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# 4: Aproximación Lineal de una Función Escalar de Varias Variables

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Recordemos que, bajo ciertas condiciones de derivabilidad, una función real puede aproximarse por una recta cuando se producen cambios pequeños ($$\varepsilon$$) en la variable independiente (aproximación por la recta tangente, figura 5),
$f(x+\varepsilon) \approx f(x) + \varepsilon f'(x)$

## Ejemplo $$\PageIndex{13}$$

La función $$f(x) = x^2$$ puede aproximarse, en puntos cerca de $$x=1$$ por la recta: $f(1+\varepsilon) \approx f(1) +f'(1)\varepsilon = 1+2\varepsilon$

Del mismo modo, para una función $$f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$$ que depende de varias variables, tendremos: $f(x_1+\varepsilon_1,x_2+\varepsilon_2,...,x_n+\varepsilon_n) \approx f(x_1,x_2,...,x_n) + \sum_{i=1}^n \varepsilon_i \dfrac{\partial f}{\partial x_i} (x_1,x_2,...,x_n)$ Esta expresión puede escribirse de forma más compacta usando la definición de gradiente (Definición 4) y llamando $$\boldsymbol{\varepsilon}=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,...,\varepsilon_n)$$, vector fila donde se agrupan los pequeños cambios que se producen en cada una de las variables independientes: $f(\textbf{x}+\boldsymbol{\varepsilon}) \approx f(\textbf{x}) + \boldsymbol{\varepsilon} \nabla f(\textbf{x})$

En este caso, si tenemos $$n=2$$, aproximamos la función cerca de un punto, por su plano tangente.

## Ejemplo $$\PageIndex{14}$$

La función $$f(x,y) = x^2+xy+y^2$$, en un entorno de $$(1,0)$$, tomará valores cercanos a la aproximación de primer orden.
Para calcularla necesitamos $$f(1,0)$$ y $$\nabla f(1,0)$$ que valen
$$\bullet \quad f(1,0)=1$$
$$\bullet \quad \nabla f(1,0) = (2x+y,x+2y)\left|_{x=1,y=0}\right. = (2,1)$$
y se emplean para determinar el plano tangente en el punto $$(1,0,f(1,0))$$, cuya ecuación es $$2x+y=~2$$. El vector normal al plano es $$\nabla f(1,0)$$.

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