6.2: Perspectividades

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Revisar la motivación para la geometría proyectiva y responder a lo siguiente.

Si ve un árbol desde 10 metros de distancia y 100 metros de distancia (viendo desde el mismo lado), ¿cuál es la diferencia en los objetos?
A medida que continúas alejándote del árbol, ¿hacia qué se acerca el mapeo del árbol?
Busca el término 'punto de fuga' en un libro de arte. Explique su relación con esto.

Definición: Perspectiva

Una transformación es una perspectiva si y sólo si mapea los puntos de una línea a los puntos de otra línea de tal manera que todas las líneas desde puntos hasta sus imágenes inciden en un solo punto.

Dibuja dos líneas distintas. Elija un punto que no esté en ninguna de las líneas. Elige tres puntos en una de las líneas y encuentra los puntos en la segunda línea a la que están mapeados por la perspectiva definida por tu punto elegido.

Investigar la composición de las perspectividades de la siguiente manera.

Dibuja tres líneas distintas l ₁, l ₂, l ₃.
Elija un punto A que no esté en ninguna de las líneas.
Selecciona tres puntos P ₁, Q ₁, R ₁ en l ₁ y mapéalos a P _₂, Q ₂, R _{2 ON l 2} por la perspectiva definida por A.
Elija un punto distinto de todos los demás puntos.
Mapa P ₂, Q ₂, R ₂ a P ₃, Q ₃, R ₃ en l ₃ por la perspectiva definida por B.
Determinar si P ₁, Q ₁, R ₁ están mapeados a P _₃, Q _{3, R 3} por cualquier perspectiva.

Definición: Proyectividad

Una transformación es una Proyectividad si y sólo si se puede escribir como una composición de perspectividades.

Definición: Triángulo

Un conjunto de puntos es un triángulo si y sólo si es de tamaño tres.

Definición: Trilateral

Un conjunto de líneas es un trilateral si y sólo si es de tamaño tres.

Definición: Perspectiva desde un punto

Dos triángulos son perspectiva con respecto a un punto si y sólo si las líneas que conectan pares de vértices correspondientes son incidentes en un punto.

Definición: Perspectiva desde una línea

Dos trilaterales son perspectiva con respecto a una línea si y sólo si los lados correspondientes son incidentes en una línea.

Teorema: Teorema de Desargues

La perspectiva de los triángulos desde un punto son la perspectiva de una línea.

Teorema: Teorema Fundamental de Geometría Proyectiva

Una proyectividad se define de manera única por tres puntos y sus imágenes.