4.1: Transformación

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4.1.1 Transformaciones Planares

Definición: Transformación

Una función es una transformación si y sólo si es uno a uno y sobre.

Definición: Transformación planar

Una transformación es una transformación plana si y solo si es de ² a ².

Para este curso todas las transformaciones serán transformaciones del plano euclidiano.

Describir el efecto de cada una de las siguientes transformaciones considerando los efectos sobre la región (área) con los siguientes vértices. (0,0), (2,0), (3,5), (0,4). Pista: mapee los vértices, luego mapee las líneas que conectan los vértices.

T ₁: (x, y) → (y, x).
T ₂: (x, y) → (x/2, y/2).
T ₃: (x, y) → (1-x ³, 1-y ³)
T ₄: (x, y) → ((x ² +y ²) ^1/2 x, (x ² +y ²) ^1/2 y).

4.1.2 Iometría

Definición: Isometría

Una transformación es una isometría si y sólo si ll P - Q ll = ll T (P) - T (Q) ll.

Determinar cuáles de las siguientes transformaciones son isometrías.

T ₁: (x, y) → (2x, 2y)
T ₁: (x, y) → (-y, -x)
T ₁: (x, y) →\(\begin{bmatrix} cosθ & sinθ \\ -sinθ & cosθ \end{bmatrix}\)\(\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}\)

Lema

La composición de dos isometrías es una isometría.

Teorema: Las isometrías preservan la colinealidad

Para cualquier isometría T si A, B y C son colineales, entonces T (A), T (B) y T (C) son colineales.

Corolario: Las isometrías preservan el entretiempo

Para cualquier isometría T si A-B-C entonces T (A) -T (B) -T (C).

Teorema: Isometrías preservan triángulos

Para cualquier isometría T y cualquiera de tres puntos D ABC ∆T (A) T (B) T (C).

Teorema: Las isometrías preservan los ángulos

Para cualquier isometría T mABC = mt (A) T (B) T (C) y cualquiera de tres puntos.

Teorema: Las isometrías preservan el paralelismo

Para cualquier isometría si T l ₁ ll l ₂ y sólo si T (l ₁) ll T (l ₂).

Teorema: Las isometrías preservan círculos

Para cualquier isometría, los círculos T se mapean a círculos congruentes.

4.1.3 Dilataciones

Definición: Dilatación

Una transformación es una dilatación si y sólo si se puede definir por un punto Z y una relación k tal que T (P) =Q donde Z-P-Q y LLZQLL/llzPLL=K.

Definición: Similaridad

Una transformación es una similitud si y sólo si se puede expresar como una composición de una isometría y una dilatación.

Lema: La similitud escala los segmentos de manera uniforme

Para cualquier similitud T, LLt (A) T (B) LL/LABLL=K.

Teorema: La similitud preserva la colinealidad

Para cualquier similitud T si A, B y C son colineales, entonces T (A), T (B) y T (C) son colineales.

Corolario: La similitud preserva el entretiempo

Para cualquier similitud T si entonces A-B-C entonces T (A) -T (B) -T (C).

Teorema: La similitud preserva la similitud del triángulo

Para cualquier similitud T y cualquiera de tres puntos D ABCT (A) T (B) T (C).

Teorema: La similitud preserva los ángulos

T Para cualquier similitud y cualquiera de tres puntos MABCmT (A) T (B) T (C).

Teorema: La similitud preserva el paralelismo

Para cualquier similitud T l ₁ ll l ₂ si y solo si T (l ₁) ll T (l ₂).

Teorema

Para cualquier similitud, los círculos T se mapean a círculos.

Lema: Las similitudes están cerradas

La composición de dos similitudes es una similitud.