Saltar al contenido principal

9.4: Pruebas de comparación

• Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
• OpenStax

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$
Objetivos de aprendizaje
• Utilice la prueba de comparación para probar una serie para la convergencia.
• Utilice la prueba de comparación de límites para determinar la convergencia de una serie.

Hemos visto que la prueba integral nos permite determinar la convergencia o divergencia de una serie comparándola con una integral impropia relacionada. En esta sección, se muestra cómo utilizar pruebas de comparación para determinar la convergencia o divergencia de una serie comparándola con una serie cuya convergencia o divergencia es conocida. Normalmente estas pruebas se utilizan para determinar la convergencia de series que son similares a series geométricas o$$p$$ series.

Prueba de comparación

En las dos secciones anteriores, se discutieron dos grandes clases de series: series geométricas y$$p$$ -series. Sabemos exactamente cuándo convergen estas series y cuándo divergen. Aquí mostramos cómo usar la convergencia o divergencia de estas series para probar convergencia o divergencia para otras series, utilizando un método llamado prueba de comparación.

Por ejemplo, considere la serie

$\sum_{n=1}^∞\dfrac{1}{n^2+1}. \nonumber$

Esta serie se parece a la serie convergente

$\sum_{n=1}^∞\dfrac{1}{n^2} \nonumber$

Dado que los términos en cada una de las series son positivos, la secuencia de sumas parciales para cada serie es monótona creciente. Además, desde

$0<\dfrac{1}{n^2+1}<\dfrac{1}{n^2} \nonumber$

para todos los enteros positivos$$n$$, la suma$$k^{\text{th}}$$ parcial$$S_k$$ de$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{1}{n^2+1}$$ satisface

$S_k=\sum_{n=1}^k\dfrac{1}{n^2+1}<\sum_{n=1}^k\dfrac{1}{n^2}<\sum_{n=1}^∞\dfrac{1}{n^2}. \nonumber$

(Ver Figura$$\PageIndex{1a}$$ y Tabla$$\PageIndex{1}$$.) Dado que la serie de la derecha converge, la secuencia$${S_k}$$ está delimitada arriba. Concluimos que$${S_k}$$ es una secuencia monótona creciente que está delimitada arriba. Por tanto, por el Teorema de Convergencia Monótona,$${S_k}$$ converge, y así

$\sum_{n=1}^∞\dfrac{1}{n^2+1} \nonumber$

converge.

Del mismo modo, considere la serie

$\sum_{n=1}^∞\dfrac{1}{n−1/2}. \nonumber$

Esta serie se parece a la serie divergente

$\sum_{n=1}^∞\dfrac{1}{n}. \nonumber$

La secuencia de sumas parciales para cada serie es monótona creciente y

$\dfrac{1}{n−1/2}>\dfrac{1}{n}>0 \nonumber$

por cada entero positivo$$n$$. Por lo tanto, la suma$$k^{\text{th}}$$ parcial$$S_k$$ de

$\sum^∞_{n=1}\dfrac{1}{n−1/2} \nonumber$

satisface

$S_k=\sum_{n=1}^k\dfrac{1}{n−1/2}>\sum_{n=1}^k\dfrac{1}{n}. \nonumber$

(Ver Figura$$\PageIndex{1n}$$ y Tabla$$\PageIndex{1}$$). Dado que la serie$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{n}$$ diverge hasta el infinito, la secuencia de sumas parciales no$$\displaystyle \sum^k_{n=1}\frac{1}{n}$$ tiene límites. En consecuencia,$${S_k}$$ es una secuencia no acotada, y por lo tanto diverge. Concluimos que

$\sum_{n=1}^∞\dfrac{1}{n−1/2} \nonumber$

diverge.

 $$k$$ $$\displaystyle \sum_{n=1}^k\dfrac{1}{n^2+1}$$ $$\displaystyle \sum_{n=1}^k\dfrac{1}{n^2}$$ 1 2 3 4 5 6 7 8 0.5 0.7 0.8 0.8588 0.8973 0.9243 0.9443 0.9597 1 1.25 1.3611 1.4236 1.4636 1.4914 1.5118 1.5274
 $$k$$ $$\displaystyle \sum_{n=1}^k\dfrac{1}{n−1/2}$$ $$\displaystyle \sum_{n=1}^k\dfrac{1}{n}$$ 1 2 3 4 5 6 7 8 2 2.6667 3.0667 3.3524 3.5746 3.7564 3.9103 4.0436 1 1.5 1.8333 2.0933 2.2833 2.45 2.5929 2.7179
Prueba de comparación
1. Supongamos que existe un entero$$N$$ such that $$0≤a_n≤b_n$$ for all $$n≥N$$. If $$\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n$$ converges, then $$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$$ converges.
2. Supongamos que existe un entero$$N$$ such that $$a_n≥b_n≥0$$ for all $$n≥N.$$ If $$\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n$$ diverges, then $$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$$ diverges.
Prueba

Demostramos la parte i. La prueba de la parte ii. es la contrapositiva de la parte i.$${S_k}$$ be the sequence of partial sums associated with $$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$$, and let $$\displaystyle L=\sum^∞_{n=1}b_n$$. Since the terms $$a_n≥0,$$

$S_k=a_1+a_2+⋯+a_k≤a_1+a_2+⋯+a_k+a_{k+1}=S_{k+1}. \nonumber$

Por lo tanto, la secuencia de sumas parciales va en aumento. Además, desde$$a_n≤b_n$$ for all $$n≥N$$, then

$\sum_{n=N}^ka_n≤\sum_{n=N}^kb_n≤\sum_{n=1}^∞b_n=L. \nonumber$

Por lo tanto, para todos$$k≥1$$,

$S_k=(a_1+a_2+⋯+a_{N−1})+\sum_{n=N}^ka_n≤(a_1+a_2+⋯+a_{N−1})+L. \nonumber$

Desde$$a_1+a_2+⋯+a_{N−1}$$ is a finite number, we conclude that the sequence $${S_k}$$ is bounded above. Therefore, $${S_k}$$ is an increasing sequence that is bounded above. By the Monotone Convergence Theorem, we conclude that $${S_k}$$ converges, and therefore the series $$\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n$$ converges.

Utilizar la prueba de comparación para determinar la convergencia o divergencia de una serie$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n$$, it is necessary to find a suitable series with which to compare it. Since we know the convergence properties of geometric series and $$p$$-series, these series are often used. If there exists an integer $$N$$ such that for all $$n≥N$$, each term an is less than each corresponding term of a known convergent series, then $$\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n$$ converges. Similarly, if there exists an integer $$N$$ such that for all $$n≥N$$, each term an is greater than each corresponding term of a known divergent series, then $$\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n$$ diverges.

Ejemplo$$\PageIndex{1}$$: Using the Comparison Test

Para cada una de las siguientes series, utilice la prueba de comparación para determinar si la serie converge o diverge.

1. $$\displaystyle \sum_{n=1}^∞=\dfrac{1}{n^3+3n+1}$$
2. $$\displaystyle \sum_{n=1}^∞=\dfrac{1}{2^n+1}$$
3. $$\displaystyle \sum_{n=2}^∞=\dfrac{1}{\ln \,n }$$

Solución

a. Comparar con$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\dfrac{1}{n^3}$$. Ya que$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\dfrac{1}{n^3}$$ es una$$p$$ -serie con$$p=3$$, converge. Además,

$\dfrac{1}{n^3+3n+1}<\dfrac{1}{n^3} \nonumber$

por cada entero positivo$$n$$. Por lo tanto, podemos concluir que$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{1}{n^3+3n+1}$$ converge.

b. comparar con$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$$. Ya que$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$$ es una serie geométrica con$$r=\dfrac{1}{2}$$ y$$\left|\dfrac{1}{2}\right|<1$$, converge. Además,

$\dfrac{1}{2^n+1}<\dfrac{1}{2^n} \nonumber$

por cada entero positivo$$n$$. Por lo tanto, vemos que$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{1}{2^n+1}$$ converge.

c. Comparar con$$\displaystyle \sum^∞_{n=2}\dfrac{1}{n}$$. Desde

$\dfrac{1}{\ln n }>\dfrac{1}{n} \nonumber$

por cada entero$$n≥2$$ y$$\displaystyle \sum^∞_{n=2}\dfrac{1}{n}$$ diverge, tenemos que$$\displaystyle \sum^∞_{n=2}\dfrac{1}{\ln n}$$ diverge.

Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

Utilice la prueba de comparación para determinar si la serie$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{n}{n^3+n+1}$$ converge o diverge.

Pista

Encuentra un valor$$p$$ tal que$$\dfrac{n}{n^3+n+1}≤\dfrac{1}{n^p}$$.

Responder

La serie converge.

Prueba de comparación de límites

La prueba de comparación funciona bien si podemos encontrar una serie comparable que satisfaga la hipótesis de la prueba. Sin embargo, a veces encontrar una serie apropiada puede ser difícil. Considera la serie

$\sum_{n=2}^∞\dfrac{1}{n^2−1}. \nonumber$

Es natural comparar esta serie con la serie convergente

$\sum_{n=2}^∞\dfrac{1}{n^2}. \nonumber$

Sin embargo, esta serie no satisface la hipótesis necesaria para utilizar la prueba de comparación porque

$\dfrac{1}{n^2−1}>\dfrac{1}{n^2} \nonumber$

para todos los enteros$$n≥2$$. Aunque podríamos buscar una serie diferente con la que comparar$$\displaystyle \sum^∞_{n=2}\frac{1}{n^2−1},$$ en su lugar mostramos cómo podemos usar la prueba de comparación de límites para comparar

$\sum_{n=2}^∞\frac{1}{n^2−1} \nonumber$

y

$\sum_{n=2}^∞\frac{1}{n^2}. \nonumber$

Examinemos la idea detrás de la prueba de comparación de límites. Considerar dos series$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$$ y$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n$$. con términos positivos$$a_n$$ y$$b_n$$ y evaluar

$\lim_{n→∞}\frac{a_n}{b_n}. \nonumber$

Si

$\lim_{n→∞}\frac{a_n}{b_n}=L≠0, \nonumber$

entonces, para$$n$$ suficientemente grande,$$a_n≈Lb_n$$. Por lo tanto, ambas series convergen o ambas series divergen. Para la serie$$\displaystyle \sum^∞_{n=2}\frac{1}{n^2−1}$$ y$$\displaystyle \sum^∞_{n=2}\dfrac{1}{n^2}$$, vemos que

$\lim_{n→∞}\dfrac{1/(n^2−1)}{1/n^2}=\lim_{n→∞}\dfrac{n^2}{n^2−1}=1. \nonumber$

Dado que$$\displaystyle \sum^∞_{n=2}\frac{1}{n^2}$$ converge, concluimos que

$\sum_{n=2}^∞\dfrac{1}{n^2−1} \nonumber$

converge.

La prueba de comparación de límites se puede utilizar en otros dos casos. Supongamos

$\lim_{n→∞}\dfrac{a_n}{b_n}=0. \nonumber$

En este caso,$${a_n/b_n}$$ es una secuencia acotada. En consecuencia, existe una constante$$M$$ tal que$$a_n≤Mb_n$$. Por lo tanto, si$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n$$ converge, entonces$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$$ converge. Por otro lado, supongamos

$\lim_{n→∞}\dfrac{a_n}{b_n}=∞. \nonumber$

En este caso,$${a_n/b_n}$$ es una secuencia sin límites. Por lo tanto, por cada constante$$M$$ existe un entero$$N$$ tal que$$a_n≥Mb_n$$ para todos$$n≥N.$$ Por lo tanto, si$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n$$ diverge, entonces$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$$ diverge también.

Prueba de comparación de límites

Dejar$$a_n,b_n≥0$$ para todos$$n≥1.$$

1. Si$$\displaystyle \lim_{n→∞}\frac{a_n}{b_n}=L≠0,$$ entonces$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$$ y$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n$$ ambos convergen o ambos divergen.
2. Si$$\displaystyle \lim_{n→∞}\frac{a_n}{b_n}=0$$ y$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n$$ converge, entonces$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$$ converge.
3. Si$$\displaystyle \lim_{n→∞}\frac{a_n}{b_n}=∞$$ y$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n$$ diverge, entonces$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$$ diverge.

Tenga en cuenta que si$$\dfrac{a_n}{b_n}→0$$ y$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n$$ diverge, la prueba de comparación de límites no da información. De igual manera, si$$\dfrac{a_n}{b_n}→∞$$ y$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n$$ converge, la prueba tampoco proporciona información. Por ejemplo, considere las dos series$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{\sqrt{n}}$$ y$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n^2}$$. Estas series son ambas$$p$$ -series con$$p=\frac{1}{2}$$ y$$p=2$$, respectivamente. Dado que$$p=\frac{1}{2}<1,$$ la serie$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{\sqrt{n}}$$ diverge. Por otro lado, ya que$$p=2>1$$, la serie$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n^2}$$ converge. Sin embargo, supongamos que intentamos aplicar la prueba de comparación límite, usando la $$p$$serie −convergente$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n^3}$$ como nuestra serie de comparación. Primero, vemos que

$\dfrac{1/\sqrt{n}}{1/n^3}=\dfrac{n^3}{\sqrt{n}}=n^{5/2}→∞\; \text{ as } \;n→∞. \nonumber$

Del mismo modo, vemos que

$\dfrac{1/n^2}{1/n^3}=n→∞\; \text{ as } \;n→∞. \nonumber$

Por lo tanto, si$$\dfrac{a_n}{b_n}→∞$$ cuando$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞b_n$$ converge, no obtenemos ninguna información sobre la convergencia o divergencia de$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n$$.

Ejemplo$$\PageIndex{2}$$: Using the Limit Comparison Test

Para cada una de las siguientes series, utilice la prueba de comparación de límites para determinar si la serie converge o diverge. Si la prueba no aplica, díganlo.

1. $$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{1}{\sqrt{n}+1}$$
2. $$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{2^n+1}{3^n}$$
3. $$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{\ln(n)}{n^2}$$

Solución

a. comparar esta serie con$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{1}{\sqrt{n}}$$. Calcular

$$\displaystyle \lim_{n→∞}\dfrac{1/(\sqrt{n}+1)}{1/\sqrt{n}}=\lim_{n→∞}\dfrac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}+1}=\lim_{n→∞}\dfrac{1/\sqrt{n}}{1+1/\sqrt{n}}=1.$$

Por la prueba de comparación límite, ya que$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{1}{\sqrt{n}}$$ diverge, luego$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{1}{\sqrt{n}+1}$$ diverge.

b. comparar esta serie con$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\left(\dfrac{2}{3}\right)^n$$. Vemos que

$$\displaystyle \lim_{n→∞}\dfrac{(2^n+1)/3^n}{2^n/3^n}=\lim_{n→∞}\dfrac{2^n+1}{3^n}⋅\dfrac{3^n}{2^n}=\lim_{n→∞}\dfrac{2^n+1}{2^n}=\lim_{n→∞}\left[1+\left(\tfrac{1}{2}\right)^n\right]=1.$$

Por lo tanto,

$$\displaystyle \lim_{n→∞}\dfrac{(2^n+1)/3^n}{2^n/3^n}=1.$$

Ya que$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\left(\dfrac{2}{3}\right)^n$$ converge, concluimos que$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{2^n+1}{3^n}$$ converge.

c. Desde$$\ln n<n,$$ comparar con$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{1}{n}$$. Vemos que

$$\displaystyle \lim_{n→∞}\dfrac{\ln n/n^2}{1/n}=\lim_{n→∞}\dfrac{\ln n}{n^2}⋅\dfrac{n}{1}=\lim_{n→∞}\dfrac{\ln n}{n}.$$

Para evaluar$$\displaystyle \lim_{n→∞}\ln n/n$$, evaluar el límite a partir$$x→∞$$ de la función de valor real$$\ln(x)/x$$. Estos dos límites son iguales, y hacer este cambio nos permite usar la regla de L'Hôpital. Obtenemos

$$\displaystyle \lim_{x→∞}\dfrac{lnx}{x}=\lim_{x→∞}\dfrac{1}{x}=0.$$

Por lo tanto$$\displaystyle \lim_{n→∞}\frac{\ln n}{n}=0$$, y, en consecuencia,

$$\displaystyle \lim_{n→∞}\dfrac{(\ln n)/n^2}{1/n}=0.$$

Dado que el límite es$$0$$ pero$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{1}{n}$$ diverge, la prueba de comparación de límites no proporciona ninguna información.

Comparar con$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{1}{n^2}$$ en su lugar. En este caso,

$$\displaystyle \lim_{n→∞}\dfrac{(\ln n)/n^2}{1/n^2}=\lim_{n→∞}\dfrac{\ln n}{n^2}⋅\dfrac{n^2}{1}=\lim_{n→∞}\ln n=∞.$$

Dado que el límite es$$∞$$ pero$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{1}{n^2}$$ converge, la prueba aún no proporciona ninguna información.

Entonces ahora probamos una serie entre los dos que ya probamos. Al elegir la serie$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{1}{n^{3/2}}$$, vemos que

$$\displaystyle \lim_{n→∞}\dfrac{(\ln n)/n^2}{1/n^{3/2}}=\lim_{n→∞}\dfrac{\ln n}{n^2}⋅\dfrac{n^{3/2}}{1}=\lim_{n→∞}\dfrac{\ln n}{\sqrt{n}}$$.

Como anteriormente, para evaluar$$\displaystyle \lim_{n→∞}\frac{\ln n}{\sqrt{n}}$$, evaluar el límite a partir$$x→∞$$ de la función de valor real$$\frac{\ln n}{\sqrt{n}}$$. Usando la regla de L'Hôpital,

$$\displaystyle \lim_{x→∞}\dfrac{\ln x}{\sqrt{x}}=\lim_{x→∞}\dfrac{2\sqrt{x}}{x}=\lim_{x→∞}\dfrac{2}{\sqrt{x}}=0$$.

Dado que el límite es$$0$$ y$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{1}{n^{3/2}}$$ converge, podemos concluir que$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{\ln n}{n^2}$$ converge.

Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

Utilice la prueba de comparación de límites para determinar si la serie$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{5^n}{3^n+2}$$ converge o diverge.

Pista

Comparar con una serie geométrica.

Responder

La serie diverge.

Conceptos clave

• Las pruebas de comparación se utilizan para determinar la convergencia o divergencia de series con términos positivos.
• Cuando se utilizan las pruebas de comparación, a menudo$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$$ se compara una serie con una serie geométrica o$$p$$ -serie.

Glosario

prueba de comparación
Si$$0≤a_n≤b_n$$ para todos$$n≥N$$ y$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n$$ converge, entonces$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$$ converge; si$$a_n≥b_n≥0$$ para todos$$n≥N$$ y$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n$$ diverge, entonces$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$$ diverge.
prueba de comparación de límites
Supongamos$$a_n,b_n≥0$$ para todos$$n≥1$$. Si$$\displaystyle \lim_{n→∞}a_n/b_n→L≠0$$, entonces$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$$ y$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n$$ ambos convergen o ambos divergen; si$$\displaystyle \lim_{n→∞}a_n/b_n→0$$ y$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n$$ converge, entonces$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$$ converge. Si$$\displaystyle \lim_{n→∞}a_n/b_n→∞$$, y$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n$$ diverge, entonces$$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$$ diverge.

This page titled 9.4: Pruebas de comparación is shared under a CC BY-NC-SA 4.0 license and was authored, remixed, and/or curated by Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang (OpenStax) via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform.