1.3.2 y Ejemplo 1.3.3) han demostrado ser particularmente útiles para motivar el contenido del texto. En el Capítulo 8, después de haber desarrollado la geometría bidimensional no euclidiana y la topología de superficies, observamos de manera significativa el estado actual de la investigación en topología cósmica. La sección 8.1 ofrece un breve estudio de la geometría tridimensional y los 3 colectores, que proporcionan posibles formas del universo. Las secciones 8.2 y 8.3 presentan dos programas de investigación en topología cósmica: cristalografía cósmica y círculos en el cielo. Las mediciones tomadas y analizadas en los últimos veinte años han alterado enormemente la forma en que muchos cosmólogos ven el universo, y el texto termina con una discusión sobre nuestra comprensión actual del estado del universo.

Las construcciones de brújula y regla juegan un papel visible en el texto, principalmente porque las inversiones se enfatizan como los bloques básicos de las transformaciones. Las construcciones se utilizan en algunas pruebas (como el Teorema Fundamental de las Transformaciones de Möbius) y como guía de definiciones (como el diferencial de longitud de arco en el plano hiperbólico). Animamos a los lectores a practicar construcciones a medida que leen, ya sea con brújula y regla en papel, o con software como el Bloc de bocetos de The Geometer o Geogebra. Algunas plantillas de Bloc de dibujo de Geometer y actividades relacionadas con el texto se pueden encontrar en el sitio web del texto.