6.1: Axiomas para Geometría Proyectiva
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6.1.1 Ilustración motivadora
Considera la siguiente ilustración como motivación de esta geometría. Considera pararte en medio de Kansas mirando hacia abajo por una carretera perfectamente recta que se extiende hasta el horizonte.
- Presumiendo una construcción perfecta, los dos lados de la carretera son líneas con qué propiedad geométrica?
- Al mirar hacia el horizonte, ¿qué parecen hacer los lados de la carretera?
- Dos líneas siempre se cruzan en una ¿qué?
- Considera todas las marcas de línea de carril (hay más de dos). Todas estas líneas son lo que se comparan entre sí y parecen hacer ¿qué?
- Si se encuentra en una intersección de dos caminos (no en la misma dirección), ¿convergerán todas las marcas de carril?
- ¿Cuántas ubicaciones convergentes diferentes hay?
Un punto es un punto ideal si y sólo si es la intersección de líneas paralelas. A estos a veces se les llama “puntos al infinito”.
Una línea es la línea ideal si y sólo si consiste en puntos únicamente ideales.
6.1.2 Axiomas para Geometría Proyectiva
- Una línea se encuentra en al menos dos puntos.
- Dos puntos distintos tienen exactamente una línea en común.
- Dos líneas distintas tienen al menos un punto en común.
- Hay un conjunto de cuatro puntos distintos, no tres de los cuales son colineales.
- Todos menos un punto de cada línea se pueden poner en correspondencia uno a uno con los números reales.
Los primeros cuatro axiomas anteriores son la definición de una geometría proyectiva finita. El quinto axioma se agrega para geometrías proyectivas infinitas y no puede usarse para pruebas de geometrías proyectivas finitas.
Una línea se encuentra en al menos tres puntos.
Cualquiera de dos líneas distintas tienen exactamente un punto en común.
Para dos líneas distintas, existe un punto que no está en ninguna de las dos líneas.
Existe una correspondencia uno a uno entre los puntos de dos líneas cualesquiera.
Cada punto se encuentra en el mismo número de líneas.
Un plano proyectivo en el que cada línea se encuentra exactamente en k+1 puntos tiene un total de k^2+k+1 puntos y k^2+k+1 líneas.
6.1.3 Dualidad
Una declaración es el dual proyectivo de otra declaración si y sólo si una declaración se obtiene de la otra cambiando los roles de “punto” y “línea”.
Cada punto es incidente con al menos tres líneas.
Existen cuatro líneas no tres de las cuales son coincidentes en un punto.
Hay una correspondencia uno a uno entre los números reales y todas menos una de las líneas incidentes con un punto.
También es cierto el dual proyectivo de cada teorema proyectivo.
Cada línea consta del mismo número de puntos.
Existe una correspondencia uno a uno entre las líneas a través de dos puntos cualesquiera.