4: Aplicaciones de Derivados
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- 4.0: Preludio a Aplicaciones de Derivados
- El lanzamiento de un cohete involucra dos cantidades relacionadas que cambian con el tiempo. Poder resolver este tipo de problemas es solo una aplicación de derivados introducida en este capítulo. También analizamos cómo se utilizan los derivados para encontrar valores máximos y mínimos de funciones. Como resultado, podremos resolver problemas de optimización aplicada, como maximizar los ingresos y minimizar la superficie. Además, examinamos cómo se utilizan los derivados para evaluar límites complicados, para aproximar raíces de f
- 4.1: Tarifas Relacionadas
- Si dos cantidades relacionadas están cambiando con el tiempo, se relacionan las tarifas a las que cambian las cantidades. Por ejemplo, si un globo se está llenando de aire, tanto el radio del globo como el volumen del globo van aumentando. En esta sección, consideramos varios problemas en los que dos o más cantidades relacionadas están cambiando y estudiamos cómo determinar la relación entre las tasas de cambio de estas cantidades.
- 4.2: Aproximaciones lineales y diferenciales
- En esta sección, examinamos otra aplicación de derivados: la capacidad de aproximar funciones localmente por funciones lineales. Las funciones lineales son las funciones más fáciles con las que trabajar, por lo que proporcionan una herramienta útil para aproximar valores de función. Además, las ideas presentadas en esta sección se generalizan posteriormente en el texto cuando estudiamos cómo aproximar funciones por polinomios de grado superior Introducción a las Series y Funciones de Potencia.
- 4.3: Maxima y Minima
- Encontrar los valores máximo y mínimo de una función tiene importancia práctica porque podemos utilizar este método para resolver problemas de optimización, como maximizar el beneficio, minimizar la cantidad de material utilizado en la fabricación de una lata de aluminio o encontrar la altura máxima que puede alcanzar un cohete. En esta sección, analizamos cómo usar derivados para encontrar los valores más grandes y más pequeños para una función.
- 4.4: El teorema del valor medio
- El Teorema del Valor Medio es uno de los teoremas más importantes en el cálculo. Analizamos algunas de sus implicaciones al final de esta sección. Primero, comencemos con un caso especial del Teorema del Valor Medio, llamado teorema de Rolle.
- 4.5: Derivadas y la Forma de una Gráfica
- Utilizando los resultados de la sección anterior, ahora podemos determinar si un punto crítico de una función corresponde realmente a un valor extremo local. En esta sección, también vemos cómo la segunda derivada proporciona información sobre la forma de una gráfica al describir si la gráfica de una función se curva hacia arriba o se curva hacia abajo.
- 4.6: Límites al infinito y asíntotas
- Hemos mostrado cómo usar la primera y segunda derivada de una función para describir la forma de una gráfica. Para graficar una función f definida en un dominio no acotado, también necesitamos conocer el comportamiento de f como x→±∞. En esta sección, definimos límites al infinito y mostramos cómo estos límites afectan la gráfica de una función. Al final de esta sección, esbozamos una estrategia para graficar una función arbitraria f.
- 4.7: Problemas de optimización aplicada
- Una aplicación común del cálculo es calcular el valor mínimo o máximo de una función. Por ejemplo, las empresas a menudo quieren minimizar los costos de producción o maximizar los ingresos. En la fabricación, a menudo es deseable minimizar la cantidad de material utilizado para envasar un producto con un cierto volumen. En esta sección, mostramos cómo configurar este tipo de problemas de minimización y maximización y resolverlos utilizando las herramientas desarrolladas en este capítulo.
- 4.8: Regla de L'Hôpital
- En esta sección, examinamos una poderosa herramienta para evaluar límites. Esta herramienta, conocida como regla de L'Hôpital, utiliza derivados para calcular límites. Con esta regla, podremos evaluar muchos límites que aún no hemos podido determinar. En lugar de apoyarnos en la evidencia numérica para conjeturar que existe un límite, podremos demostrar definitivamente que existe un límite y determinar su valor exacto.
- 4.9: Método de Newton
- En muchas áreas de la matemática pura y aplicada, nos interesa encontrar soluciones a una ecuación de la forma f (x) =0. Para la mayoría de las funciones, sin embargo, es difícil, si no imposible, calcular sus ceros explícitamente. En esta sección, echamos un vistazo a una técnica que proporciona una manera muy eficiente de aproximar los ceros de funciones. Esta técnica hace uso de aproximaciones de líneas tangentes y está detrás del método utilizado a menudo por calculadoras y computadoras para encontrar ceros.
- 4.10: Antiderivados
- En este punto, hemos visto cómo calcular derivadas de muchas funciones y se han introducido en una variedad de sus aplicaciones. Ahora hacemos una pregunta que da la vuelta a este proceso: Dada una función f, ¿cómo encontramos una función con la derivada f y por qué estaríamos interesados en tal función?