9.4: Pruebas de comparación

Objetivos de aprendizaje

• Utilice la prueba de comparación para probar una serie para la convergencia.
• Utilice la prueba de comparación de límites para determinar la convergencia de una serie.

Hemos visto que la prueba integral nos permite determinar la convergencia o divergencia de una serie comparándola con una integral impropia relacionada. En esta sección, se muestra cómo utilizar pruebas de comparación para determinar la convergencia o divergencia de una serie comparándola con una serie cuya convergencia o divergencia es conocida. Normalmente estas pruebas se utilizan para determinar la convergencia de series que son similares a series geométricas o$p$ series.

Prueba de comparación

En las dos secciones anteriores, se discutieron dos grandes clases de series: series geométricas y$p$ -series. Sabemos exactamente cuándo convergen estas series y cuándo divergen. Aquí mostramos cómo usar la convergencia o divergencia de estas series para probar convergencia o divergencia para otras series, utilizando un método llamado prueba de comparación.

Por ejemplo, considere la serie

$$\sum_{n=1}^∞\dfrac{1}{n^2+1}. \nonumber$$

Esta serie se parece a la serie convergente

$$\sum_{n=1}^∞\dfrac{1}{n^2} \nonumber$$

Dado que los términos en cada una de las series son positivos, la secuencia de sumas parciales para cada serie es monótona creciente. Además, desde

$$0<\dfrac{1}{n^2+1}<\dfrac{1}{n^2} \nonumber$$

para todos los enteros positivos$n$, la suma$k^{\text{th}}$ parcial$S_k$ de$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{1}{n^2+1}$ satisface

$$S_k=\sum_{n=1}^k\dfrac{1}{n^2+1}<\sum_{n=1}^k\dfrac{1}{n^2}<\sum_{n=1}^∞\dfrac{1}{n^2}. \nonumber$$

(Ver Figura$\PageIndex{1a}$ y Tabla$\PageIndex{1}$.) Dado que la serie de la derecha converge, la secuencia${S_k}$ está delimitada arriba. Concluimos que${S_k}$ es una secuencia monótona creciente que está delimitada arriba. Por tanto, por el Teorema de Convergencia Monótona,${S_k}$ converge, y así

$$\sum_{n=1}^∞\dfrac{1}{n^2+1} \nonumber$$

converge.

Del mismo modo, considere la serie

$$\sum_{n=1}^∞\dfrac{1}{n−1/2}. \nonumber$$

Esta serie se parece a la serie divergente

$$\sum_{n=1}^∞\dfrac{1}{n}. \nonumber$$

La secuencia de sumas parciales para cada serie es monótona creciente y

$$\dfrac{1}{n−1/2}>\dfrac{1}{n}>0 \nonumber$$

por cada entero positivo$n$. Por lo tanto, la suma$k^{\text{th}}$ parcial$S_k$ de

$$\sum^∞_{n=1}\dfrac{1}{n−1/2} \nonumber$$

satisface

$$S_k=\sum_{n=1}^k\dfrac{1}{n−1/2}>\sum_{n=1}^k\dfrac{1}{n}. \nonumber$$

(Ver Figura$\PageIndex{1n}$ y Tabla$\PageIndex{1}$). Dado que la serie$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\frac{1}{n}$ diverge hasta el infinito, la secuencia de sumas parciales no$\displaystyle \sum^k_{n=1}\frac{1}{n}$ tiene límites. En consecuencia,${S_k}$ es una secuencia no acotada, y por lo tanto diverge. Concluimos que

$$\sum_{n=1}^∞\dfrac{1}{n−1/2} \nonumber$$

diverge.

Figura$\PageIndex{1}$: (a) Cada una de las sumas parciales para la serie dada es menor que la suma parcial correspondiente para la convergente$p−series$. (b) Cada una de las sumas parciales para la serie dada es mayor que la suma parcial correspondiente para la serie armónica divergente.

Tabla$\PageIndex{1}$: Comparando una serie con a$p$ -series ($p = 2$)

$k$	1	2	3	4	5	6	7	8
$\displaystyle \sum_{n=1}^k\dfrac{1}{n^2+1}$	0.5	0.7	0.8	0.8588	0.8973	0.9243	0.9443	0.9597
$\displaystyle \sum_{n=1}^k\dfrac{1}{n^2}$	1	1.25	1.3611	1.4236	1.4636	1.4914	1.5118	1.5274

Tabla$\PageIndex{2}$: Comparando una serie con la serie armónica

$k$	1	2	3	4	5	6	7	8
$\displaystyle \sum_{n=1}^k\dfrac{1}{n−1/2}$	2	2.6667	3.0667	3.3524	3.5746	3.7564	3.9103	4.0436
$\displaystyle \sum_{n=1}^k\dfrac{1}{n}$	1	1.5	1.8333	2.0933	2.2833	2.45	2.5929	2.7179

Prueba de comparación

1. Supongamos que existe un entero$N$ such that $0≤a_n≤b_n$ for all $n≥N$. If $\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n$ converges, then $\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$ converges.
2. Supongamos que existe un entero$N$ such that $a_n≥b_n≥0$ for all $n≥N.$ If $\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n$ diverges, then $\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$ diverges.

Prueba

Demostramos la parte i. La prueba de la parte ii. es la contrapositiva de la parte i.${S_k}$ be the sequence of partial sums associated with $\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$, and let $\displaystyle L=\sum^∞_{n=1}b_n$. Since the terms $a_n≥0,$

$$S_k=a_1+a_2+⋯+a_k≤a_1+a_2+⋯+a_k+a_{k+1}=S_{k+1}. \nonumber$$

Por lo tanto, la secuencia de sumas parciales va en aumento. Además, desde$a_n≤b_n$ for all $n≥N$, then

$$\sum_{n=N}^ka_n≤\sum_{n=N}^kb_n≤\sum_{n=1}^∞b_n=L. \nonumber$$

Por lo tanto, para todos$k≥1$,

$$S_k=(a_1+a_2+⋯+a_{N−1})+\sum_{n=N}^ka_n≤(a_1+a_2+⋯+a_{N−1})+L. \nonumber$$

Desde$a_1+a_2+⋯+a_{N−1}$ is a finite number, we conclude that the sequence ${S_k}$ is bounded above. Therefore, ${S_k}$ is an increasing sequence that is bounded above. By the Monotone Convergence Theorem, we conclude that ${S_k}$ converges, and therefore the series $\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n$ converges.

□

Utilizar la prueba de comparación para determinar la convergencia o divergencia de una serie$\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n$, it is necessary to find a suitable series with which to compare it. Since we know the convergence properties of geometric series and $p$-series, these series are often used. If there exists an integer $N$ such that for all $n≥N$, each term an is less than each corresponding term of a known convergent series, then $\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n$ converges. Similarly, if there exists an integer $N$ such that for all $n≥N$, each term an is greater than each corresponding term of a known divergent series, then $\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n$ diverges.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: Using the Comparison Test

Para cada una de las siguientes series, utilice la prueba de comparación para determinar si la serie converge o diverge.

1. $\displaystyle \sum_{n=1}^∞=\dfrac{1}{n^3+3n+1}$
2. $\displaystyle \sum_{n=1}^∞=\dfrac{1}{2^n+1}$
3. $\displaystyle \sum_{n=2}^∞=\dfrac{1}{\ln \,n }$

Solución

a. Comparar con$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\dfrac{1}{n^3}$. Ya que$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\dfrac{1}{n^3}$ es una$p$ -serie con$p=3$, converge. Además,

$$\dfrac{1}{n^3+3n+1}<\dfrac{1}{n^3} \nonumber$$

por cada entero positivo$n$. Por lo tanto, podemos concluir que$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{1}{n^3+3n+1}$ converge.

b. comparar con$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$. Ya que$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$ es una serie geométrica con$r=\dfrac{1}{2}$ y$\left|\dfrac{1}{2}\right|<1$, converge. Además,

$$\dfrac{1}{2^n+1}<\dfrac{1}{2^n} \nonumber$$

por cada entero positivo$n$. Por lo tanto, vemos que$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{1}{2^n+1}$ converge.

c. Comparar con$\displaystyle \sum^∞_{n=2}\dfrac{1}{n}$. Desde

$$\dfrac{1}{\ln n }>\dfrac{1}{n} \nonumber$$

por cada entero$n≥2$ y$\displaystyle \sum^∞_{n=2}\dfrac{1}{n}$ diverge, tenemos que$\displaystyle \sum^∞_{n=2}\dfrac{1}{\ln n}$ diverge.

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Utilice la prueba de comparación para determinar si la serie$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{n}{n^3+n+1}$ converge o diverge.

Pista

Encuentra un valor$p$ tal que$\dfrac{n}{n^3+n+1}≤\dfrac{1}{n^p}$.

Responder

La serie converge.

Prueba de comparación de límites

La prueba de comparación funciona bien si podemos encontrar una serie comparable que satisfaga la hipótesis de la prueba. Sin embargo, a veces encontrar una serie apropiada puede ser difícil. Considera la serie

$$\sum_{n=2}^∞\dfrac{1}{n^2−1}. \nonumber$$

Es natural comparar esta serie con la serie convergente

$$\sum_{n=2}^∞\dfrac{1}{n^2}. \nonumber$$

Sin embargo, esta serie no satisface la hipótesis necesaria para utilizar la prueba de comparación porque

$$\dfrac{1}{n^2−1}>\dfrac{1}{n^2} \nonumber$$

para todos los enteros$n≥2$. Aunque podríamos buscar una serie diferente con la que comparar$\displaystyle \sum^∞_{n=2}\frac{1}{n^2−1},$ en su lugar mostramos cómo podemos usar la prueba de comparación de límites para comparar

$$\sum_{n=2}^∞\frac{1}{n^2−1} \nonumber$$

y

$$\sum_{n=2}^∞\frac{1}{n^2}. \nonumber$$

Examinemos la idea detrás de la prueba de comparación de límites. Considerar dos series$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$ y$\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n$. con términos positivos$a_n$ y$b_n$ y evaluar

$$\lim_{n→∞}\frac{a_n}{b_n}. \nonumber$$

Si

$$\lim_{n→∞}\frac{a_n}{b_n}=L≠0, \nonumber$$

entonces, para$n$ suficientemente grande,$a_n≈Lb_n$. Por lo tanto, ambas series convergen o ambas series divergen. Para la serie$\displaystyle \sum^∞_{n=2}\frac{1}{n^2−1}$ y$\displaystyle \sum^∞_{n=2}\dfrac{1}{n^2}$, vemos que

$$\lim_{n→∞}\dfrac{1/(n^2−1)}{1/n^2}=\lim_{n→∞}\dfrac{n^2}{n^2−1}=1. \nonumber$$

Dado que$\displaystyle \sum^∞_{n=2}\frac{1}{n^2}$ converge, concluimos que

$$\sum_{n=2}^∞\dfrac{1}{n^2−1} \nonumber$$

converge.

La prueba de comparación de límites se puede utilizar en otros dos casos. Supongamos

$$\lim_{n→∞}\dfrac{a_n}{b_n}=0. \nonumber$$

En este caso,${a_n/b_n}$ es una secuencia acotada. En consecuencia, existe una constante$M$ tal que$a_n≤Mb_n$. Por lo tanto, si$\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n$ converge, entonces$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$ converge. Por otro lado, supongamos

$$\lim_{n→∞}\dfrac{a_n}{b_n}=∞. \nonumber$$

En este caso,${a_n/b_n}$ es una secuencia sin límites. Por lo tanto, por cada constante$M$ existe un entero$N$ tal que$a_n≥Mb_n$ para todos$n≥N.$ Por lo tanto, si$\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n$ diverge, entonces$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$ diverge también.

Prueba de comparación de límites

Dejar$a_n,b_n≥0$ para todos$n≥1.$

1. Si$\displaystyle \lim_{n→∞}\frac{a_n}{b_n}=L≠0,$ entonces$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$ y$\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n$ ambos convergen o ambos divergen.
2. Si$\displaystyle \lim_{n→∞}\frac{a_n}{b_n}=0$ y$\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n$ converge, entonces$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$ converge.
3. Si$\displaystyle \lim_{n→∞}\frac{a_n}{b_n}=∞$ y$\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n$ diverge, entonces$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$ diverge.

Tenga en cuenta que si$\dfrac{a_n}{b_n}→0$ y$\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n$ diverge, la prueba de comparación de límites no da información. De igual manera, si$\dfrac{a_n}{b_n}→∞$ y$\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n$ converge, la prueba tampoco proporciona información. Por ejemplo, considere las dos series$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{\sqrt{n}}$ y$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n^2}$. Estas series son ambas$p$ -series con$p=\frac{1}{2}$ y$p=2$, respectivamente. Dado que$p=\frac{1}{2}<1,$ la serie$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{\sqrt{n}}$ diverge. Por otro lado, ya que$p=2>1$, la serie$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n^2}$ converge. Sin embargo, supongamos que intentamos aplicar la prueba de comparación límite, usando la $p$serie −convergente$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n^3}$ como nuestra serie de comparación. Primero, vemos que

$$\dfrac{1/\sqrt{n}}{1/n^3}=\dfrac{n^3}{\sqrt{n}}=n^{5/2}→∞\; \text{ as } \;n→∞. \nonumber$$

Del mismo modo, vemos que

$$\dfrac{1/n^2}{1/n^3}=n→∞\; \text{ as } \;n→∞. \nonumber$$

Por lo tanto, si$\dfrac{a_n}{b_n}→∞$ cuando$\displaystyle \sum_{n=1}^∞b_n$ converge, no obtenemos ninguna información sobre la convergencia o divergencia de$\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n$.

Ejemplo$\PageIndex{2}$: Using the Limit Comparison Test

Para cada una de las siguientes series, utilice la prueba de comparación de límites para determinar si la serie converge o diverge. Si la prueba no aplica, díganlo.

1. $\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{1}{\sqrt{n}+1}$
2. $\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{2^n+1}{3^n}$
3. $\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{\ln(n)}{n^2}$

Solución

a. comparar esta serie con$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{1}{\sqrt{n}}$. Calcular

$\displaystyle \lim_{n→∞}\dfrac{1/(\sqrt{n}+1)}{1/\sqrt{n}}=\lim_{n→∞}\dfrac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}+1}=\lim_{n→∞}\dfrac{1/\sqrt{n}}{1+1/\sqrt{n}}=1.$

Por la prueba de comparación límite, ya que$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ diverge, luego$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{1}{\sqrt{n}+1}$ diverge.

b. comparar esta serie con$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\left(\dfrac{2}{3}\right)^n$. Vemos que

$\displaystyle \lim_{n→∞}\dfrac{(2^n+1)/3^n}{2^n/3^n}=\lim_{n→∞}\dfrac{2^n+1}{3^n}⋅\dfrac{3^n}{2^n}=\lim_{n→∞}\dfrac{2^n+1}{2^n}=\lim_{n→∞}\left[1+\left(\tfrac{1}{2}\right)^n\right]=1.$

Por lo tanto,

$\displaystyle \lim_{n→∞}\dfrac{(2^n+1)/3^n}{2^n/3^n}=1.$

Ya que$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\left(\dfrac{2}{3}\right)^n$ converge, concluimos que$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{2^n+1}{3^n}$ converge.

c. Desde$\ln n<n,$ comparar con$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{1}{n}$. Vemos que

$\displaystyle \lim_{n→∞}\dfrac{\ln n/n^2}{1/n}=\lim_{n→∞}\dfrac{\ln n}{n^2}⋅\dfrac{n}{1}=\lim_{n→∞}\dfrac{\ln n}{n}.$

Para evaluar$\displaystyle \lim_{n→∞}\ln n/n$, evaluar el límite a partir$x→∞$ de la función de valor real$\ln(x)/x$. Estos dos límites son iguales, y hacer este cambio nos permite usar la regla de L'Hôpital. Obtenemos

$\displaystyle \lim_{x→∞}\dfrac{lnx}{x}=\lim_{x→∞}\dfrac{1}{x}=0.$

Por lo tanto$\displaystyle \lim_{n→∞}\frac{\ln n}{n}=0$, y, en consecuencia,

$\displaystyle \lim_{n→∞}\dfrac{(\ln n)/n^2}{1/n}=0.$

Dado que el límite es$0$ pero$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{1}{n}$ diverge, la prueba de comparación de límites no proporciona ninguna información.

Comparar con$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{1}{n^2}$ en su lugar. En este caso,

$\displaystyle \lim_{n→∞}\dfrac{(\ln n)/n^2}{1/n^2}=\lim_{n→∞}\dfrac{\ln n}{n^2}⋅\dfrac{n^2}{1}=\lim_{n→∞}\ln n=∞.$

Dado que el límite es$∞$ pero$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{1}{n^2}$ converge, la prueba aún no proporciona ninguna información.

Entonces ahora probamos una serie entre los dos que ya probamos. Al elegir la serie$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{1}{n^{3/2}}$, vemos que

$\displaystyle \lim_{n→∞}\dfrac{(\ln n)/n^2}{1/n^{3/2}}=\lim_{n→∞}\dfrac{\ln n}{n^2}⋅\dfrac{n^{3/2}}{1}=\lim_{n→∞}\dfrac{\ln n}{\sqrt{n}}$.

Como anteriormente, para evaluar$\displaystyle \lim_{n→∞}\frac{\ln n}{\sqrt{n}}$, evaluar el límite a partir$x→∞$ de la función de valor real$\frac{\ln n}{\sqrt{n}}$. Usando la regla de L'Hôpital,

$\displaystyle \lim_{x→∞}\dfrac{\ln x}{\sqrt{x}}=\lim_{x→∞}\dfrac{2\sqrt{x}}{x}=\lim_{x→∞}\dfrac{2}{\sqrt{x}}=0$.

Dado que el límite es$0$ y$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{1}{n^{3/2}}$ converge, podemos concluir que$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{\ln n}{n^2}$ converge.

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Utilice la prueba de comparación de límites para determinar si la serie$\displaystyle \sum^∞_{n=1}\dfrac{5^n}{3^n+2}$ converge o diverge.

Pista

Comparar con una serie geométrica.

Responder

La serie diverge.

Conceptos clave

• Las pruebas de comparación se utilizan para determinar la convergencia o divergencia de series con términos positivos.
• Cuando se utilizan las pruebas de comparación, a menudo$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$ se compara una serie con una serie geométrica o$p$ -serie.

Glosario

prueba de comparación

Si$0≤a_n≤b_n$ para todos$n≥N$ y$\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n$ converge, entonces$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$ converge; si$a_n≥b_n≥0$ para todos$n≥N$ y$\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n$ diverge, entonces$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$ diverge.

prueba de comparación de límites

Supongamos$a_n,b_n≥0$ para todos$n≥1$. Si$\displaystyle \lim_{n→∞}a_n/b_n→L≠0$, entonces$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$ y$\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n$ ambos convergen o ambos divergen; si$\displaystyle \lim_{n→∞}a_n/b_n→0$ y$\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n$ converge, entonces$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$ converge. Si$\displaystyle \lim_{n→∞}a_n/b_n→∞$, y$\displaystyle \sum^∞_{n=1}b_n$ diverge, entonces$\displaystyle \sum^∞_{n=1}a_n$ diverge.