3.3: Concurrente

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Definición: Mediana

Una línea es una mediana si y solo si conecta un vértice de un triángulo con el punto medio del lado opuesto.

3.3.1 Explorar

Geogebra será útil para realizar estos experimentos. Sea lo más detallado que pueda con sus conjeturas.

Utilice el ejemplo de Geogebra\(\PageIndex{1}\) para experimentar con la relación de los tres bisectores perpendiculares de un triángulo. Mueve los vértices del triángulo alrededor. ¿Qué sigue siendo cierto sobre los bisectrices perpendiculares?

3.1.jpg — Figura\(\PageIndex{1}\): GeoGebra: Bisectores perpendiculares

Utilice el ejemplo de Geogebra\(\PageIndex{2}\) para experimentar con la relación de las tres medianas de un triángulo. Mueve los vértices del triángulo alrededor. ¿Qué es lo que sigue siendo cierto de las medianas?

3.3.2.png — Figura\(\PageIndex{2}\): GeoGebra: Medianas

Utilice el ejemplo de Geogebra\(\PageIndex{3}\) para experimentar con la relación de los tres bisectores angulares de un triángulo. Mueve los vértices del triángulo alrededor. ¿Qué es lo que sigue siendo cierto sobre los bisectores angulares?

3.3.jpg — Figura\(\PageIndex{3}\): GeoGebra: Bisectores de ángulo

Utilice el ejemplo de Geogebra\(\PageIndex{4}\) para experimentar con la relación de las tres altitudes de un triángulo. Mueve los vértices del triángulo alrededor. ¿Qué es lo que sigue siendo cierto sobre las altitudes?

3.3.4.png — Figura\(\PageIndex{4}\): GeoGebra: Altitudes

Constructo ∆ABC. Construye D XYZ tal que X-B-Y, Y-C-Z, Z-A-X y XY ll AC, YZ ll AB, ZX ll BC. Construye los bisectores perpendiculares de D XYZ. Lo que parece ser cierto de estos con respecto a ∆ABC.

3.3.2 Demostrar

Lema

Considerar tres puntos A, B, C con l ₁ y l ₂ los bisectores perpendiculares de AB y BC respectivamente. Dejar M ₂ = l ₂ BC. Mostrar l ₁ ll l ₂ implica la existencia de D = l ₂ AB tal que A, B y D son colineales y BDM ₂ es un ángulo recto.

Teorema: Bisectores perpendiculares

Demostrar la conjetura sobre los bisectores perpendiculares.

Teorema: Circuncentro

Tres puntos determinan un círculo de manera única.

Lema

Dos medianas se cruzan en un punto 2/3 del camino por ambas medianas.

Teorema: Medianas

Demostrar la conjetura sobre las medianas.

Teorema

Un punto está en el ángulo bisectriz de un ángulo si y solo si es equidistante de ambos lados del ángulo.

Teorema: Bisectores angulares

Demostrar la conjetura sobre los bisectores angulares.

Teorema：Incenter

Por cada triángulo existe un círculo en su interior y tangente a los tres lados.

Teorema：Altitudes

Demostrar la conjetura sobre las altitudes.