4.2: Geometría Transformacional Analítica
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El objetivo es desarrollar fórmulas matriciales para isometrías arbitrarias utilizando las fórmulas básicas de isometría que se dan a continuación como bloques de construcción.
Se escribe un punto con coordenadas normales (x, y) en coordenadas homogéneas (x, y, 1).
| Traducir | T (x, y, 1) =\(\begin{bmatrix}1 & 0&a \\ 0 & 1&b \\0&0&1 \end{bmatrix}\)\(\begin{bmatrix}x\\ y \\1 \end{bmatrix}\) |
| Reflejar sobre el eje y | M y (x, y, 1) =\(\begin{bmatrix}-1 & 0&0 \\ 0 & 1&0 \\0&0&1 \end{bmatrix}\) (\ begin {bmatrix} x\\ y\\ 1\ end {bmatrix}\) |
| Reflejar sobre el eje x | M x (x, y, 1) =\(\begin{bmatrix}1 & 0&0 \\ 0 & -1&0 \\0&0&1 \end{bmatrix}\) (\ begin {bmatrix} x\\ y\\ 1\ end {bmatrix}\) |
| Rotar en sentido antihorario sobre el origen | R φ (x, y, 1) =\(\begin{bmatrix}cosφ & -sinφ &0 \\ sinφ & cosφ &0 \\0&0&1 \end{bmatrix}\) (\ begin {bmatrix} x\\ y\\ 1\ end {bmatrix}\) |
Objetivo: desarrollar una rotación alrededor de un punto [x 0, y 0] T usando los siguientes pasos.
- Encuentra una transformación que mueva [x 0, y 0] T al origen.
- Encuentra una transformación que mueve [x 0, y 0] T al origen y luego gira por φ.
- Encuentra una transformación que mueve [x 0, y 0] T al origen, rota por φ, luego devuelve el origen a [x 0, y 0] T.
- Estado, usando notación matricial, una transformación que gira el plano alrededor de un punto [x 0, y 0] T por φ.
Objetivo: desarrollar una reflexión sobre una línea vertical dada por x=a usando los siguientes pasos.
- Encuentra una transformación que mueva la línea x=a al eje y.
- Encuentre una transformación que mueva la línea x=a al eje y, luego, refleje el plano sobre el eje y.
- Encuentre una transformación que mueva la línea x=a al eje y, refleje el plano sobre el eje y, luego devuelva el eje y a la línea x=a.
- Estado, usando notación matricial, una transformación que refleja sobre una línea vertical arbitraria x=a.
Objetivo: desarrollar una reflexión sobre una línea horizontal dada por y=b usando los siguientes pasos.
- Encuentra una transformación que mueva la línea y=b al eje -eje.
- Encuentre una transformación que mueva la línea y=b al eje x, luego refleje el plano sobre el eje x.
- Encuentre una transformación que mueva la línea y=b al eje x, refleje el plano sobre el eje x, luego devuelva el eje x a la línea y=b.
- Estado, usando notación matricial, una transformación que refleja sobre una línea horizontal arbitraria y=b.
Desarrollar una reflexión sobre una línea arbitraria (no vertical).