3.2: La derivada como función
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- Definir la función derivada de una función dada.
- Graficar una función derivada de la gráfica de una función dada.
- Declarar la conexión entre derivados y continuidad.
- Describir tres condiciones para cuando una función no tiene una derivada.
- Explicar el significado de un derivado de orden superior.
Como hemos visto, la derivada de una función en un punto dado nos da la tasa de cambio o pendiente de la línea tangente a la función en ese punto. Si diferenciamos una función de posición en un momento dado, obtenemos la velocidad en ese momento. Parece razonable concluir que conocer la derivada de la función en cada punto produciría información valiosa sobre el comportamiento de la función. Sin embargo, el proceso de encontrar la derivada incluso a un puñado de valores utilizando las técnicas de la sección anterior rápidamente se volvería bastante tedioso. En esta sección definimos la función derivada y aprendemos un proceso para encontrarla.
Funciones Derivadas
La función derivada da la derivada de una función en cada punto del dominio de la función original para la que se define la derivada. Podemos definir formalmente una función derivada de la siguiente manera.
Dejar\(f\) ser una función. La función derivada, denotada por\(f'\), es la función cuyo dominio consiste en aquellos valores de\(x\) tal manera que existe el siguiente límite:
\[f'(x)=\lim_{h→0}\frac{f(x+h)−f(x)}{h}. \label{derdef} \]
Se dice que una función\(f(x)\) es diferenciable en\(a\) si\(f'(a)\) existe. De manera más general, se dice que una función es diferenciable sobre\(S\) si es diferenciable en cada punto de un conjunto abierto\(S\), y una función diferenciable es aquella en la que\(f'(x)\) existe en su dominio.
En los siguientes ejemplos usamos la ecuación\ ref {derdef} para encontrar la derivada de una función.
Encuentra la derivada de\(f(x)=\sqrt{x}\).
Solución
Comience directamente con la definición de la función derivada.
Sustituto\(f(x+h)=\sqrt{x+h}\) y\(f(x)=\sqrt{x}\) en\(f'(x)= \displaystyle \lim_{h→0}\frac{f(x+h)−f(x)}{h}\).
| \(f'(x)=\displaystyle \lim_{h→0}\frac{\sqrt{x+h}−\sqrt{x}}{h}\) | |
| \(=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{\sqrt{x+h}−\sqrt{x}}{h}⋅\frac{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}\) | Multiplicar numerador y denominador por\(\sqrt{x+h}+\sqrt{x}\) sin distribuir en el denominador. |
| \(=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{h}{h\left(\sqrt{x+h}+\sqrt{x}\right)}\) | Multiplica los numeradores y simplifica. |
| \(=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{1}{\left(\sqrt{x+h}+\sqrt{x}\right)}\) | Cancelar el\(h\). |
| \(=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) | Evaluar el límite |
Encuentra la derivada de la función\(f(x)=x^2−2x\).
Solución
Sigue el mismo procedimiento aquí, pero sin tener que multiplicar por el conjugado.
Sustituir\(f(x+h)=(x+h)^2−2(x+h)\) y\(f(x)=x^2−2x\) en\(f'(x)= \displaystyle \lim_{h→0}\frac{f(x+h)−f(x)}{h}.\)
| \(f'(x)=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{((x+h)^2−2(x+h))−(x^2−2x)}{h}\) | |
| \(=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{x^2+2xh+h^2−2x−2h−x^2+2x}{h}\) | Ampliar\((x+h)^2−2(x+h)\). |
| \(=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{2xh−2h+h^2}{h}\) | Simplificar |
| \(=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{h(2x−2+h)}{h}\) | Factor\(h\) de salida del numerador |
| \(=\displaystyle\lim_{h→0}(2x−2+h)\) | Cancelar el factor común de\(h\) |
| \(=2x−2\) | Evaluar el límite |
Encuentra la derivada de\(f(x)=x^2\).
- Insinuación
-
Usa la ecuación\ ref {derdef} y sigue el ejemplo.
- Contestar
-
\(f'(x)=2x\)
Utilizamos una variedad de notaciones diferentes para expresar la derivada de una función. En Ejemplo\(\PageIndex{2}\) demostramos que si\(f(x)=x^2−2x\), entonces\(f'(x)=2x−2\). Si hubiéramos expresado esta función en la forma\(y=x^2−2x\), podríamos haber expresado la derivada como\(y′=2x−2\) o\(\dfrac{dy}{dx}=2x−2\). Podríamos haber transmitido la misma información por escrito\(\dfrac{d}{dx}\left(x^2−2x\right)=2x−2\). Así, para la función\(y=f(x)\), cada una de las siguientes notaciones representa la derivada de\(f(x)\):
\(f'(x), \quad \dfrac{dy}{dx}, \quad y′,\quad \dfrac{d}{dx}\big(f(x)\big)\).
En lugar de\(f'(a)\) que también podamos usar\(\dfrac{dy}{dx}\Big|_{x=a}\). El uso de la\(\dfrac{dy}{dx}\) notación (llamada notación Leibniz) es bastante común en ingeniería y física. Para entender mejor esta notación, recordemos que la derivada de una función en un punto es el límite de las pendientes de las líneas secantes a medida que las líneas secantes se acercan a la línea tangente. Las pendientes de estas líneas secantes a menudo se expresan en la forma\(\dfrac{Δy}{Δx}\) donde\(Δy\) está la diferencia en los\(y\) valores correspondientes a la diferencia en los\(x\) valores, que se expresan como\(Δx\) (Figura\(\PageIndex{1}\)). Así, la derivada, que puede considerarse como la tasa instantánea de cambio de\(y\) con respecto a\(x\), se expresa como
\(\displaystyle \frac{dy}{dx}= \lim_{Δx→0}\frac{Δy}{Δx}\).
Graficando una Derivada
Ya hemos discutido cómo graficar una función, así que dada la ecuación de una función o la ecuación de una función derivada, podríamos graficarla. Dados ambos, esperaríamos ver una correspondencia entre las gráficas de estas dos funciones, ya que\(f'(x)\) da la tasa de cambio de una función\(f(x)\) (o pendiente de la línea tangente a\(f(x)\)).
En Ejemplo\(\PageIndex{1}\), encontramos que para\(f(x)=\sqrt{x}\),\(f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\). Si graficamos estas funciones en los mismos ejes, como en la Figura\(\PageIndex{2}\), podemos usar las gráficas para entender la relación entre estas dos funciones. Primero, notamos que\(f(x)\) va en aumento en todo su dominio, lo que significa que las pendientes de sus líneas tangentes en todos los puntos son positivas. En consecuencia, esperamos\(f'(x)>0\) para todos los valores de x en su dominio. Además, a medida que\(x\) aumenta, las pendientes de las líneas tangentes a\(f(x)\) van disminuyendo y esperamos ver una disminución correspondiente en\(f'(x)\). También observamos que\(f(0)\) es indefinido y eso\(\displaystyle \lim_{x→0^+}f'(x)=+∞\), correspondiente a una tangente vertical a\(f(x)\) at\(0\).
En Ejemplo\(\PageIndex{2}\), encontramos que para\(f(x)=x^2−2x,\; f'(x)=2x−2\). Las gráficas de estas funciones se muestran en la Figura\(\PageIndex{3}\). Observe que\(f(x)\) está disminuyendo para\(x<1\). Para estos mismos valores de\(x\),\(f'(x)<0\). Para valores de\(x>1\),\(f(x)\) está aumentando y\(f'(x)>0\). Además,\(f(x)\) tiene una tangente horizontal en\(x=1\) y\(f'(1)=0\).
Utilice la siguiente gráfica de\(f(x)\) para bosquejar una gráfica de\(f'(x)\).
Solución
La solución se muestra en la siguiente gráfica. Observe que\(f(x)\) va en aumento y\(f'(x)>0\) en adelante\((–2,3)\). También,\(f(x)\) es decreciente y\(f'(x)<0\)\((−∞,−2)\) sigue y sigue\((3,+∞)\). También tenga en cuenta que\(f(x)\) tiene tangentes horizontales en\(–2\) y\(3\), y\(f'(−2)=0\) y\(f'(3)=0\).
Esbozar la gráfica de\(f(x)=x^2−4\). ¿En qué intervalo está la gráfica de\(f'(x)\) arriba del\(x\) eje -eje?
- Insinuación
-
La gráfica de\(f'(x)\) es positiva donde\(f(x)\) va en aumento.
- Contestar
-
\((0,+∞)\)
Derivados y Continuidad
Ahora que podemos graficar una derivada, examinemos el comportamiento de las gráficas. Primero, consideramos la relación entre diferenciabilidad y continuidad. Veremos que si una función es diferenciable en un punto, debe ser continua ahí; sin embargo, una función que es continua en un punto no necesita ser diferenciable en ese punto. De hecho, una función puede ser continua en un punto y no ser diferenciable en el punto por una de varias razones.
\(f(x)\)Sea una función y\(a\) esté en su dominio. Si\(f(x)\) es diferenciable en\(a\), entonces\(f\) es continuo en\(a\).
Si\(f(x)\) es diferenciable en\(a\), entonces\(f'(a)\) existe y, si lo dejamos\(h = x - a\), tenemos\( x = a + h \), y como\(h=x-a\to 0\), podemos ver eso\(x\to a\).
Entonces
\[ f'(a) = \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\nonumber \]
se puede reescribir como
\(f'(a)=\displaystyle \lim_{x→a}\frac{f(x)−f(a)}{x−a}\).
Queremos demostrar que\(f(x)\) es continuo en\(a\) demostrando que\(\displaystyle \lim_{x→a}f(x)=f(a).\) Así,
\ (\ begin {align*}\ displaystyle\ lim_ {x→a} f (x) &=\ lim_ {x→a}\;\ grande (f (x) −f (a) +f (a)\ grande)\\ [4pt]
&=\ lim_ {x→a}\ left (\ frac {f (x) −f (a)} {x−a} ⋅ (x−a) +f (a)\ derecha) &\ text {Multiplicar y dividir} (f (x) −f (a))\ text {por} x−a.\\ [4pt]
&=\ izquierda (\ lim_ {x→a}\ frac {f (x) −f (a)} {x−a}\ derecha) ⋅\ izquierda (\ lim_ {x→a}\; (x−a)\ derecha) +\ lim_ {x→a} f (a)\\ [4pt]
&=f' (a) 0+f (a)\\ [4pt]
&=f (a). \ end {alinear*}\)
Por lo tanto, ya que\(f(a)\) se define y\(\displaystyle \lim_{x→a}f(x)=f(a)\), concluimos que\(f\) es continuo en\(a\).
□
Acabamos de demostrar que la diferenciabilidad implica continuidad, pero ahora consideramos si la continuidad implica diferenciabilidad. Para determinar una respuesta a esta pregunta, examinamos la función\(f(x)=|x|\). Esta función es continua en todas partes; sin embargo, no\(f'(0)\) está definida. Esta observación nos lleva a creer que la continuidad no implica diferenciabilidad. Exploremos más a fondo. Para\(f(x)=|x|\),
\(f'(0)=\displaystyle \lim_{x→0}\frac{f(x)−f(0)}{x−0}= \lim_{x→0}\frac{|x|−|0|}{x−0}= \lim_{x→0}\frac{|x|}{x}\).
Este límite no existe porque
\(\displaystyle \lim_{x→0^−}\frac{|x|}{x}=−1\)y\(\displaystyle \lim_{x→0^+}\frac{|x|}{x}=1\).
Ver Figura\(\PageIndex{4}\).
Consideremos algunas situaciones adicionales en las que una función continua no logra ser diferenciable. Considera la función\(f(x)=\sqrt[3]{x}\):
\(f'(0)=\displaystyle \lim_{x→0}\frac{\sqrt[3]{x}−0}{x−0}=\displaystyle \lim_{x→0}\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}=+∞\).
Por lo tanto,\(f'(0)\) no existe. Un rápido vistazo a la gráfica de\(f(x)=\sqrt[3]{x}\) aclara la situación. La función tiene una línea tangente vertical en\(0\) (Figura\(\PageIndex{5}\)).
La función\(f(x)=\begin{cases} x\sin\left(\frac{1}{x}\right), & & \text{ if } x≠0\\0, & & \text{ if } x=0\end{cases}\) también tiene un derivado que exhibe un comportamiento interesante en\(0\).
Vemos que
\(f'(0)=\displaystyle \lim_{x→0}\frac{x\sin\left(1/x\right)−0}{x−0}= \lim_{x→0}\sin\left(\frac{1}{x}\right)\).
Este límite no existe, esencialmente porque las pendientes de las líneas secantes cambian continuamente de dirección a medida que se acercan a cero (Figura\(\PageIndex{6}\)).
En resumen:
- Observamos que si una función no es continua, no puede ser diferenciable, ya que toda función diferenciable debe ser continua. Sin embargo, si una función es continua, aún puede no ser diferenciable.
- Vimos que\(f(x)=|x|\) no pudo ser diferenciable en\(0\) porque el límite de las pendientes de las líneas tangentes de izquierda y derecha no eran lo mismo. Visualmente, esto resultó en una esquina afilada en la gráfica de la función en A\(0.\) partir de esto concluimos que para ser diferenciable en un punto, una función debe ser “suave” en ese punto.
- Como vimos en el ejemplo de\(f(x)=\sqrt[3]{x}\), una función no logra ser diferenciable en un punto donde hay una línea tangente vertical.
- Como vimos con\(f(x)=\begin{cases}x\sin\left(\frac{1}{x}\right), & & \text{ if } x≠0\\0, & &\text{ if } x=0\end{cases}\) una función puede no ser diferenciable en un momento en formas más complicadas también.
Una empresa de juguetes quiere diseñar una pista para un carro de juguete que comience a lo largo de una curva parabólica y luego se convierta en una línea recta (Figura\(\PageIndex{7}\)). La función que describe la pista es tener la forma\(f(x)=\begin{cases}\frac{1}{10}x^2+bx+c, & & \text{ if }x<−10\\−\frac{1}{4}x+\frac{5}{2}, & & \text{ if } x≥−10\end{cases}\) donde\(x\) y\(f(x)\) están en pulgadas. Para que el automóvil se mueva suavemente a lo largo de la pista, la función\(f(x)\) debe ser tanto continua como diferenciable en\(−10\). Encontrar valores de\(b\) y\(c\) que hagan\(f(x)\) tanto continuos como diferenciables.
Solución
Para que la función sea continua en\(x=−10\),\(\displaystyle \lim_{x→10^−}f(x)=f(−10)\). Así, desde
\(\displaystyle \lim_{x→−10^−}f(x)=\frac{1}{10}(−10)^2−10b+c=10−10b+c\)
y\(f(−10)=5\), debemos tener\(10−10b+c=5\). Equivalentemente, tenemos\(c=10b−5\).
Para que la función sea diferenciable en\(−10\),
\(f'(10)=\displaystyle \lim_{x→−10}\frac{f(x)−f(−10)}{x+10}\)
debe existir. Ya que\(f(x)\) se define usando diferentes reglas a la derecha y a la izquierda, debemos evaluar este límite desde la derecha y la izquierda y luego establecerlos iguales entre sí:
\ (\ displaystyle\ begin {alinear*}\ lim_ {x→−10^−}\ frac {f (x) −f (−10)} {x+10} &=\ lim_ {x→−10^−}\ frac {\ frac {1} {10} x^2+bx+c−5} {x+10}\\ [4pt]
&=\ lim_ {x→−10^−}\ frac {\ frac {1} {10} x^2+bx+ (10b−5) −5} {x+10} &\ text {Sustituto} c=10b−5.\\ [4pt]
&=\ lim_ {x→−10^−}\ frac {x^2−100+10bx+ 100b} {10 (x+10)}\\ [4pt]
&=\ lim_ {x→−10^−}\ frac {(x+10) (x−10+10b)} {10 (x+10)} &\ text {Factor por agrupación}\\ [4pt]
&=b−2\ end {align*}\).
También contamos con
\ (\ displaystyle\ begin {alinear*}\ lim_ {x→−10^+}\ frac {f (x) −f (−10)} {x+10} &=\ lim_ {x→−10^+}\ frac {−\ frac {1} {4} x+\ frac {5} {2} −5} {x+10}\\ [4pt]
&=\ lim_ {x→−10^+}\ frac {− (x+10)} {4 (x+10)}\\ [4pt]
&=−\ frac {1} {4}\ end {align*}\).
Esto nos da\(b−2=−\frac{1}{4}\). Así\(b=\frac{7}{4}\) y\(c=10(\frac{7}{4})−5=\frac{25}{2}\).
Encontrar valores de a y b que hagan\(f(x)=\begin{cases}ax+b, & & \text{ if } x<3\\x^2, & & \text{ if } x≥3\end{cases}\) tanto continuos como diferenciables en\(3\).
- Insinuación
-
Use el Ejemplo\(\PageIndex{4}\) como guía.
- Contestar
-
\(a=6\)y\(b=−9\)
Derivados de orden superior
La derivada de una función es en sí misma una función, por lo que podemos encontrar la derivada de una derivada. Por ejemplo, la derivada de una función de posición es la velocidad de cambio de posición, o velocidad. La derivada de la velocidad es la tasa de cambio de velocidad, que es la aceleración. La nueva función obtenida al diferenciar la derivada se llama la segunda derivada. Además, podemos seguir tomando derivados para obtener el tercer derivado, el cuarto derivado, y así sucesivamente. Colectivamente, estos son referidos como derivados de orden superior. La notación para las derivadas de orden superior de se\(y=f(x)\) puede expresar en cualquiera de las siguientes formas:
\(f''(x),\; f'''(x),\; f^{(4)}(x),\; …\; ,\; f^{(n)}(x)\)
\(y''(x),\; y'''(x),\; y^{(4)}(x),\; …\; ,\; y^{(n)}(x)\)
\(\dfrac{d^2y}{dx^2},\;\dfrac{d^3y}{dy^3},\;\dfrac{d^4y}{dy^4},\;…\;,\;\dfrac{d^ny}{dy^n}.\)
Es interesante señalar que la notación para\(\dfrac{d^2y}{dx^2}\) puede verse como un intento de expresarse de manera\(\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{dy}{dx}\right)\) más compacta.
Análogamente,\(\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{dy}{dx}\right)\right)=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{d^2y}{dx^2}\right)=\dfrac{d^3y}{dx^3}\).
Para\(f(x)=2x^2−3x+1\), encontrar\(f''(x)\).
Solución
Primer hallazgo\(f'(x)\).
Sustituir\(f(x)=2x^2−3x+1\) y\(f(x+h)=2(x+h)^2−3(x+h)+1\) en\(f'(x)=\displaystyle \lim_{h→0}\dfrac{f(x+h)−f(x)}{h}.\)
| \(f'(x)=\displaystyle \lim_{h→0}\frac{(2(x+h)^2−3(x+h)+1)−(2x^2−3x+1)}{h}\) | |
| \(=\displaystyle \lim_{h→0}\frac{4xh+2h^2−3h}{h}\) | Simplifica el numerador. |
| \(=\displaystyle \lim_{h→0}(4x+2h−3)\) | Facturar el\(h\) en el numerador y cancelar con el\(h\) en el denominador. |
| \(=4x−3\) | Toma el límite. |
A continuación, encuentra\(f''(x)\) tomando la derivada de\(f'(x)=4x−3.\)
| \(f''(x)=\displaystyle \lim_{h→0}\frac{f'(x+h)−f'(x)}{h}\) | Usar\(f'(x)=\displaystyle \lim_{h→0}\frac{f(x+h)−f(x)}{h}\) con\(f ′(x)\) en lugar de\(f(x).\) |
| \(=\displaystyle \lim_{h→0}\frac{(4(x+h)−3)−(4x−3)}{h}\) | Sustituto\(f'(x+h)=4(x+h)−3\) y\(f'(x)=4x−3.\) |
| \(=\displaystyle \lim_{h→0}4\) | Simplificar. |
| \(=4\) | Toma el límite. |
Encuentra\(f''(x)\) para\(f(x)=x^2\).
- Pista
-
Encontramos\(f'(x)=2x\) en un puesto de control previo. Usa la ecuación\ ref {derdef} para encontrar la derivada de\(f'(x)\)
- Contestar
-
\(f''(x)=2\)
La posición de una partícula a lo largo de un eje de coordenadas en el tiempo\(t\) (en segundos) viene dada por\(s(t)=3t^2−4t+1\) (en metros). Encuentra la función que describe su aceleración en el momento\(t\).
Solución
Desde\(v(t)=s′(t)\) y\(a(t)=v′(t)=s''(t)\), comenzamos por encontrar la derivada de\(s(t)\):
\ (\ displaystyle\ begin {alinear*} s′ (t) &=\ lim_ {h→0}\ frac {s (t+h) −s (t)} {h}\\ [4pt]
&=\ lim_ {h→0}\ frac {3 (t+h) ^2−4 (t+h) +1 − (3t^2−4t+1)} {h}\\ [4pt]
&=6t−4. \ end {alinear*}\)
Siguiente,
\ (\ displaystyle\ begin {align*} s "(t) &=\ lim_ {h→0}\ frac {s′ (t+h) −s′ (t)} {h}\\ [4pt]
&=\ lim_ {h→0}\ frac {6 (t+h) −4− (6t−4)} {h}\\\ [4pt]
&=6. \ end {alinear*}\)
Por lo tanto,\(a=6 \;\text{m/s}^2\).
Para\(s(t)=t^3\), encontrar\(a(t).\)
- Pista
-
Use el Ejemplo\(\PageIndex{6}\) como guía.
- Contestar
-
\(a(t)=6t\)
Conceptos clave
- La derivada de una función\(f(x)\) es la función cuyo valor at\(x\) es\(f'(x)\).
- La gráfica de una derivada de una función\(f(x)\) está relacionada con la gráfica de\(f(x)\). Donde\(f(x)\) tiene una línea tangente con pendiente positiva,\(f'(x)>0\). Donde\(f(x)\) tiene una línea tangente con pendiente negativa,\(f'(x)<0\). Donde\(f(x)\) tiene una línea tangente horizontal,\(f'(x)=0.\)
- Si una función es diferenciable en un punto, entonces es continua en ese punto. Una función no es diferenciable en un punto si no es continua en el punto, si tiene una línea tangente vertical en el punto, o si la gráfica tiene una esquina o cúspide afilada.
- Los derivados de orden superior son derivados de derivados, desde la segunda derivada hasta la\(n^{\text{th}}\) derivada.
Ecuaciones Clave
- La función derivada
\(f'(x)=\displaystyle \lim_{h→0}\frac{f(x+h)−f(x)}{h}\)
Glosario
- función derivada
- da la derivada de una función en cada punto del dominio de la función original para la que se define la derivada
- diferenciable en\(a\)
- una función para la cual\(f'(a)\) existe es diferenciable en\(a\)
- diferenciable en\(S\)
- una función para la cual\(f'(x)\) existe para cada uno\(x\) en el conjunto abierto\(S\) es diferenciable en\(S\)
- función diferenciable
- una función para la que\(f'(x)\) existe es una función diferenciable
- derivado de orden superior
- una derivada de una derivada, de la segunda derivada a la\(n^{\text{th}}\) derivada, se denomina derivada de orden superior
Colaboradores y Atribuciones
- Template:ContribOpenStaxCalc
- Paul Seeburger (Monroe Community College) added explanation of the alternative definition of the derivative used in the proof of that differentiability implies continuity.