3.1: Postulados paralelos equivalentes
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Cada uno de los siguientes es un postulado euclidiano equivalente.
Postulados Euclideanos Equivalentes:
- (Playfair) Dada una línea y un punto que no está en esa línea, existe exactamente una línea a través de ese punto paralela a la línea dada.
- (Equidistancia) Las líneas paralelas están en todas partes equidistantes.
- (Euclides) Dadas dos líneas y una transversal de esas líneas, si la suma de los ángulos en un lado de la transversal es menor que dos ángulos rectos entonces las líneas se encuentran en ese lado.
3.1.1 Preparación
Estos teoremas no requieren de un postulado paralelo.
Si los ángulos interiores alternos formados por una transversal de dos líneas son iguales, entonces las líneas son paralelas.
La distancia (más corta) entre un punto y una línea es del punto al pie de la perpendicular.
Dadas dos líneas y una transversal de esas líneas, si la suma de los ángulos en un lado de la transversal es igual a dos ángulos rectos entonces las líneas son paralelas.
3.1.2 Equivalencia
El siguiente teorema produce una versión más fácil de usar del postulado de Euclides.
Postulado de Euclides y Teorema son equivalentes a los siguientes. “La suma de los ángulos en un lado de una transversal de dos líneas es igual a la suma de dos ángulos rectos si y sólo si las líneas son paralelas”.
El postulado de Euclides implica el axioma de Playfair.
El axioma de Playfair implica el teorema de converse de ángulo interior alterno.
El teorema de ángulo interior alterno establece Dadas las líneas paralelas y una transversal de esas líneas, los ángulos interiores alternos formados por la transversal son congruentes.”
Playfair y el teorema de converse de ángulo interior alterno implican la equidistancia de líneas paralelas.
La equidistancia de líneas paralelas implica el postulado de Euclides.
Demostrar que los tres postulados son todos equivalentes.