9.0: Preludio a Secuencia y Serie

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Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
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El copo de nieve de Koch se construye a partir de un número infinito de triángulos equiláteros no superpuestos. En consecuencia, podemos expresar su área como una suma de infinitamente muchos términos. ¿Cómo agregamos un número infinito de términos? ¿Puede ser finita una suma de un número infinito de términos? Para responder a estas preguntas, necesitamos introducir el concepto de una serie infinita, una suma con infinitamente muchos términos. Habiendo definido las herramientas necesarias, podremos calcular el área del copo de nieve de Koch.

Este es un diagrama de varias iteraciones del copo de nieve de Koch, el cual se crea a través de un proceso interativo. El primer caso es un triángulo equilátero. Cinco veces, el tercio medio de cada segmento de línea se reemplaza con un triángulo equilátero que apunta hacia afuera. — Figura\(\PageIndex{1}\): El copo de nieve de Koch se construye mediante un proceso iterativo. Comenzando con un triángulo equilátero, en cada paso del proceso se elimina el tercio medio de cada segmento de línea y se reemplaza por un triángulo equilátero apuntando hacia afuera.

El tema de las series infinitas puede parecer no relacionado con el cálculo diferencial e integral. De hecho, una serie infinita cuyos términos involucran potencias de una variable es una poderosa herramienta que podemos usar para expresar funciones como “polinomios infinitos”. Podemos usar series infinitas para evaluar funciones complicadas, aproximar integrales definidas y crear nuevas funciones. Además, se utilizan series infinitas para resolver ecuaciones diferenciales que modelan el comportamiento físico, desde pequeños circuitos electrónicos hasta satélites que orbitan la Tierra.