4.8E: Ejercicios para la Sección 4.8

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\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

En los ejercicios 1 - 6, evaluar el límite.

1) Evaluar el límite\(\displaystyle \lim_{x→∞}\frac{e^x}{x}\).

2) Evaluar el límite\(\displaystyle \lim_{x→∞}\frac{e^x}{x^k}\).

Responder: \(\displaystyle \lim_{x→∞}\frac{e^x}{x^k} \quad = \quad ∞\)

3) Evaluar el límite\(\displaystyle \lim_{x→∞}\frac{\ln x}{x^k}\).

4) Evaluar el límite\(\displaystyle \lim_{x→a}\frac{x−a}{x^2−a^2}\).

Responder: \(\displaystyle \lim_{x→a}\frac{x−a}{x^2−a^2} \quad = \quad \frac{1}{2a}\)

5. Evaluar el límite\(\displaystyle \lim_{x→a}\frac{x−a}{x^3−a^3}\).

6. Evaluar el límite\(\displaystyle \lim_{x→a}\frac{x−a}{x^n−a^n}\).

Responder: \(\displaystyle \lim_{x→a}\frac{x−a}{x^n−a^n} \quad = \quad \frac{1}{na^{n−1}}\)

En los ejercicios 7 - 11, determina si puedes aplicar directamente la regla de L'Hôpital. Explique por qué o por qué no. Entonces, indica si hay alguna manera de que puedas alterar el límite para que puedas aplicar la regla de L'Hôpital.

7)\(\displaystyle \lim_{x→0^+}x^2\ln x\)

8)\(\displaystyle \lim_{x→∞}x^{1/x}\)

Responder: No se puede aplicar directamente; usar logaritmos

9)\(\displaystyle \lim_{x→0}x^{2/x}\)

10)\(\displaystyle \lim_{x→0}\frac{x^2}{1/x}\)

Responder: No se puede aplicar directamente; reescribir como\(\displaystyle \lim_{x→0}x^3\)

11)\(\displaystyle \lim_{x→∞}\frac{e^x}{x}\)

En los ejercicios 12 - 40, evaluar los límites ya sea con la regla de L'Hôpital o con métodos previamente aprendidos.

12)\(\displaystyle \lim_{x→3}\frac{x^2−9}{x−3}\)

Responder: \(\displaystyle \lim_{x→3}\frac{x^2−9}{x−3} \quad = \quad 6\)

13)\(\displaystyle \lim_{x→3}\frac{x^2−9}{x+3}\)

14)\(\displaystyle \lim_{x→0}\frac{(1+x)^{−2}−1}{x}\)

Responder: \(\displaystyle \lim_{x→0}\frac{(1+x)^{−2}−1}{x} \quad = \quad -2\)

15)\(\displaystyle \lim_{x→π/2}\frac{\cos x}{\frac{π}{2}−x}\)

16)\(\displaystyle \lim_{x→π}\frac{x−π}{\sin x}\)

Responder: \(\displaystyle \lim_{x→π}\frac{x−π}{\sin x} \quad = \quad -1\)

17)\(\displaystyle \lim_{x→1}\frac{x−1}{\sin x}\)

18)\(\displaystyle \lim_{x→0}\frac{(1+x)^n−1}{x}\)

Responder: \(\displaystyle \lim_{x→0}\frac{(1+x)^n−1}{x} \quad = \quad n\)

19)\(\displaystyle \lim_{x→0}\frac{(1+x)^n−1−nx}{x^2}\)

20)\(\displaystyle \lim_{x→0}\frac{\sin x−\tan x}{x^3}\)

Responder: \(\displaystyle \lim_{x→0}\frac{\sin x−\tan x}{x^3} \quad = \quad −\frac{1}{2}\)

21)\(\displaystyle \lim_{x→0}\frac{\sqrt{1+x}−\sqrt{1−x}}{x}\)

22)\(\displaystyle \lim_{x→0}\frac{e^x−x−1}{x^2}\)

Responder: \(\displaystyle \lim_{x→0}\frac{e^x−x−1}{x^2} \quad = \quad \frac{1}{2}\)

23)\(\displaystyle \lim_{x→0}\frac{\tan x}{\sqrt{x}}\)

24)\(\displaystyle \lim_{x→1}\frac{x-1}{\ln x}\)

Responder: \(\displaystyle \lim_{x→1}\frac{x-1}{\ln x} \quad = \quad 1\)

25)\(\displaystyle \lim_{x→0}\,(x+1)^{1/x}\)

26)\(\displaystyle \lim_{x→1}\frac{\sqrt{x}−\sqrt[3]{x}}{x−1}\)

Responder: \(\displaystyle \lim_{x→1}\frac{\sqrt{x}−\sqrt[3]{x}}{x−1} \quad = \quad \frac{1}{6}\)

27)\(\displaystyle \lim_{x→0^+}x^{2x}\)

28)\(\displaystyle \lim_{x→∞}x\sin\left(\tfrac{1}{x}\right)\)

Responder: \(\displaystyle \lim_{x→∞}x\sin\left(\tfrac{1}{x}\right) \quad = \quad 1\)

29)\(\displaystyle \lim_{x→0}\frac{\sin x−x}{x^2}\)

30)\(\displaystyle \lim_{x→0^+}x\ln\left(x^4\right)\)

Responder: \(\displaystyle \lim_{x→0^+}x\ln\left(x^4\right) \quad = \quad 0\)

31)\(\displaystyle \lim_{x→∞}(x−e^x)\)

32)\(\displaystyle \lim_{x→∞}x^2e^{−x}\)

Responder: \(\displaystyle \lim_{x→∞}x^2e^{−x} \quad = \quad 0\)

33)\(\displaystyle \lim_{x→0}\frac{3^x−2^x}{x}\)

34)\(\displaystyle \lim_{x→0}\frac{1+1/x}{1−1/x}\)

Responder: \(\displaystyle \lim_{x→0}\frac{1+1/x}{1−1/x} \quad = \quad -1\)

35)\(\displaystyle \lim_{x→π/4}(1−\tan x)\cot x\)

36)\(\displaystyle \lim_{x→∞}xe^{1/x}\)

Responder: \(\displaystyle \lim_{x→∞}xe^{1/x} \quad = \quad ∞\)

37)\(\displaystyle \lim_{x→0}x^{1/\cos x}\)

38)\(\displaystyle \lim_{x→0^{+} }x^{1/x}\)

Responder: \(\displaystyle \lim_{x→0^{+} }x^{1/x} \quad = \quad 0\)

39)\(\displaystyle \lim_{x→0}\left(1−\frac{1}{x}\right)^x\)

40)\(\displaystyle \lim_{x→∞}\left(1−\frac{1}{x}\right)^x\)

Responder: \(\displaystyle \lim_{x→∞}\left(1−\frac{1}{x}\right)^x \quad = \quad \frac{1}{e}\)

Para los ejercicios 41 - 50, usa una calculadora para graficar la función y estimar el valor del límite, luego usa la regla de L'Hôpital para encontrar el límite directamente.

41) [T]\(\displaystyle \lim_{x→0}\frac{e^x−1}{x}\)

42) [T]\(\displaystyle \lim_{x→0}x\sin\left(\tfrac{1}{x}\right)\)

Responder: \(\displaystyle \lim_{x→0}x\sin\left(\tfrac{1}{x}\right) \quad = \quad 0\)

43) [T]\(\displaystyle \lim_{x→1}\frac{x−1}{1−\cos(πx)}\)

44) [T]\(\displaystyle \lim_{x→1}\frac{e^{x−1}−1}{x−1}\)

Responder: \(\displaystyle \lim_{x→1}\frac{e^{x−1}−1}{x−1} \quad = \quad 1\)

45) [T]\(\displaystyle \lim_{x→1}\frac{(x−1)^2}{\ln x}\)

46) [T]\(\displaystyle \lim_{x→π}\frac{1+\cos x}{\sin x}\)

Responder: \(\displaystyle \lim_{x→π}\frac{1+\cos x}{\sin x} \quad = \quad 0\)

47) [T]\(\displaystyle \lim_{x→0}\left(\csc x−\frac{1}{x}\right)\)

48) [T]\(\displaystyle \lim_{x→0^+}\tan\left(x^x\right)\)

Responder: \(\displaystyle \lim_{x→0^+}\tan\left(x^x\right) \quad = \quad \tan 1\)

49) [T]\(\displaystyle \lim_{x→0^+}\frac{\ln x}{\sin x}\)

50) [T]\(\displaystyle \lim_{x→0}\frac{e^x−e^{−x}}{x}\)

Responder: \(\displaystyle \lim_{x→0}\frac{e^x−e^{−x}}{x} \quad = \quad 2\)