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Matemáticas
Las matemáticas de la inteligencia artificial
4: Aproximación Lineal de una Función Escalar de Varias Variables

4: Aproximación Lineal de una Función Escalar de Varias Variables

Última actualización

17 dic 2021
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- 3: Composición de Funciones. Regla de la Cadena
- 5: Optimización y Método del Gradiente Descendiente

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Recordemos que, bajo ciertas condiciones de derivabilidad, una función real puede aproximarse por una recta cuando se producen cambios pequeños ( $\varepsilon$ ) en la variable independiente (aproximación por la recta tangente, figura 5),

$f(x+\varepsilon) \approx f(x) + \varepsilon f'(x)$

Fig. 5 - Aproximación de una función por su recta tangente

Ejemplo $\PageIndex{13}$

La función $f(x) = x^2$ puede aproximarse, en puntos cerca de $x=1$ por la recta:

$f(1+\varepsilon) \approx f(1) +f'(1)\varepsilon = 1+2\varepsilon$

Del mismo modo, para una función $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ que depende de varias variables, tendremos:

$f(x_1+\varepsilon_1,x_2+\varepsilon_2,...,x_n+\varepsilon_n) \approx f(x_1,x_2,...,x_n) + \sum_{i=1}^n \varepsilon_i \dfrac{\partial f}{\partial x_i} (x_1,x_2,...,x_n)$ Esta expresión puede escribirse de forma más compacta usando la definición de gradiente (Definición 4) y llamando

$\boldsymbol{\varepsilon}=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,...,\varepsilon_n)$ , vector fila donde se agrupan los pequeños cambios que se producen en cada una de las variables independientes:

$f(\textbf{x}+\boldsymbol{\varepsilon}) \approx f(\textbf{x}) + \boldsymbol{\varepsilon} \nabla f(\textbf{x})$

En este caso, si tenemos $n=2$ , aproximamos la función cerca de un punto, por su plano tangente.

Ejemplo $\PageIndex{14}$

La función $f(x,y) = x^2+xy+y^2$ , en un entorno de $(1,0)$ , tomará valores cercanos a la aproximación de primer orden.
Para calcularla necesitamos $f(1,0)$ y $\nabla f(1,0)$ que valen
$\bullet \quad f(1,0)=1$
$\bullet \quad \nabla f(1,0) = (2x+y,x+2y)\left|_{x=1,y=0}\right. = (2,1)$
y se emplean para determinar el plano tangente en el punto $(1,0,f(1,0))$ , cuya ecuación es $2x+y=~2$ . El vector normal al plano es $\nabla f(1,0)$ .

Fig. 6 - Aproximación de una función por su plano tangente

Ejemplo 4.13\PageIndex{13}

Ejemplo 4.14\PageIndex{14}

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Ejemplo $\PageIndex{13}$

Ejemplo $\PageIndex{14}$