8.4: Pruebas de Ratio y Raíz

La Prueba\(n^\text{th}\) —Término del Teorema 63 establece que para que una serie\(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) converja,\(\lim\limits_{n\to\infty}a_n = 0\). Es decir, los términos de\(\{a_n\}\) deben ser muy pequeños. No sólo los términos deben acercarse a 0, deben acercarse a 0 “lo suficientemente rápido”: mientras que\(\lim\limits_{n\to\infty}1/n=0\), la Serie Armónica\(\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac1n\) diverge ya que los términos de\(\{1/n\}\) no se acercan a 0 “lo suficientemente rápido”.

Las pruebas de comparación de la sección anterior determinan la convergencia comparando términos de una serie con términos de otra serie cuya convergencia es conocida. Esta sección introduce las Pruebas de Ratio y Raíz, que determinan la convergencia analizando los términos de una serie para ver si se acercan a 0 “lo suficientemente rápido”.

Prueba de relación

teorema 68: prueba de relación

Dejar\(\{a_n\}\) ser una secuencia positiva donde\(\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = L\).

1. Si\(L<1\), entonces\(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) converge.
2. Si\(L>1\) o\(L=\infty\), entonces\(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) diverge.
3. Si\(L=1\), la Prueba de Ratio no es concluyente.

El Teorema 64 nos permite aplicar la Prueba de Ratio a series donde\(\{a_n\}\) es positivo para todos menos para un número finito de términos.

El principio de la Prueba de Relación es el siguiente: si\(\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = L<1\), entonces para grandes\(n\), cada término de\(\{a_n\}\) es significativamente menor que su término anterior lo cual es suficiente para asegurar la convergencia.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Applying the Ratio Test

Utilice la Prueba de Relación para determinar la convergencia de las siguientes series:

1. \(\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{2^n}{n!}\).
2. \(\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{3^n}{n^3} \)
3. \(\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^2+1}.\)

Solución

1. \(\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{2^n}{n!}\):\[\begin{align*}\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{2^{n+1}/(n+1)!}{2^n/n!} &= \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{2^{n+1}n!}{2^n(n+1)!}\\&= \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{2}{n+1}\\&=0.\end{align*}\] Dado que el límite es\(0<1\), por la Prueba de Relación\(\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{2^n}{n!}\) converge.
2. \(\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{3^n}{n^3}\):\[\begin{align*}\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{3^{n+1}/(n+1)^3}{3^n/n^3} &= \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{3^{n+1}n^3}{3^n(n+1)^3}\\&= \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{3n^3}{(n+1)^3}\\&= 3.\end{align*}\] Dado que el límite es\(3>1\), por la Prueba de Relación\(\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{3^n}{n^3}\) diverge.
3. \(\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^2+1}\):\[\begin{align*}\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{1/\big((n+1)^2+1\big)}{1/(n^2+1)} &= \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{n^2+1}{(n+1)^2+1}\\&= 1.\end{align*}\] Dado que el límite es 1, la Prueba de Ratio no es concluyente. Podemos mostrar fácilmente esta serie converge usando las Pruebas de Comparación Directa o Límite, comparando cada una con la serie\(\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^2}\).

La Prueba de Relación no es efectiva cuando los términos de una serie solo contienen funciones algebraicas (por ejemplo, polinomios). Es más efectivo cuando los términos contienen algunos factoriales o exponenciales. El ejemplo anterior también refuerza nuestra intuición en desarrollo: los factoriales dominan exponenciales, que dominan las funciones algebraicas, que dominan las funciones logarítmicas. En la Parte 1 del ejemplo, el factorial en el denominador dominó lo exponencial en el numerador, provocando que la serie convergiera. En la Parte 2, el exponencial en el numerador dominó la función algebraica en el denominador, provocando que la serie divergiera.

Si bien hemos utilizado factoriales en secciones anteriores, no las hemos explorado de cerca y es probable que una aún no tenga un fuerte sentido intuitivo de cómo se comportan. El siguiente ejemplo da más práctica con factoriales.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Applying the Ratio Test

Determinar la convergencia de\(\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{n!n!}{(2n)!}\).

Solución

Antes de comenzar, asegúrese de anotar la diferencia entre\((2n)!\) y\(2n!\). Cuando\(n=4\), lo primero es\(8!=8\cdot7\cdot\ldots\cdot 2\cdot1=40,320\), mientras que el segundo lo es\(2(4\cdot3\cdot2\cdot1) = 48\).

Aplicando la Prueba de Ratio:

\ [\ comenzar {alinear*}
\ lim\ límites_ {n\ a\ infty}\ dfrac {(n+1)! (n+1)! /\ grande (2 (n+1)\ grande)!} {n! n! /(2n)!} &=\ lim\ limits_ {n\ a\ infty}\ dfrac {(n+1)! (n+1)! (2n)!} {n! n! (2n+2)!} \\
\ text {Observando que\((2n+2)! = (2n+2)\cdot(2n+1)\cdot(2n)!\), tenemos} &\\
&=\ lim\ limits_ {n\ a\ infty}\ dfrac {(n+1) (n+1)} {(2n+2) (2n+1)}\\
&= 1/4.
\ end {alinear*}\]

Dado que el límite es\(1/4<1\), por la Prueba de Ratio concluimos\(\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{n!n!}{(2n)!}\) converge.

Prueba de Raíz

La prueba final que presentamos es la Prueba Raíz, que funciona particularmente bien en series donde cada término se eleva a una potencia, y no funciona bien con términos que contienen factoriales.

teorema 69: prueba de raíz

Dejar\(\{a_n\}\) ser una secuencia positiva y dejar\(\lim\limits_{n\to \infty} (a_n)^{1/n} = L\).

1. Si\(L<1\), entonces\(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) converge.
2. Si\(L>1\) o\(L=\infty\), entonces\(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) diverge.
3. Si\(L=1\), la Prueba Raíz no es concluyente.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Applying the Root Test

Determine la convergencia de las siguientes series usando el Test Raíz:

1. \(\sum\limits_{n=1}^\infty \left(\dfrac{3n+1}{5n-2}\right)^n\qquad\qquad 2. \sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{n^4}{(\ln n)^n}\qquad\qquad 3. \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{2^n}{n^2}.\)

Solución

1. \(\lim\limits_{n\to\infty} \left(\left(\dfrac{3n+1}{5n-2}\right)^n\right)^{1/n} = \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{3n+1}{5n-2} = \dfrac 35.\)
   Dado que el límite es menor a 1, concluimos que la serie converge. Nota: es difícil aplicar la Prueba de Relación a esta serie.
2. \(\lim\limits_{n\to\infty} \left(\dfrac{n^4}{(\ln n)^n}\right)^{1/n} = \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac {\big(n^{1/n}\big)^4}{\ln n} \).
   \(n\)A medida que crece, el numerador se acerca a 1 (aplique la Regla de L'H\ ^opital) y el denominador crece hasta el infinito. Así,\[ \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{\big(n^{1/n}\big)^4}{\ln n} = 0.\] dado que el límite es menor a 1, concluimos que la serie converge.
3. \(\lim\limits_{n\to\infty} \left(\dfrac{2^n}{n^2}\right)^{1/n} = \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{2}{\big(n^{1/n}\big)^2} = 2\).
   Dado que esto es mayor a 1, concluimos que la serie diverge.

Cada una de las pruebas que hemos encontrado hasta ahora ha requerido que analicemos series a partir de secuencias positivas. La siguiente sección relaja esta restricción al considerar series alternas, donde la secuencia subyacente tiene términos que alternan entre ser positivo y negativo.

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