3.2: Similitud

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 117325

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

3.2.1 Teoremas de Preparación

Para la línea de construcción de D ABC l tal que l | | AC y B está en l. ¿Cuál es la relación entre los tres ángulos en (más pequeños que un ángulo recto) y los ángulos del triángulo?

Teorema: Suma de Ángulo Triángulo

La suma de ángulos de los ángulos interiores de un triángulo es π.

Corolario: Ángulo Exterior Euclidiana

La medida de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores opuestos.

Definición: Paralelogramo

Un cuadrilátero es un paralelogramo si y solo si ambos pares opuestos de lados son paralelos.

Teorema

Los lados opuestos de un paralelogramo son congruentes.

Teorema

Si una transversal cruza tres líneas paralelas de tal manera que se divide en segmentos congruentes, entonces cualquier transversal de estas líneas paralelas también se divide en segmentos congruentes.

3.2.2 Explorar teoremas de similitud

Definición: Altitude

Un segmento de línea es una altitud si conecta un vértice de un triángulo al pie de la perpendicular en el lado opuesto.

Construye un triángulo y suficientes líneas paralelas para dividir un lado del triángulo en cuatro partes iguales. ¿En cuántas partes dividen estas líneas los otros lados?

Definición: Área del triángulo

El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de un lado por la longitud de la altitud desde el vértice opuesto a ese lado.

Constructo D ABC. m> Constructo DE tal manera que B-D-A, B-E-C y DE | | AC.

Constructo AE y EF tal que F es el pie de la perpendicular de E. Reducir la relación de las áreas de D DEB y D AED.
Construir DC y DG tal que G es el pie de la perpendicular de D. Reducir la relación de las áreas de D D DEB y D CDE.
Demostrar que el área de D AED es igual al área de D CDE.

3.2.3 Teoremas de similitud

Definición: Triángulos similares

Dos triángulos son similares si y sólo si los ángulos correspondientes son congruentes y la relación de lados correspondientes es constante.

Definición

Una línea paralela a un lado de un triángulo e intersecando los otros dos lados divide esos lados proporcionalmente.

Definición

Si una línea paralela a un lado de un triángulo divide los otros lados proporcionalmente entonces los dos triángulos (grande y parte) son similares.

Teorema: Similaridad de ángulo-ángulo-ángulo (AAA)

Dos triángulos son similares si y sólo si tienen tres ángulos congruentes.

3.2.4 Ampliar similitud

Construir una definición para cuadriláteros similares. Construye ejemplos para mostrar que tu definición funciona.

Explique por qué la similitud no se define simplemente como “todos los ángulos son congruentes”.