4.4: Simetrías

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4.4.1 Explorar simetrías

Definición: Simetría

Un conjunto de puntos A tiene simetría de tipo T para alguna transformación T si y solo si T (A) = A.

Confirmar T (x, y) = (-y, x) es una simetría del conjunto {(1, 1), (-1, 1), (-1, -1), (1, -1)}.

Demostrar T (x, y) = (-y, x) no es una simetría del conjunto {(0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1)}.

¿Qué puntos tienes que añadir a {(1, 1), (-1, 1), (-1, -1), (1, -1), (1, 0)} así que T (x, y) = (-y, x) es una simetría de este conjunto?

Enumere todas las simetrías de un cuadrado etiquetando los vértices y dando el tipo y los parámetros para las transformaciones.

Enumere todas las simetrías de un polígono regular de n lados (n-gon) etiquetando los vértices y dando el tipo y los parámetros para las transformaciones.

Para uno de los n-gones regulares verifique lo siguiente.

¿Cuál es la composición de dos simetrías rotacionales?
¿Cuál es la composición de dos simetrías de reflexión?
¿Cuál es el menor número de simetrías que puedes usar para generar todas las simetrías?

Dibuja un poco de n-gon regular. Color en el n-gon para que la figura coloreada mantenga las simetrías rotacionales, pero no las simetrías refleccionales.

Dibuja un poco de n-gon regular. Color en el n-gon para que la figura coloreada mantenga las simetrías refleccionales, pero no las simetrías rotacionales.

Dibuja una figura que tenga simetría traslacional.

Dibuja una figura que tenga simetría traslacional y exactamente una simetría refleccional.

Dibuja una figura que tenga simetría traslacional y simetría rotacional.

Dibuja una figura que tenga simetría dilatacional.

4.4.2 Explorar Teselaciones

Definición: Teselación

Una cubierta del plano es una teselación si y sólo si consiste en una sola forma reproducida infinitamente usando un conjunto finito de transformaciones.

Definición: Tiling

Una cubierta del plano es un ordenamiento en teselas si y solo si consiste en un conjunto finito de formas reproducidas infinitamente usando un conjunto finito de transformaciones.

Analizar la teselación de la siguiente manera.

Identificar la forma generadora.
Identificar el conjunto más pequeño de transformaciones que pueden generar la teselación.
Listar todas las simetrías de la teselación.
Identificar el conjunto más pequeño de simetrías de la teselación que puede generar todas las simetrías de la teselación.

Definición: Conway Label

El siguiente etiquetado de teselaciones deriva del libro Las simetrías de las cosas de John Conway, Heidi Burgiel y Chaim Goodman-Strauss. Siga estos pasos para identificar y etiquetar el tipo de grupo de simetría de una teselación. La notación resultante se llama firma

Identificar todas las líneas de reflexión.
Si dos o más líneas de reflexión se cruzan en un punto, escriba *n ₁ n ₂... donde n ₁, n ₂ son el número de líneas que se cruzan en cada punto único de intersección.
Si alguna línea de reflexión no se interseca con otras líneas de reflexión, simplemente escriba una * para cada una de estas.
Identificar cualquier rotación que no sea la composición de reflexiones ya listadas.
Escribe n ₁ n ₂... delante de cualquier * para cada rotación donde n ₁, n ₂ son el orden de las rotaciones.
Identificar cualquier reflexión de deslizamiento que no sea la composición de reflexiones o rotaciones ya listadas.
Escribe × al final de la firma para cada una de estas reflexiones de deslizamiento.
Identificar cualquier traducción que no sea la composición de otras simetrías ya listadas.
Escribe ○ al frente de la firma para cada par de estas traducciones.