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# 3.1E: Ejercicios para la Sección 3.1

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Para los ejercicios 1 - 10, usa la ecuación$$m_{\text{sec}}=\dfrac{f(x)−f(a)}{x−a}$$ para encontrar la pendiente de la línea secante entre los valores$$x_1$$ y$$x_2$$ para cada función$$y=f(x)$$.

1)$$f(x)=4x+7; \quad x_1=2, \quad x_2=5$$

Contestar
$$m_{\text{sec}}=4$$

2)$$f(x)=8x−3;\quad x_1=−1,\quad x_2=3$$

3)$$f(x)=x^2+2x+1;\quad x_1=3,\quad x_2=3.5$$

Contestar
$$m_{\text{sec}}=8.5$$

4)$$f(x)=−x^2+x+2;\quad x_1=0.5,\quad x_2=1.5$$

5)$$f(x)=\dfrac{4}{3x−1};\quad x_1=1,\quad x_2=3$$

Contestar
$$m_{\text{sec}}=−\frac{3}{4}$$

6)$$f(x)=\dfrac{x−7}{2x+1};\quad x_1=−2,\quad x_2=0$$

7)$$f(x)=\sqrt{x};\quad x_1=1,\quad x_2=16$$

Contestar
$$m_{\text{sec}}=0.2$$

8)$$f(x)=\sqrt{x−9};\quad x_1=10,\quad x_2=13$$

9)$$f(x)=x^{1/3}+1;\quad x_1=0,\quad x_2=8$$

Contestar
$$m_{\text{sec}}=0.25$$

10)$$f(x)=6x^{2/3}+2x^{1/3};\quad x_1=1,\quad x_2=27$$

Para las funciones en los ejercicios 11 a 20,

a. utilice la ecuación$$\displaystyle m_{\text{tan}}=\lim_{h→0}\frac{f(a+h)−f(a)}{h}$$ para encontrar la pendiente de la línea tangente$$m_{\text{tan}}=f′(a)$$, y

b. encontrar la ecuación de la línea tangente a$$f$$ at$$x=a$$.

11)$$f(x)=3−4x, \quad a=2$$

Contestar
a.$$m_{\text{tan}}=−4$$
b.$$y=−4x+3$$

12)$$f(x)=\dfrac{x}{5}+6, \quad a=−1$$

13)$$f(x)=x^2+x, \quad a=1$$

Contestar
a.$$m_{\text{tan}}=3$$
b.$$y=3x−1$$

14)$$f(x)=1−x−x^2, \quad a=0$$

15)$$f(x)=\dfrac{7}{x}, \quad a=3$$

Contestar
a.$$m_{\text{tan}}=\frac{−7}{9}$$
b.$$y=\frac{−7}{9}x+\frac{14}{3}$$

16)$$f(x)=\sqrt{x+8}, \quad a=1$$

17)$$f(x)=2−3x^2, \quad a=−2$$

Contestar
a.$$m_{\text{tan}}=12$$
b.$$y=12x+14$$

18)$$f(x)=\dfrac{−3}{x−1}, \quad a=4$$

19)$$f(x)=\dfrac{2}{x+3}, \quad a=−4$$

Contestar
a.$$m_{\text{tan}}=−2$$
b.$$y=−2x−10$$

20)$$f(x)=\dfrac{3}{x^2}, \quad a=3$$

Para las funciones$$y=f(x)$$ en los ejercicios 21 - 30, encuentra$$f′(a)$$ usando la ecuación$$\displaystyle f′(a)=\lim_{x→a}\frac{f(x)−f(a)}{x−a}$$.

21)$$f(x)=5x+4, \quad a=−1$$

Contestar
$$f'(-1) = 5$$

22)$$f(x)=−7x+1, \quad a=3$$

23)$$f(x)=x^2+9x, \quad a=2$$

Contestar
$$f'(2) = 13$$

24)$$f(x)=3x^2−x+2, \quad a=1$$

25)$$f(x)=\sqrt{x}, \quad a=4$$

Contestar
$$f'(4) = \frac{1}{4}$$

26)$$f(x)=\sqrt{x−2}, \quad a=6$$

27)$$f(x)=\dfrac{1}{x}, \quad a=2$$

Contestar
$$f'(2) = −\frac{1}{4}$$

28)$$f(x)=\dfrac{1}{x−3}, \quad a=−1$$

29)$$f(x)=\dfrac{1}{x^3}, \quad a=1$$

Contestar
$$f'(1) = -3$$

30)$$f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}, \quad a=4$$

Para los siguientes ejercicios, dada la función$$y=f(x)$$,

a. encontrar la pendiente de la línea secante$$PQ$$ para cada punto$$Q(x,f(x))$$ con el$$x$$ valor dado en la tabla.

b. Utilice las respuestas de a. para estimar el valor de la pendiente de la línea tangente en$$P$$.

c. Usa la respuesta de b. para encontrar la ecuación de la línea tangente$$f$$ a punto$$P$$.

31) [T]$$f(x)=x^2+3x+4, \quad P(1,8)$$ (Redondear a$$6$$ decimales.)

 $$x$$ $$Slope m_{PQ}$$ $$x$$ $$Slope m_{PQ}$$ 1.1 (i) 0.9 vii) 1.01 ii) 0.99 viii) 1.001 iii) 0.999 ix) 1.0001 iv) 0.9999 (x) 1.00001 (v) 0.99999 (xi) 1.000001 vi) 0.999999 (xii)
Contestar
$$a. (i)5.100000, (ii)5.010000, (iii)5.001000, (iv)5.000100, (v)5.000010, (vi)5.000001, (vii)4.900000, (viii)4.990000, (ix)4.999000, (x)4.999900, (xi)4.999990, (x)4.999999$$
b.$$m_{\text{tan}}=5$$
c.$$y=5x+3$$

32) [T]$$f(x)=\dfrac{x+1}{x^2−1}, \quad P(0,−1)$$

 $$x$$ $$Slope m_{PQ}$$ $$x$$ $$Slope m_{PQ}$$ 0.1 (i) −0.1 vii) 0.01 ii) −0.01 viii) 0.001 iii) −0.001 ix) 0.0001 iv) −0.0001 (x) 0.00001 (v) −0.00001 (xi) 0.000001 vi) −0.000001 (xii)

33) [T]$$f(x)=10e^{0.5x}, \quad P(0,10)$$ (Redondear a$$4$$ decimales.)

 $$x$$ $$Slope m_{PQ}$$ −0.1 (i) −0.01 ii) −0.001 iii) −0.0001 iv) −0.00001 (v) −0.000001 vi)
Contestar
a.$$(i)4.8771, \;(ii)4.9875, \;(iii)4.9988, \;(iv)4.9999, \;(v)4.9999, \;(vi)4.9999$$
b.$$m_{\text{tan}}=5$$
c.$$y=5x+10$$

34) [T]$$f(x)=\tan(x), \quad P(π,0)$$

 $$x$$ $$Slope m_{PQ}$$ 3.1 (i) 3.14 ii) 3.141 iii) 3.1415 iv) 3.14159 (v) 3.141592 vi)

[T] Para las siguientes funciones de posición$$y=s(t)$$, un objeto se mueve a lo largo de una línea recta, donde$$t$$ está en segundos y$$s$$ está en metros. Encuentra

a. la expresión simplificada para la velocidad promedio de$$t=2$$ a$$t=2+h$$;

b. la velocidad promedio entre$$t=2$$ y$$t=2+h$$, donde$$(i)\;h=0.1, \;(ii)\;h=0.01, \;(iii)\;h=0.001$$, y$$(iv)\;h=0.0001$$; y

c. utilizar la respuesta de a. para estimar la velocidad instantánea en$$t=2$$ segundo lugar.

35)$$s(t)=\frac{1}{3}t+5$$

Contestar
a.$$\frac{1}{3}$$;
b.$$(i)\;\frac{1}{3}$$ m/s,$$(ii)\;\frac{1}{3}$$ m/s,$$(iii)\;\frac{1}{3}$$ m/s,$$(iv)\;\frac{1}{3}$$ m/s;
c.$$\frac{1}{3}$$ m/s

36)$$s(t)=t^2−2t$$

37)$$s(t)=2t^3+3$$

Contestar
a.$$2(h^2+6h+12)$$;
b.$$(i)\;25.22$$ m/s,$$(ii)\; 24.12$$ m/s,$$(iii)\; 24.01$$ m/s,$$(iv)\; 24$$ m/s;
c.$$24$$ m/s

38)$$s(t)=\dfrac{16}{t^2}−\dfrac{4}{t}$$

39) Utilice la siguiente gráfica para evaluar a.$$f′(1)$$ y b.$$f′(6).$$

Contestar
a.$$1.25$$; b.$$0.5$$

40) Utilice la siguiente gráfica para evaluar a.$$f′(−3)$$ y b$$f′(1.5)$$.

Para los siguientes ejercicios, utilice la definición límite de derivada para demostrar que la derivada no existe en$$x=a$$ para cada una de las funciones dadas.

41)$$f(x)=x^{1/3}, \quad x=0$$

Contestar
$$\displaystyle \lim_{x→0^−}\frac{x^{1/3}−0}{x−0}=\lim_{x→0^−}\frac{1}{x^{2/3}}=∞$$

42)$$f(x)=x^{2/3}, \quad x=0$$

43)$$f(x)=\begin{cases}1, & \text{if } x<1\\x, & \text{if } x≥1\end{cases}, \quad x=1$$

Contestar
$$\displaystyle \lim_{x→1^−}\frac{1−1}{x−1}=0≠1=\lim_{x→1^+}\frac{x−1}{x−1}$$

44)$$f(x)=\dfrac{|x|}{x}, \quad x=0$$

45) [T] La posición en pies de un auto de carreras a lo largo de una pista recta después de$$t$$ segundos es modelada por la función$$s(t)=8t^2−\frac{1}{16}t^3.$$

a. Encuentre la velocidad promedio del vehículo en los siguientes intervalos de tiempo a cuatro decimales:

i. [$$4, 4.1$$]

ii. [$$4, 4.01$$]

iii. [$$4, 4.001$$]

iv. [$$4, 4.0001$$]

b. Utilice a. para sacar una conclusión sobre la velocidad instantánea del vehículo a los$$t=4$$ segundos.

Contestar
a.$$(i)61.7244 ft/s, \;(ii)61.0725 ft/s, \;(iii)61.0072 ft/s, \;(iv)61.0007 ft/s$$
b. A los$$4$$ segundos el auto de carreras viaja a una velocidad/velocidad de$$61$$ pies/s.

46) [T] La distancia en pies que una bola rueda por una pendiente es modelada por la función$$s(t)=14t^2$$,

donde t es segundos después de que la pelota comience a rodar.

a. Encuentra la velocidad promedio de la pelota en los siguientes intervalos de tiempo:

i. [5, 5.1]

ii. [5, 5.01]

iii. [5, 5.001]

iv. [5, 5.0001]

b. Usa las respuestas de a. para sacar una conclusión sobre la velocidad instantánea de la pelota a los$$t=5$$ segundos.

47) Dos vehículos empiezan viajando uno al lado del otro por una carretera recta. Sus funciones de posición, mostradas en la siguiente gráfica, están dadas por$$s=f(t)$$ y$$s=g(t)$$, donde s se mide en pies y t se mide en segundos.

a. ¿Qué vehículo ha viajado más lejos en$$t=2$$ segundos?

b. ¿Cuál es la velocidad aproximada de cada vehículo en$$t=3$$ segundos?

c. ¿Qué vehículo viaja más rápido en$$t=4$$ segundos?

d. ¿Qué es cierto acerca de las posiciones de los vehículos a los$$t=4$$ segundos?

Contestar
a.- El vehículo representado por$$f(t)$$, porque ha recorrido$$2$$ pies, mientras que$$g(t)$$ ha recorrido$$1$$ pie.
b. La velocidad de$$f(t)$$ es constante a$$1$$ pies/s, mientras que la velocidad de$$g(t)$$ es aproximadamente$$2$$ ft/s.
c. El vehículo representado por$$g(t)$$, con una velocidad de aproximadamente$$4$$ pies/s.
d. Ambos han viajado $$4$$pies en$$4$$ segundos.

48) [T] El costo total$$C(x)$$, en cientos de dólares, para producir$$x$$ tarros de mayonesa viene dado por$$C(x)=0.000003x^3+4x+300$$.

a. Calcule el costo promedio por frasco en los siguientes intervalos:

i. [100, 100.1]

ii. [100, 100.01]

iii. [100, 100.001]

iv. [100, 100.0001]

b. utilizar las respuestas de a. para estimar el costo promedio para producir$$100$$ tarros de mayonesa.

49) [T] Para la función$$f(x)=x^3−2x^2−11x+12$$, haga lo siguiente.

a. Utilice una calculadora gráfica para graficar$$f$$ en una ventana de visualización apropiada.

b. Utilice la función ZOOM en la calculadora para aproximar los dos valores$$x=a$$ para los cuales$$m_{tan}=f′(a)=0$$.

Contestar

a.

b.$$a≈−1.361,\;2.694$$

50) [T] Para la función$$f(x)=\dfrac{x}{1+x^2}$$, haga lo siguiente.

a. Utilice una calculadora gráfica para graficar$$f$$ en una ventana de visualización apropiada.

b. Utilice la función ZOOM en la calculadora para aproximar los valores de$$x=a$$ los cuales$$m_{\text{tan}}=f′(a)=0$$.

51) Supongamos que$$N(x)$$ calcula el número de galones de gas utilizados por un vehículo que recorre$$x$$ millas. Supongamos que el vehículo recibe$$30$$ mpg.

a. Encontrar una expresión matemática para$$N(x)$$.

b. ¿Qué es$$N(100)$$? Explicar el significado físico.

c. ¿Qué es$$N′(100)$$? Explicar el significado físico.

Contestar
a.$$N(x)=\dfrac{x}{30}$$
b. ∼$$3.3$$ galones. Cuando el vehículo recorre$$100$$ millas, ha utilizado$$3.3$$ galones de gas.
$$\frac{1}{30}$$c. La tasa de consumo de gas en galones por milla que el vehículo está logrando después de haber recorrido$$100$$ millas.

52) [T] Para la función$$f(x)=x^4−5x^2+4$$, haga lo siguiente.

a. Utilice una calculadora gráfica para graficar$$f$$ en una ventana de visualización apropiada.

b. utilizar la$$nDeriv$$ función, que encuentra numéricamente la derivada, en una calculadora gráfica para estimar$$f′(−2),\;f′(−0.5),\;f′(1.7)$$, y$$f′(2.718)$$.

53) [T] Para la función$$f(x)=\dfrac{x^2}{x^2+1}$$, haga lo siguiente.

a. Utilice una calculadora gráfica para graficar$$f$$ en una ventana de visualización apropiada.

b. Utilice la$$nDeriv$$ función en una calculadora gráfica para encontrar$$f′(−4),\;f′(−2),\;f′(2)$$, y$$f′(4)$$.

Contestar

a.

b.$$−0.028,−0.16,0.16,0.028$$

3.1E: Ejercicios para la Sección 3.1 is shared under a not declared license and was authored, remixed, and/or curated by LibreTexts.