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LibreTexts Español

3.2: La derivada como función

  • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
  • OpenStax

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Objetivos de aprendizaje
  • Definir la función derivada de una función dada.
  • Graficar una función derivada de la gráfica de una función dada.
  • Declarar la conexión entre derivados y continuidad.
  • Describir tres condiciones para cuando una función no tiene una derivada.
  • Explicar el significado de un derivado de orden superior.

Como hemos visto, la derivada de una función en un punto dado nos da la tasa de cambio o pendiente de la línea tangente a la función en ese punto. Si diferenciamos una función de posición en un momento dado, obtenemos la velocidad en ese momento. Parece razonable concluir que conocer la derivada de la función en cada punto produciría información valiosa sobre el comportamiento de la función. Sin embargo, el proceso de encontrar la derivada incluso a un puñado de valores utilizando las técnicas de la sección anterior rápidamente se volvería bastante tedioso. En esta sección definimos la función derivada y aprendemos un proceso para encontrarla.

Funciones Derivadas

La función derivada da la derivada de una función en cada punto del dominio de la función original para la que se define la derivada. Podemos definir formalmente una función derivada de la siguiente manera.

Definición: Función derivada

Dejarf ser una función. La función derivada, denotada porf, es la función cuyo dominio consiste en aquellos valores dex tal manera que existe el siguiente límite:

f(x)=limh0f(x+h)f(x)h.

Se dice que una funciónf(x) es diferenciable ena sif(a) existe. De manera más general, se dice que una función es diferenciable sobreS si es diferenciable en cada punto de un conjunto abiertoS, y una función diferenciable es aquella en la quef(x) existe en su dominio.

En los siguientes ejemplos usamos la ecuación\ ref {derdef} para encontrar la derivada de una función.

Ejemplo3.2.1: Finding the Derivative of a Square-Root Function

Encuentra la derivada def(x)=x.

Solución

Comience directamente con la definición de la función derivada.

Sustitutof(x+h)=x+h yf(x)=x enf(x)=limh0f(x+h)f(x)h.

f(x)=limh0x+hxh  
=limh0x+hxhx+h+xx+h+x Multiplicar numerador y denominador porx+h+x sin distribuir en el denominador.
=limh0hh(x+h+x) Multiplica los numeradores y simplifica.
=limh01(x+h+x) Cancelar elh.
=12x Evaluar el límite
Ejemplo3.2.2: Finding the Derivative of a Quadratic Function

Encuentra la derivada de la funciónf(x)=x22x.

Solución

Sigue el mismo procedimiento aquí, pero sin tener que multiplicar por el conjugado.

Sustituirf(x+h)=(x+h)22(x+h) yf(x)=x22x enf(x)=limh0f(x+h)f(x)h.

f(x)=limh0((x+h)22(x+h))(x22x)h  
=limh0x2+2xh+h22x2hx2+2xh Ampliar(x+h)22(x+h).
=limh02xh2h+h2h Simplificar
=limh0h(2x2+h)h Factorh de salida del numerador
=limh0(2x2+h) Cancelar el factor común deh
=2x2 Evaluar el límite
Ejercicio3.2.1

Encuentra la derivada def(x)=x2.

Insinuación

Usa la ecuación\ ref {derdef} y sigue el ejemplo.

Contestar

f(x)=2x

Utilizamos una variedad de notaciones diferentes para expresar la derivada de una función. En Ejemplo3.2.2 demostramos que sif(x)=x22x, entoncesf(x)=2x2. Si hubiéramos expresado esta función en la formay=x22x, podríamos haber expresado la derivada comoy=2x2 odydx=2x2. Podríamos haber transmitido la misma información por escritoddx(x22x)=2x2. Así, para la funcióny=f(x), cada una de las siguientes notaciones representa la derivada def(x):

f(x),dydx,y,ddx(f(x)).

En lugar def(a) que también podamos usardydx|x=a. El uso de ladydx notación (llamada notación Leibniz) es bastante común en ingeniería y física. Para entender mejor esta notación, recordemos que la derivada de una función en un punto es el límite de las pendientes de las líneas secantes a medida que las líneas secantes se acercan a la línea tangente. Las pendientes de estas líneas secantes a menudo se expresan en la forma\dfrac{Δy}{Δx} dondeΔy está la diferencia en losy valores correspondientes a la diferencia en losx valores, que se expresan comoΔx (Figura\PageIndex{1}). Así, la derivada, que puede considerarse como la tasa instantánea de cambio dey con respecto ax, se expresa como

\displaystyle \frac{dy}{dx}= \lim_{Δx→0}\frac{Δy}{Δx}.

La función y = f (x) se grafica y se muestra como una curva en el primer cuadrante. El eje x está marcado con 0, a y a + Δx. El eje y está marcado con 0, f (a) y f (a) + Δy. Hay una línea recta que cruza y = f (x) en (a, f (a)) y (a + Δx, f (a) + Δy). Desde el punto (a, f (a)), se dibuja una línea horizontal; desde el punto (a + Δx, f (a) + Δy), se dibuja una línea vertical. La distancia de (a, f (a)) a (a + Δx, f (a)) se denota Δx; la distancia de (a + Δx, f (a) + Δy) a (a + Δx, f (a)) se denota Δy.
Figura\PageIndex{1}: La derivada se expresa como\dfrac{dy}{dx}=\displaystyle\lim_{Δx→0}\frac{Δy}{Δx}.

Graficando una Derivada

Ya hemos discutido cómo graficar una función, así que dada la ecuación de una función o la ecuación de una función derivada, podríamos graficarla. Dados ambos, esperaríamos ver una correspondencia entre las gráficas de estas dos funciones, ya quef'(x) da la tasa de cambio de una funciónf(x) (o pendiente de la línea tangente af(x)).

En Ejemplo\PageIndex{1}, encontramos que paraf(x)=\sqrt{x},f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}. Si graficamos estas funciones en los mismos ejes, como en la Figura\PageIndex{2}, podemos usar las gráficas para entender la relación entre estas dos funciones. Primero, notamos quef(x) va en aumento en todo su dominio, lo que significa que las pendientes de sus líneas tangentes en todos los puntos son positivas. En consecuencia, esperamosf'(x)>0 para todos los valores de x en su dominio. Además, a medida quex aumenta, las pendientes de las líneas tangentes af(x) van disminuyendo y esperamos ver una disminución correspondiente enf'(x). También observamos quef(0) es indefinido y eso\displaystyle \lim_{x→0^+}f'(x)=+∞, correspondiente a una tangente vertical af(x) at0.

La función f (x) = la raíz cuadrada de x se grafica como es su derivada f' (x) = 1/ (2 veces la raíz cuadrada de x).
Figura\PageIndex{2}: La derivadaf'(x) es positiva en todas partes porque la funciónf(x) va en aumento.

En Ejemplo\PageIndex{2}, encontramos que paraf(x)=x^2−2x,\; f'(x)=2x−2. Las gráficas de estas funciones se muestran en la Figura\PageIndex{3}. Observe quef(x) está disminuyendo parax<1. Para estos mismos valores dex,f'(x)<0. Para valores dex>1,f(x) está aumentando yf'(x)>0. Además,f(x) tiene una tangente horizontal enx=1 yf'(1)=0.

La función f (x) = x al cuadrado — 2x se grafica como es su derivada f' (x) = 2x − 2.
Figura\PageIndex{3}: La derivadaf'(x)<0 donde la funciónf(x) es decreciente yf'(x)>0 dondef(x) va en aumento. La derivada es cero donde la función tiene una tangente horizontal
Ejemplo\PageIndex{3}: Sketching a Derivative Using a Function

Utilice la siguiente gráfica def(x) para bosquejar una gráfica def'(x).

La función f (x) es aproximadamente sinusoidal, comenzando en (−4, 3), disminuyendo a un mínimo local en (−2, 2), luego aumentando a un máximo local en (3, 6) y cortando en (7, 2).

Solución

La solución se muestra en la siguiente gráfica. Observe quef(x) va en aumento yf'(x)>0 en adelante(–2,3). También,f(x) es decreciente yf'(x)<0(−∞,−2) sigue y sigue(3,+∞). También tenga en cuenta quef(x) tiene tangentes horizontales en–2 y3, yf'(−2)=0 yf'(3)=0.

Aquí se representan dos funciones: f (x) y f' (x). La función f (x) es la misma que la gráfica anterior, es decir, aproximadamente sinusoidal, comenzando en (−4, 3), disminuyendo a un mínimo local en (−2, 2), luego aumentando a un máximo local en (3, 6), y cortando en (7, 2). La función f' (x) es una parábola orientada hacia abajo con vértice cerca (0.5, 1.75), intercepción y (0, 1.5) e intercepciones x (−1.9, 0) y (3, 0).

Ejercicio\PageIndex{2}

Esbozar la gráfica def(x)=x^2−4. ¿En qué intervalo está la gráfica def'(x) arriba delx eje -eje?

Insinuación

La gráfica def'(x) es positiva dondef(x) va en aumento.

Contestar

(0,+∞)

Derivados y Continuidad

Ahora que podemos graficar una derivada, examinemos el comportamiento de las gráficas. Primero, consideramos la relación entre diferenciabilidad y continuidad. Veremos que si una función es diferenciable en un punto, debe ser continua ahí; sin embargo, una función que es continua en un punto no necesita ser diferenciable en ese punto. De hecho, una función puede ser continua en un punto y no ser diferenciable en el punto por una de varias razones.

Diferenciabilidad Implica Continuidad

f(x)Sea una función ya esté en su dominio. Sif(x) es diferenciable ena, entoncesf es continuo ena.

Prueba

Sif(x) es diferenciable ena, entoncesf'(a) existe y, si lo dejamosh = x - a, tenemos x = a + h , y comoh=x-a\to 0, podemos ver esox\to a.

Entonces

f'(a) = \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\nonumber

se puede reescribir como

f'(a)=\displaystyle \lim_{x→a}\frac{f(x)−f(a)}{x−a}.

Queremos demostrar quef(x) es continuo ena demostrando que\displaystyle \lim_{x→a}f(x)=f(a). Así,

\ (\ begin {align*}\ displaystyle\ lim_ {x→a} f (x) &=\ lim_ {x→a}\;\ grande (f (x) −f (a) +f (a)\ grande)\\ [4pt]
&=\ lim_ {x→a}\ left (\ frac {f (x) −f (a)} {x−a} ⋅ (x−a) +f (a)\ derecha) &\ text {Multiplicar y dividir} (f (x) −f (a))\ text {por} x−a.\\ [4pt]
&=\ izquierda (\ lim_ {x→a}\ frac {f (x) −f (a)} {x−a}\ derecha) ⋅\ izquierda (\ lim_ {x→a}\; (x−a)\ derecha) +\ lim_ {x→a} f (a)\\ [4pt]
&=f' (a) 0+f (a)\\ [4pt]
&=f (a). \ end {alinear*}\)

Por lo tanto, ya quef(a) se define y\displaystyle \lim_{x→a}f(x)=f(a), concluimos quef es continuo ena.

Acabamos de demostrar que la diferenciabilidad implica continuidad, pero ahora consideramos si la continuidad implica diferenciabilidad. Para determinar una respuesta a esta pregunta, examinamos la funciónf(x)=|x|. Esta función es continua en todas partes; sin embargo, nof'(0) está definida. Esta observación nos lleva a creer que la continuidad no implica diferenciabilidad. Exploremos más a fondo. Paraf(x)=|x|,

f'(0)=\displaystyle \lim_{x→0}\frac{f(x)−f(0)}{x−0}= \lim_{x→0}\frac{|x|−|0|}{x−0}= \lim_{x→0}\frac{|x|}{x}.

Este límite no existe porque

\displaystyle \lim_{x→0^−}\frac{|x|}{x}=−1y\displaystyle \lim_{x→0^+}\frac{|x|}{x}=1.

Ver Figura\PageIndex{4}.

La función f (x) = se grafica el valor absoluto de x. Consta de dos segmentos de línea recta: el primero sigue la ecuación y = −x y termina en el origen; el segundo sigue la ecuación y = x y comienza en el origen.
Figura\PageIndex{4}: La funciónf(x)=|x| es continua en0 pero no es diferenciable en0.

Consideremos algunas situaciones adicionales en las que una función continua no logra ser diferenciable. Considera la funciónf(x)=\sqrt[3]{x}:

f'(0)=\displaystyle \lim_{x→0}\frac{\sqrt[3]{x}−0}{x−0}=\displaystyle \lim_{x→0}\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}=+∞.

Por lo tanto,f'(0) no existe. Un rápido vistazo a la gráfica def(x)=\sqrt[3]{x} aclara la situación. La función tiene una línea tangente vertical en0 (Figura\PageIndex{5}).

Se grafica la función f (x) = la raíz cubo de x. Tiene una tangente vertical a x = 0.
Figura\PageIndex{5}: La funciónf(x)=\sqrt[3]{x} tiene una tangente vertical enx=0. Es continuo en0 pero no es diferenciable en0.

La funciónf(x)=\begin{cases} x\sin\left(\frac{1}{x}\right), & & \text{ if } x≠0\\0, & & \text{ if } x=0\end{cases} también tiene un derivado que exhibe un comportamiento interesante en0.

Vemos que

f'(0)=\displaystyle \lim_{x→0}\frac{x\sin\left(1/x\right)−0}{x−0}= \lim_{x→0}\sin\left(\frac{1}{x}\right).

Este límite no existe, esencialmente porque las pendientes de las líneas secantes cambian continuamente de dirección a medida que se acercan a cero (Figura\PageIndex{6}).

La función f (x) = x sin (1/2) si x no es igual a 0 y f (x) = 0 si x = 0 se grafica. Parece una función sinusoidal que oscila rápidamente con amplitud decreciente a 0 en el origen.
Figura\PageIndex{6}: La función nof(x)=\begin{cases} x\sin\left(\frac{1}{x}\right), & & \text{ if } x≠0\\0, & & \text{ if } x=0\end{cases} es diferenciable en0.

En resumen:

  1. Observamos que si una función no es continua, no puede ser diferenciable, ya que toda función diferenciable debe ser continua. Sin embargo, si una función es continua, aún puede no ser diferenciable.
  2. Vimos quef(x)=|x| no pudo ser diferenciable en0 porque el límite de las pendientes de las líneas tangentes de izquierda y derecha no eran lo mismo. Visualmente, esto resultó en una esquina afilada en la gráfica de la función en A0. partir de esto concluimos que para ser diferenciable en un punto, una función debe ser “suave” en ese punto.
  3. Como vimos en el ejemplo def(x)=\sqrt[3]{x}, una función no logra ser diferenciable en un punto donde hay una línea tangente vertical.
  4. Como vimos conf(x)=\begin{cases}x\sin\left(\frac{1}{x}\right), & & \text{ if } x≠0\\0, & &\text{ if } x=0\end{cases} una función puede no ser diferenciable en un momento en formas más complicadas también.
Ejemplo\PageIndex{4}: A Piecewise Function that is Continuous and Differentiable

Una empresa de juguetes quiere diseñar una pista para un carro de juguete que comience a lo largo de una curva parabólica y luego se convierta en una línea recta (Figura\PageIndex{7}). La función que describe la pista es tener la formaf(x)=\begin{cases}\frac{1}{10}x^2+bx+c, & & \text{ if }x<−10\\−\frac{1}{4}x+\frac{5}{2}, & & \text{ if } x≥−10\end{cases} dondex yf(x) están en pulgadas. Para que el automóvil se mueva suavemente a lo largo de la pista, la funciónf(x) debe ser tanto continua como diferenciable en−10. Encontrar valores deb yc que haganf(x) tanto continuos como diferenciables.

Un carro se dibuja en una línea que se curva a través de (−10, 5) a (10, 0) con intercepción y aproximadamente (0, 2).
Figura\PageIndex{7}: Para que el automóvil se mueva suavemente a lo largo de la pista, la función debe ser tanto continua como diferenciable.

Solución

Para que la función sea continua enx=−10,\displaystyle \lim_{x→10^−}f(x)=f(−10). Así, desde

\displaystyle \lim_{x→−10^−}f(x)=\frac{1}{10}(−10)^2−10b+c=10−10b+c

yf(−10)=5, debemos tener10−10b+c=5. Equivalentemente, tenemosc=10b−5.

Para que la función sea diferenciable en−10,

f'(10)=\displaystyle \lim_{x→−10}\frac{f(x)−f(−10)}{x+10}

debe existir. Ya quef(x) se define usando diferentes reglas a la derecha y a la izquierda, debemos evaluar este límite desde la derecha y la izquierda y luego establecerlos iguales entre sí:

\ (\ displaystyle\ begin {alinear*}\ lim_ {x→−10^−}\ frac {f (x) −f (−10)} {x+10} &=\ lim_ {x→−10^−}\ frac {\ frac {1} {10} x^2+bx+c−5} {x+10}\\ [4pt]
&=\ lim_ {x→−10^−}\ frac {\ frac {1} {10} x^2+bx+ (10b−5) −5} {x+10} &\ text {Sustituto} c=10b−5.\\ [4pt]
&=\ lim_ {x→−10^−}\ frac {x^2−100+10bx+ 100b} {10 (x+10)}\\ [4pt]
&=\ lim_ {x→−10^−}\ frac {(x+10) (x−10+10b)} {10 (x+10)} &\ text {Factor por agrupación}\\ [4pt]
&=b−2\ end {align*}\).

También contamos con

\ (\ displaystyle\ begin {alinear*}\ lim_ {x→−10^+}\ frac {f (x) −f (−10)} {x+10} &=\ lim_ {x→−10^+}\ frac {−\ frac {1} {4} x+\ frac {5} {2} −5} {x+10}\\ [4pt]
&=\ lim_ {x→−10^+}\ frac {− (x+10)} {4 (x+10)}\\ [4pt]
&=−\ frac {1} {4}\ end {align*}\).

Esto nos dab−2=−\frac{1}{4}. Asíb=\frac{7}{4} yc=10(\frac{7}{4})−5=\frac{25}{2}.

Ejercicio\PageIndex{3}

Encontrar valores de a y b que haganf(x)=\begin{cases}ax+b, & & \text{ if } x<3\\x^2, & & \text{ if } x≥3\end{cases} tanto continuos como diferenciables en3.

Insinuación

Use el Ejemplo\PageIndex{4} como guía.

Contestar

a=6yb=−9

Derivados de orden superior

La derivada de una función es en sí misma una función, por lo que podemos encontrar la derivada de una derivada. Por ejemplo, la derivada de una función de posición es la velocidad de cambio de posición, o velocidad. La derivada de la velocidad es la tasa de cambio de velocidad, que es la aceleración. La nueva función obtenida al diferenciar la derivada se llama la segunda derivada. Además, podemos seguir tomando derivados para obtener el tercer derivado, el cuarto derivado, y así sucesivamente. Colectivamente, estos son referidos como derivados de orden superior. La notación para las derivadas de orden superior de sey=f(x) puede expresar en cualquiera de las siguientes formas:

f''(x),\; f'''(x),\; f^{(4)}(x),\; …\; ,\; f^{(n)}(x)

y''(x),\; y'''(x),\; y^{(4)}(x),\; …\; ,\; y^{(n)}(x)

\dfrac{d^2y}{dx^2},\;\dfrac{d^3y}{dy^3},\;\dfrac{d^4y}{dy^4},\;…\;,\;\dfrac{d^ny}{dy^n}.

Es interesante señalar que la notación para\dfrac{d^2y}{dx^2} puede verse como un intento de expresarse de manera\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{dy}{dx}\right) más compacta.

Análogamente,\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{dy}{dx}\right)\right)=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{d^2y}{dx^2}\right)=\dfrac{d^3y}{dx^3}.

Ejemplo\PageIndex{5}: Finding a Second Derivative

Paraf(x)=2x^2−3x+1, encontrarf''(x).

Solución

Primer hallazgof'(x).

Sustituirf(x)=2x^2−3x+1 yf(x+h)=2(x+h)^2−3(x+h)+1 enf'(x)=\displaystyle \lim_{h→0}\dfrac{f(x+h)−f(x)}{h}.

f'(x)=\displaystyle \lim_{h→0}\frac{(2(x+h)^2−3(x+h)+1)−(2x^2−3x+1)}{h}  
=\displaystyle \lim_{h→0}\frac{4xh+2h^2−3h}{h} Simplifica el numerador.
=\displaystyle \lim_{h→0}(4x+2h−3) Facturar elh en el numerador y cancelar con elh en el denominador.
=4x−3 Toma el límite.

A continuación, encuentraf''(x) tomando la derivada def'(x)=4x−3.

f''(x)=\displaystyle \lim_{h→0}\frac{f'(x+h)−f'(x)}{h} Usarf'(x)=\displaystyle \lim_{h→0}\frac{f(x+h)−f(x)}{h} conf ′(x) en lugar def(x).
=\displaystyle \lim_{h→0}\frac{(4(x+h)−3)−(4x−3)}{h} Sustitutof'(x+h)=4(x+h)−3 yf'(x)=4x−3.
=\displaystyle \lim_{h→0}4 Simplificar.
=4 Toma el límite.
Ejercicio\PageIndex{4}

Encuentraf''(x) paraf(x)=x^2.

Pista

Encontramosf'(x)=2x en un puesto de control previo. Usa la ecuación\ ref {derdef} para encontrar la derivada def'(x)

Contestar

f''(x)=2

Ejemplo\PageIndex{6}: Finding Acceleration

La posición de una partícula a lo largo de un eje de coordenadas en el tiempot (en segundos) viene dada pors(t)=3t^2−4t+1 (en metros). Encuentra la función que describe su aceleración en el momentot.

Solución

Desdev(t)=s′(t) ya(t)=v′(t)=s''(t), comenzamos por encontrar la derivada des(t):

\ (\ displaystyle\ begin {alinear*} s′ (t) &=\ lim_ {h→0}\ frac {s (t+h) −s (t)} {h}\\ [4pt]
&=\ lim_ {h→0}\ frac {3 (t+h) ^2−4 (t+h) +1 − (3t^2−4t+1)} {h}\\ [4pt]
&=6t−4. \ end {alinear*}\)

Siguiente,

\ (\ displaystyle\ begin {align*} s "(t) &=\ lim_ {h→0}\ frac {s′ (t+h) −s′ (t)} {h}\\ [4pt]
&=\ lim_ {h→0}\ frac {6 (t+h) −4− (6t−4)} {h}\\\ [4pt]
&=6. \ end {alinear*}\)

Por lo tanto,a=6 \;\text{m/s}^2.

Ejercicio\PageIndex{5}

Paras(t)=t^3, encontrara(t).

Pista

Use el Ejemplo\PageIndex{6} como guía.

Contestar

a(t)=6t

Conceptos clave

  • La derivada de una funciónf(x) es la función cuyo valor atx esf'(x).
  • La gráfica de una derivada de una funciónf(x) está relacionada con la gráfica def(x). Dondef(x) tiene una línea tangente con pendiente positiva,f'(x)>0. Dondef(x) tiene una línea tangente con pendiente negativa,f'(x)<0. Dondef(x) tiene una línea tangente horizontal,f'(x)=0.
  • Si una función es diferenciable en un punto, entonces es continua en ese punto. Una función no es diferenciable en un punto si no es continua en el punto, si tiene una línea tangente vertical en el punto, o si la gráfica tiene una esquina o cúspide afilada.
  • Los derivados de orden superior son derivados de derivados, desde la segunda derivada hasta lan^{\text{th}} derivada.

Ecuaciones Clave

  • La función derivada

f'(x)=\displaystyle \lim_{h→0}\frac{f(x+h)−f(x)}{h}

Glosario

función derivada
da la derivada de una función en cada punto del dominio de la función original para la que se define la derivada
diferenciable ena
una función para la cualf'(a) existe es diferenciable ena
diferenciable enS
una función para la cualf'(x) existe para cada unox en el conjunto abiertoS es diferenciable enS
función diferenciable
una función para la quef'(x) existe es una función diferenciable
derivado de orden superior
una derivada de una derivada, de la segunda derivada a lan^{\text{th}} derivada, se denomina derivada de orden superior

Colaboradores y Atribuciones

  • Template:ContribOpenStaxCalc
  • Paul Seeburger (Monroe Community College) added explanation of the alternative definition of the derivative used in the proof of that differentiability implies continuity.

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