2.4: Funciones generales exponenciales y logarítmicas

Para una función exponencial general\(y = a^x\), con\(a > 0\), use diferenciación logarítmica para encontrar su derivada:

\[\begin{aligned} \ln\,y ~&=~ \ln\,\left(a^x\right) ~=~ x \,\ln\,a\\ \ddx\,(\ln\,y) ~&=~ \ddx\,(x \,\ln\,a) ~=~ \ln\,a\\ \frac{y'}{y} ~&=~ \ln\,a \quad\Rightarrow\quad y' ~=~ y \cdot \ln\,a\end{aligned}\]Así, la derivada de\(y = a^x\) es: En general, para un exponente de la forma\(u = u(x)\):

Encuentra la derivada de\(y = 2^{\cos x}\).

Solución: Este es el caso donde\(a = 2\), entonces:

\[\dydx = (\ln\,2)\;2^{\cos x} \;\cdot\; \ddx\,(\cos x) ~=~ -(\ln\,2)\;(\sin x)\;2^{\cos x}\]

Tenga en cuenta que cualquier función exponencial se\(y = a^x\) puede expresar en términos de la función exponencial\(e^x\). Desde

\[a^x ~>~ 0 \quad\Rightarrow\quad e^{\ln\,(a^x)} ~=~ a^x ~~,\]y desde\(\ln\,(a^x) = x\,\ln\,a\), entonces: Las computadoras y calculadoras suelen utilizar la fórmula anterior para calcular\(a^x\).

La función\(y = a^x\) tiene una inversa para cualquiera\(a > 0\), excepto para\(a = 1\) (en ese caso\(y = 1^x = 1\) es solo una función constante). Para ver esto, fíjate que ya que\(a^x > 0\) para todos\(x\)\(0 < a < 1\), y\(\ln\,a < 0\) para, mientras\(\ln\,a > 0\) para\(a > 1\), entonces siempre\(\dydx = (\ln\,a)\,a^x\) es negativo si\(0 < a < 1\) y siempre positivo si\(a > 1\). Así,\(y = a^x\) es una función estrictamente decreciente si\(0 < a < 1\), y es una función estrictamente creciente si\(a > 1\). Las gráficas en cada caso se muestran en la Figura [fig:expa].

De ahí que para cualquiera\(a >0\) con\(a \ne 1\) la función\(f(x) = a^x\) sea uno a uno, por lo que tiene una función inversa, llamada \(\bm{a}\)logaritmo base y denotada por\(f^{-1}(x) = \log_a x\). A menudo se habla como “base\(a\) de registro de\(x\)”. Las gráficas para\(a < 1\) y\(a > 1\) se muestran en la Figura [fig:loga]. Tenga en cuenta que el logaritmo natural es solo el\(a\) logaritmo base en el caso especial con\(a = e\), i.e\(\ln\,x = \log_e x\). El\(a\) logaritmo base tiene propiedades similares a las del logaritmo natural (y las propiedades correspondientes de\(a^x\)):

Tenga en cuenta que se\(\log_a x\) puede poner en términos del logaritmo natural, ya que

\[x ~=~ a^{\log_a x} \quad\Rightarrow\quad \ln\,x ~=~ \ln\,\left(a^{\log_a x}\right) ~=~ (\log_a x) \cdot (\ln\,a)\]por lo que dividir la última expresión por\(\ln\,a\) da: La fórmula anterior es útil en calculadoras que no tienen una\(\log_a x\) clave o función. Tomando la derivada de ambos lados rinde: En general, al tomar el logaritmo de una función\(u = u(x)\):

Encuentra la derivada de\(y = \log_2 (\cos\,4x)\).

Solución: Este es el caso donde\(a = 2\), entonces:

\[\dydx = \frac{1}{(\cos\,4x)\,(\ln\,2)} \;\cdot\; \ddx\,(\cos\,4x) ~=~ -\frac{4 \sin\,4x}{(\ln\,2)\,(\cos\,4x)}\]

El número\(a\) es la base tanto de la función logaritmo como\(\log_a x\) de la función exponencial\(a^x\). La base 2 y la base 10 son las bases más utilizadas distintas a la base\(e\). La base 10 es la forma en que normalmente se expresan los números, como combinaciones de potencias de 10 (e.g.\(2014 = \bm{2} \cdot 10^3 \;+\; \bm{0} \cdot 10^2 \;+\; \bm{1} \cdot 10^1 \;+\; \bm{4} \cdot 10^0\)). La base 2 es especialmente útil en informática, ya que las computadoras representan todos los números en formato binario, es decir, como una secuencia de ceros y unos, indicando cuántas potencias sucesivas de dos tomar y luego resumir. ⁸ Por ejemplo, el número 6 se representa en formato binario como 110, ya que\(\bm{1} \cdot 2^2 \;+\; \bm{1} \cdot 2^1 \;+\; \bm{0} \cdot 2^0 ~=~ 4 + 2 + 0 = 6\).

[sec2dot4]

Para Ejercicios 1-9, encuentra la derivada de la función dada.

3

\(y = \dfrac{3^x ~+~ 3^{-x}}{2}\)

\(y = 2^{\ln\,3x}\vphantom{\dfrac{3^x}{2}}\)

\(y = 2^{2^x}\vphantom{\dfrac{3^x}{2}}\)

3

\(y = \tan^{-1} \pi^x\)

\(y = \log_2 \,(x^2 + 1)\)

\(y = \log_{10} \,e^x\)

3

\(y = \sin\,\left(\log_2 \,\pi x\right)\)

\(y = \log_2 \,4^{2x}\)

\(y = 8^{\log_2 \,x}\)

[[1.] ]

Mostrar que para todas las constantes\(k\) la función\(y = A a^{\frac{kx}{\ln\,a}}\) satisface la ecuación diferencial\(\dydx = ky\). ¿Esto contradice la afirmación hecha en la Sección 2.3 de que la única solución a esa ecuación diferencial es de la forma\(y = A e^{kx}\)? Explica tu respuesta.